1、立体几何综合典型题（一）一、单选题1如图，在棱长为2的正方体中，分别为，的中点，过，三点的平而截正方休所得的截面面积为（）A4BCD2已知是以为斜边的直角三角形，为平面外一点，且平面平面，则三棱锥外接球的体积为（）ABCD3九章算术中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥为鳖臑，平面，若三棱锥的所有顶点都在球上，则球的半径为（）ABCD4已知正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，且正四棱锥的底面面积为6，侧面积为，则球的体积为（）ABCD5已知，则点A到直线的距离为（）ABCD6若平面的一个法向量为，点，到平面的距离为（）A1B2C3D47已知棱长为2的正方体，E，F分别为和的中点，则
2、点B到EF的距离为（）ABCD8已知直线l的方向向量为，点在l上，则点到l的距离为（）AB1C3D29在四面体中，PA，PB，PC两两垂直，设，则点P到平面ABC的距离为（）ABCD10在中，若平面，则点到的距离是（）AB5CD11已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（）ABCD12三棱锥D-ABC中，AB=DC=3，AC=DB=2，ACCD， ABDB.则三棱锥D-ABC外接球的表面积是（）.ABCD13已知一个圆锥的母线长为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的外接球的体积为（）ABCD14已知三棱柱的个顶点全部在球的表面上，三棱柱的侧面积为，则球表面积的最小值是（）ABCD15
3、三棱锥的顶点均在一个半径为4的球面上，为等边三角形且其边长为6，则三棱锥体积的最大值为（）ABCD16已知边长为2的等边三角形，为的中点，以为折痕进行折叠，使折后的，则过，四点的球的表面积为（）ABCD17如图，把两个完全相同的直三角尺，斜边重合，沿其斜边折叠形成一个120的二面角，其中，且，则空间四边形外接球的表面积为（）ABCD18在九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bi no）已知在鳖臑中，平面，则该鳖臑的外接球的表面积为（）ABCD19三棱锥中，的面积为，则此三棱锥外接球的表面积为（）ABCD20已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，.若点为的中点，则下列说法正确的为（
4、）A平面B面C四棱锥外接球的表面积为D四棱锥的体积为621已知四棱锥的侧棱均相等，其各个顶点都在球的球面上，三棱锥的体积为，则球的表面积为（）ABCD22在九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bino）已知在鳖臑中，平面，则该鳖臑的内切球的表面积为（）ABCD23球的表面积为，三棱柱的顶点在球面上，且三角形是边长为的正三角形，则所在直线与平面所成角的正弦值为（）ABCD24在三棱锥中，平面平面，的面积为，则三棱锥的外接球体积为（）ABCD25如图所示，在正方体中，分别为棱的中点，令过点且平行于平面的平面被正方体的截面图形为，若在内随机选择一点，则点在正方体内切球内的概率为（）
5、ABCD26正方体的棱长为4，用经过，三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（）ABCD27如图正方体，棱长为1，P为中点，Q为线段上的动点，过APQ的平面截该正方体所得的截面记为.若，则下列结论错误的是（）A当时，为四边形B当时，为等腰梯形C当时，为六边形D当时，的面积为28正方体的棱长为2，E是棱的中点，则平面截该正方体所得的截面面积为（）A5BCD29已知平面，垂足为点，且与相交于点，射线在内，且，则点到直线的距离是（）ABCD30已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD，CG=2，E、F分别是AB、AD的中点，则点B到平面GEF的距离为（）ABCD31在棱长为的正方体中，分别
6、是，的中点，则点到平面的距离为（）ABCD32重心是几何体的一个重要性质，我国的国宝级文物东汉铜奔马（又名：马踏飞燕）就是巧妙利用了重心位于支点正上方这一性质而闻名于世.已知正三棱锥的重心是其每个顶点与其所对的面的三角形重心连线的交点.若正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则其重心G到底面的距离为（）ABCD33三棱锥中，底面ABC，D为AB的中点，则点D到面的距离等于（）ABCD34如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为（）A B C D35已知球O是正三棱锥A-BCD（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心
7、）的外接球，BC=3，AB=，点E在线段BD上，且BD=3BE过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（）ABCD36正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为（）A2+2BCD1D【详解】如图，分别取的中点，的中点,的中点，连接，因为该几何体为正方体，所以,且所以，三点的平面截正方体所得的截面为正六边形， 所以该正六边形的面积为.故选：D2D【详解】解：取中点，过点做直线垂直，因为为直角三角形，所以点为外接圆的圆心，又平面平面，所以平面，根据球的性质，球心一定在垂线上，且球心为的外心.在中，所以，则外接圆
8、的半径为即外接球的半径为，所以体积为.故选：D3A【详解】由题意,将鳖臑补形为长方体如图,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球.外接球的半径为故选：A4A【详解】设底面边长为，侧棱长为，因为底面面积为6，所以，得，因为侧面积为，所以，解得，连接交于点，连接，则可得平面，所以四棱锥的高，点在上，连接，设球的半径为，则，解得，所以球的体积为，故选：A5A【详解】由，可得，则向量在方向上的投影为，所以点A到直线的距离故选：A.6B【详解】解：， 为平面的一条斜线，且 点到平面的距离：故选：B.7A【详解】连接、，则为与中点，因为E为的中点，所以,又正方体边长为2，所以，设B到EF的距离为，则，.故选：
9、A8B【详解】由题可知，点到l的距离为，则，则，故点到l的距离为.故选：B9B【详解】解：在四面体中，两两垂直，取中点，连结，作平面，交于，则，点到平面的距离故选：10B【详解】解：如图，取的中点，连接、，因为，所以，又平面，平面，所以，面，所以面，面，所以，在中，所以，在中，所以故选：B11A【详解】因为，所以，则，由点到直线的距离公式得，故选：A.12B【详解】取的中点为，连接，因为ACCD， ABDB即为棱锥D-ABC外接球的球心，又AB=DC=3，AC=DB=2，三棱锥D-ABC外接球的表面积为.故选：B.13A【详解】设圆锥的底面半径为r，由侧面展开图是圆心角为的扇形得：，解得：.作
10、出圆锥的轴截面如图所示：设圆锥的高为h，则.设该圆锥的外接球的球心为O，半径为R,则有，即，解得：R=3，所以该圆锥的外接球的体积为.故选：A.14B【详解】设三棱柱的高为，.因为，所以，则该三棱柱的侧面积为，故.设的外接圆半径为，则.设球的半径为，则（当且仅当时，等号成立），故球的表面积为.故选：B15B【详解】如图所示：点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，当平面时，三棱锥体积最大，此时，因为，所以，点M为三角形ABC的中心，中，有，故选：B.16C【详解】边长为2的等边三角形，为的中点，以为折痕进行折叠，使折后的，构成以D为顶点的三棱锥，且三条侧棱互相垂直，可构造以其为长宽高的长方体，
11、其对角线即为球的直径，三条棱长分别为1，1，所以，球面积，故选:D.17B【详解】过点作于，连接，由于和全等，所以，所以为二面角的平面角，即，在中，结合余弦定理得，即，因此，因为，所以，在中，从而，在中，又因为，所以，取的中点，连接，由于是和的斜边，所以，故为空间四边形外接球的球心，为球直径，所以空间四边形外接球的半径为，所以空间四边形外接球的表面积为，故选：B.18C【详解】如图所示，鳖臑的外接球即为棱长为的正方体的外接球，该鳖臑的外接球半径，该外接球表面积.故选：C.19A【详解】，又，则，取中点，连接，又由的面积为，可得的高，则可得，在中，由余弦定理，解得，则，可得，根据球的性质可得为三
12、棱锥外接球的直径，则半径为1，故外接球的表面积为.故选：A.20B【详解】在四棱锥中,因为侧面平面，面平面， ，所以平面，因为过点B只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接交于，连接，在中，面，面，所以面，所以选项B正确；取中点，连接，在矩形中，易得，在中，在中，所以，所以O为四棱锥外接球的球心，半径为，所以其体积为，所以选项C不正确；四棱锥的体积是四棱锥的体积的一半，因为，侧面平面，面平面，所以平面，所以四棱锥的体积，所以选项D错误.故选：B.21A【详解】如图，F为AC中点，由题意可知PF为四棱锥的高，各个顶点都在球的球面上，四点共圆，且为直径， 又，在，解得，同理可得.三棱锥的
13、体积为,，解得，设，则，在中，解得.球的表面积为.故选：A22A【详解】四个面都为直角三角形，则，平面，平面，即，则，即，设内切球的半径，由等体积法可得：，即，解得，该鳖臑的内切球的表面积为，故选：A.23C【详解】设球的半径为，则，解得，设三角形的外接圆半径为，则，解得，则球心到平面的距离，因为三棱柱的顶点在球面上，则三棱柱为直三棱柱，则侧棱长为4，取BC中点D，连接，因为为等边三角形，所以，因为平面，平面，所以，因为，所以平面，所以即为所在直线与平面所成角，因为，所以.故选：C.24C【详解】取的中点，则为的外心，过作于，连接，在中，所以，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，
14、所以，因为的面积为，所以，得，所以，在中由余弦定理得，所以，所以，所以,所以为三棱锥的外接球的球心，且球的半径为所以三棱锥的外接球体积为，故选：C25B【详解】取中点，连，交于点，因为所以四点共面，因为分别为棱的中点，平面平面，所以平面，又，所以，同理可证平面，平面，所以平面平面，即等腰梯形为满足条件的平面截正方体的截面，等腰梯形的面积为，设正方体上下底面中心分别为，连接，则内切球的球心为的中点，过做在正方体中，平面，所以，所以平面，平面，所以，所以平面，所以为截面截内切球所得圆的圆心，又在内切球上，所以截面截内切球所得圆的半径为，在中，有，则，所以在中，截面圆的面积为.所求的概率为.故选：B
15、.26D【详解】解：如图所示：延长交于点，则，即为中点，连接，取中点，连接，则，四点共面，截面如图所示：在中，边上的高，记边上的高为，则，则所截得的截面面积为：.故选：D.27C【详解】解：当时，如下图1，是四边形，故A正确；当时，如下图2，为等腰梯形，B正确：当时，如下图3，是五边形，C错误；当时，Q与重合，取的中点F，连接，如下图4，由正方体的性质易得，且，截面为为菱形，其面积为，D正确.故选：C28D【详解】如图所示，设为的中点，连接，设为的中点，连接，由且，得是平行四边形，则且，又且，得且，则共面，故平面截该正方体所得的截面为.又正方体的棱长为2，故的面积为.故选：D.29C【详解】如
16、图，过作 ，垂足为，连接，由平面，平面，则，由辅助线可得，又，则平面，则，于是到直线的距离是，由题意，直角三角形中，直角三角形中，于是.故选：C30B【详解】解：设到平面的距离为.，.所以.由得.故选：B.31B【详解】如上图所示，三棱锥可以换底为三棱锥，此时，底面积，高为，所以，三角形中，根据余弦定理， ，所以，根据等体积法得：点到平面的距离 故选：B32B【详解】解：如图，为的重心，为的重心，连接，因为，所以且，所以，所以，由正三棱锥的性质可知平面，又，所以，又，所以，所以，所以重心G到底面的距离即为；故选：B33C【详解】如图，在三角形中，过A作AESB交SB于E，因为面，所以，又，所以
17、面，因为面，所以，而AESB，且，所以AE面SBC.在三角形SAB中，由勾股定理易得，则由等面积法可得：，因为D为AB的中点，所以D到平面SBC的距离为：.故选：C.34A【详解】以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则E(1,2,0)，D1(0,0,2)，,，,设(x，y，z)，,，则(x，y，z)(0,0,2)0，z0，(x，y，z)(1，2,2)，y-x，令x1，则y-，u(1,-,0)，异面直线D1E与CC1的距离为d，P在D1E上运动，P到直线CC1的距离的最小值为d.故选：A.35A【详解】解：如图，O1是A在底面的射影，由正弦定理得，BCD的外接圆半径；由勾股定理得棱锥的高AO1；设球O的半径为R，则，解得，所以OO1=1；在BO1E中，由余弦定理得所以O1E=1；所以在OEO1中，OE=；当截面垂直于OE时，截面面积最小，此时半径为，截面面积为.故选：A36B【详解】如图，在正三棱柱中，延长AF与CC1的延长线交于M，连接EM交B1C1于P，连接FP，则四边形AEPF为所求截面.过E作EN平行于BC交CC1于N，则N为线段CC1的中点，由相似于可得MC1=2，由相似于可得：，在中，则，在中，则，在中，则，在中，由余弦定理：，则，所以截面周长为：.故选：B.
