（全国版）2022高考数学一轮复习 第4章 三角函数、解三角形 第4讲 正、余弦定理及解三角形试题1（理含解析）.docx

1、第四章 三角函数、解三角形 第四讲 正、余弦定理及解三角形 练好题考点自测 1.2020 全国卷,7,5 分理在ABC 中,cos C=,AC=4,BC=3,则 cos B=()A.B.C.D.2.2017 山东,9,5 分理在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若ABC 为锐角三角形,且满足 sin B(1+2cos C)=2sin AcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是()A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 3.在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=18,b=24,A=45,则此三角形()A.无解 B.有一解 C.有

2、两解 D.解的个数不确定 4.下列说法正确的是(ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c)()在ABC 中,若 AB,则必有 sin Asin B;在ABC 中,若 b2+c2a2,则ABC 为锐角三角形;在ABC 中,若 A=60,a=4,b=4,则 B=45或 B=135;若满足条件 C=60,AB=,BC=a 的ABC 有两个,则实数 a 的取值范围是(,2);在ABC 中,若 acosB=bcosA,则ABC 是等腰三角形.A.B.C.D.5.2019 全国卷,15,5 分理ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 b=6,a=2c,B=,则ABC 的面积为

3、 .6.2019浙 江,14,6分 在 ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3,点D在 线 段AC上.若 BDC=45,则BD=,cosABD=.7.2016全国卷,13,5分理ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.8.2020 深圳市高三统一测试在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(a+b)(sin A-sin B)=(a-c)sin C,b=2,则ABC 的外接圆面积为 .9.湖北高考,5 分理如图 4-4-1,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上,行

4、驶 600 m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75的方向上,仰角为 30,则此山的高度 CD=m.图 4-4-1 拓展变式 1.(1)2020 江淮十校联考ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2asin A-bsinB=2csin C,cosA=,则 =()A.4 B.3 C.2 D.1(2)在锐角三角形 ABC 中,b=2,a+c=(ac),且满足 2asin BcosC+2csin BcosA=b,则 a-c=.2.在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,(1)若 c,求 b 的值;(2)若 a=,A=,且ABC 为锐角三角形,求ABC 周长

5、的取值范围.4.2018 全国卷,17,12 分理在平面四边形 ABCD 中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求 cosADB;(2)若 DC=2,求 BC.5.(1)解三角形与数列、基本不等式综合设ABC 的角 A,B,C 成等差数列,且满足 sin(A-C)-sinB=-,BC 延长线上有一点 D,满足 BD=2,则ACD 面积的最大值为()A.1 B.C.D.(2)新课标全国,5 分理在平面四边形 ABCD 中,A=B=C=75,BC=2,则 AB 的取值范围是 .6.2020 山东,15,5 分某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图 4-4-6 所示.O

6、 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心,A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点,B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点,四边形 DEFG 为矩形,BCDG,垂足为C,tanODC=,BHDG,EF=12 cm,DE=2 cm,A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm,圆孔半径为 1 cm,则图中阴影部分的面积为 cm2.图 4-4-6 答 案 第四讲 正、余弦定理及解三角形 1.A 由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2ACBCcos C=16+9-243 =9,AB=3,所以 cos B=-,故选 A.2.A 由题意可知 sin B+2sin BcosC=sin AcosC+sin(

7、A+C),即 2sin BcosC=sin AcosC,又 cos C0,故 2sin B=sin A,由正弦定理可知 a=2b.故选 A.3.C bsinA=12 aB,则 ab,(R 为ABC 的外接圆的半径),即 sin Asin B,正确;对于,在ABC 中,若 b2+c2a2,则 A 是锐角,但ABC 不一定是锐角三角形,错误;对于,由 得 sin B=sin A=,因为 ab,所以 BA,所以 B=45,错误;对于,由条件可得 BCsinCABBC,即 a a,解得 a2,正确;对于,由 acosB=bcosA 得 sin AcosB=sin BcosA,即 sin(A-B)=0,

8、又 A,B 为三角形的内角,所以 A=B,故ABC 是等腰三角形,正确.故选 C.5.6 因为 a=2c,b=6,B=,所以由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,得 62=(2c)2+c2-22cccos ,得 c=2 ,所以a=4,所以ABC 的面积 S=acsin B=4 2 sin =6.6.在 RtABC 中,易得 AC=5,sin C=.在BCD 中,由正弦定理得 BD=sinBCD=,sinDBC=sin180-(BCD+BDC)=sin(BCD+BDC)=sinBCDcosBDC+cosBCDsinBDC=.又ABD+DBC=90,所以 cosABD=sinDBC=.7

9、.解法一 因为 cos A=,cos C=,所以 sin A=,sin C=,从而 sin B=sin(A+C)=sin AcosC+cosAsinC=.由正弦定理 ,得 b=.解法二 因为 cos A=,cos C=,所以 sin A=,sin C=,从而 cos B=-cos(A+C)=-cos AcosC+sinAsinC=-.由正弦定理 ,得 c=.由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,得 b=.解法三 因为 cos A=,cos C=,所以 sin A=,sin C=,由正弦定理 ,得 c=.从而 b=acosC+ccosA=.8.利用正弦定理将已知等式转化为(a+b)(a

10、-b)=(a-c)c,即 a2+c2-b2=ac,所以由余弦定理得 cos B=-,因为 0B0,所以 2sin AcosC+2sin CcosA=,即 sin(A+C)=,所以 sin B=,cos B=.因为 b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-2accos B,所以 ac=1.因为(a-c)2=(a+c)2-4ac=7-4=3,且 ac,所以 a-c=.2.(1)钝角三角形 已知 cos A,由正弦定理,得 cos A,即 sin Csin BcosA,所以 sin(A+B)sin BcosA,即 sin BcosA+cosBsinA-sin BcosA0,所以 c

11、os BsinA0,于是有 cos B0,即 B 为钝角,所以ABC 是钝角三角形.(2)等腰三角形或直角三角形 因为 c-acosB=(2a-b)cos A,所以由正弦定理得 sin C-sin AcosB=2sin AcosA-sin BcosA,又 C=-(A+B),所以 sin C=sin(A+B),所以 sin AcosB+cosAsinB-sin AcosB=2sin AcosA-sin BcosA,所以cos A(sin B-sin A)=0,所以 cos A=0 或 sin B=sin A,所以 A=或 B=A(B=-A 舍去),所以ABC 为等腰三角形或直角三角形.3.(1)

12、因为 4 S=a2+b2-c2,所以 4 absin C=2abcos C,所以 tan C=,又 0Cc=,所以 b=3.(2)由正弦定理及 a=,A=得 ,故 b=2sin B,c=2sin C=2sin(-B).则ABC 的周长为+2sin B+2sin(-B)=cos B+3sin B=+2 sin(B+).由题意可知 ,-,解得 B .所以 B+,故 sin(B+)1,因此三角形 ABC 周长的取值范围为(3+,3.4.(1)在ABD 中,由正弦定理得 .由题设知,所以 sinADB=.由题设知,ADB90,所以 cosADB=-.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=

13、.在BCD 中,由余弦定理得 BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252 =25,所以 BC=5.5.(1)B 因为ABC 的角 A,B,C 成等差数列,所以 B=,又 sin(A-C)-sin B=-,所以 A=B=C=,设ABC 的边长为 x,由已知有 0 x2,则 SACD=x(2-x)sin x(2-x)(-)2=(当且仅当 x=2-x,即 x=1 时取等号),故选 B.(2)(,)如图 D 4-4-1,作PBC,使B=C=75,BC=2,作直线 AD 分别交线段 PB,PC 于 A,D 两点(不与端点重合),且使BAD=75,则四边形 ABCD 就是符合题意的四

14、边形.过 C 作 AD 的平行线交 PB 于点 Q,在PBC 中,可求得 BP=,在QBC 中,可求得 BQ=,所以 AB 的取值范围是(,).图 D 4-4-1 6.+4 如图 D 4-4-2,连接 OA,作 AQDE,交 ED 的延长线于 Q,AMEF 于 M,交 DG 于 E,交 BH 于 F,记过 O 且垂直于DG 的直线与DG的交点为P,设 OP=3m,则DP=5m,不难得出AQ=7,AM=7,于是AE=5,EG=5,AGE=AHF=,AOH为等腰直角三角形,又 AF=5-3m,OF=7-5m,AF=OF,5-3m=7-5m,得 m=1,AF=5-3m=2,OF=7-5m=2,OA=2,则阴影部分的面积 S=(2)2+2 2 =(+4)(cm2).