1、评估验收卷(四)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列说法中正确的是()A若一个命题当n1，2时为真，则此命题为真命题B若一个命题当nk时成立且推得nk1时也成立，则此命题为真命题C若一个命题当n1，2时为真，则当n3时此命题也为真D若一个命题当n1时为真，nk时为真能推得nk1时亦为真，则此命题为真命题解析：由数学归纳法定义可知，只有当n的初始取值成立且由nk成立能推得nk1时也成立时，才可以证明结论正确，二者缺一不可A，B，C项均不全面答案：D2等式122232n2(5n27n4)()A
2、n为任何正整数时都成立B仅当n1, 2，3时成立C当n4时成立，n5时不成立D仅当n4时不成立解析：把n1，2，3，4，5代入验证可知B正确答案：B3用数学归纳法证明不等式12(n2，nN)时，第一步应验证不等式()A12B12C12D12解析：因为n2，所以第一步验证不等式应为n2时12.答案：A4用数学归纳法证明对一切大于1的自然数n，不等式成立时，当n2时验证的不等式是()A1B.C.D以上都不对解析：当n2时，左边11，右边，所以1.答案：A5已知f(n)，则()Af(n)中共有n项，当n2时，f(2)Bf(n)中共有n1项，当n2时，f(2)Cf(n)中共有n2n项，当n2时，f(2
3、)Df(n)中共有n2n1项，当n2时，f(2)解析：本题主要考查数列的概念由n到n2一共有整数n2n1个，所以f(n)有n2n1项，当n2时代入得，f(2).故本题正确答案为D.答案：D6用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”的第二步是()A假设n2k1时正确，再推n2k3时正确(kN)B假设n2k1时正确，再推n2k1时正确(kN)C假设nk时正确，再推nk1时正确(kN)D假设nk(k1)时正确，再推nk2时正确(kN)解析：n为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设n取第k个正奇数也成立，本题即假设n2k1时正确，再推n取第(k1)个正奇数，即n2k1时正确
4、答案：B7平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f(k)，则增加一条直线l后，它们的交点个数最多为()Af(k)1Bf(k)kCf(k)k1 Dkf(k)解析：第k1条直线与前k条直线都相交有交点，所以应比原先增加k个交点故应选B.答案：B8用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)成立时，从k到k1左边需增乘的代数式是()A. B2(2k1)C2k1 D.解析：要求左边从k到k1左边需增乘的代数式，可以先写出nk时，左边(k1)(k2)(kk)，再写出nk1时，左边(k2)(k3)(kk)(kk1)(kk2)，然后比较两式，得出需增乘2(2k1)答案：B9已知n为正偶
5、数，用数学归纳法证明12时，若已假设nk(k2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证()Ank1时等式成立Bnk2时等式成立Cn2k2时等式成立Dn2(k2)时等式成立解析：因为n是正偶数，所以nk的下一个偶数是nk2.故选B.答案：B10已知123332433n3n13n(nab)c对一切nN都成立，则a，b，c的值为()Aa，bc BabcCa0，bc D不存在这样的a，b，c解析：因为等式对一切nN均成立，所以n1，2，3时等式成立，即整理得解得答案：A11用数学归纳法证明不等式1n(nN)，且n1时，不等式在nk1时的形式是()A1k1B1k1C1k1D1k1解析：不等式左边的每一
6、项的分母从1开始递增，当nk时不等式为1k，当nk1时，不等式的形式是1k1.答案：D12已知f(n)(2n7)3n9，存在自然数m，使得对任意nN，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()A30 B26C36 D6解析：f(1)36，f(2)108，n3时f(n)9(2n7)3n21，(2n7)3n21，当n3时能被4整除，结合选项知C正确答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13若用数学归纳法证明：2n1n2n2成立时，第一步应验证_答案：n03，24323214用数学归纳法证明命题：12223242(1)n1n2(1)n1(nN)，(从“第k步
7、到k1步”时，两边应同时加上_答案：(1)k(k1)215用数学归纳法证明“当n是非负整数时，55n145n235n能被11整除”的第一步应写成：当n_时，55n145n235n_，能被11整除解析：本题考查对运用数学归纳法证明整除问题的掌握情况，由于n是非负整数，所以第一步应考虑n0.答案：05142302216有以下四个命题：(1)2n2n1(n3)；(2)2462nn2n2(n1)；(3)凸n边形内角和为f(n)(n1)(n3)；(4)凸n边形对角线条数为f(n)(n4)其中满足“假设nk(kN，kn0)时命题成立，则当nk1时命题也成立”，但不满足“当nn0(n0是题中给定的n的初始值
8、)时命题成立”的命题序号是_解析：当n取初始值时，经验证，(1)成立，(2)，(3)，(4)均不成立，故(1)不符合题意假设nk(kN，kn0)时命题成立，则当nk1时，经验证，(2)(3)成立，(4)不成立所以(2)(3)正确答案：(2)(3)三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)用数学归纳法证明：(n1)(n2)(nn)(nN)证明：(1)当n1时，左边2，右边2左边，等式成立(2)假设nk时等式成立，即(k1)(k2)(kk).则当nk1时，左边(k2)(k3)(kk)(kk1)(kk2)(k1)(k2)(kk)3k2
9、3k2，故nk1时，等式成立由(1)(2)知对任意nN，等式成立18(本小题满分12分)用数学归纳法证明不等式：1(nN，且n1)证明：(1)当n2时，1成立；(2)设当nk(k2)时，1；则当nk1时，1111，即当nk1时也成立由(1)(2)知对任意n1(nN)，原不等式成立19(本小题满分12分)求证：对于整数n0时，11n2122n1能被133整除证明：(1)n0时，原式11212133能被133整除(2)假设nk(k0，kN)时，11k2122k1能被133整除，nk1时，原式11k3122k311(11k2122k1)11122k1122k311(11k2122k1)122k113
10、3也能被133整除由(1)(2)可知，对于整数n0，11n2122n1能被133整除20(本小题满分12分)设xn是由x12，xn1(nN)定义的数列，求证：xn.证明：(1)当n1时，x121，不等式成立(2)假设当nk(k1)时，不等式成立，即xk，那么，当nk1时，xk1.由归纳假设，xk，则，.因为xk，所以.所以xk1.即xk1.所以当nk1时，不等式xn成立综上所述，得xn(nN)21(本小题满分12分)数列的前n项和记为Sn.(1)求出S1，S2，S3的值；(2)猜想出Sn的表达式；(3)用数学归纳法证明你的猜想(1)解：an，S1a1；S2a1a2；S3a1a2a3.(2)解：
11、猜想：Sn(nN)(3)证明：当n1时，S1a1，右边.等式成立假设当nk时，Sk，则当nk1时，Sk1Skak1.即当nk1时，等式成立由可得Sn(nN)22(本小题满分12分)已知an是等差数列，首项a13，前n项和为Sn.令cn(1)nSn(nN)，cn的前20项和T20330.数列bn是公比为q的等比数列，前n项和为Wn，且b12，q3a9.(1)求数列an、bn的通项公式；(2)证明：(3n1)WnnWn1(nN*)(1)解：设等差数列的公差为d，因为cn(1)nSn，所以T20S1S2S3S4S20330，则a2a4a6a20330，则10(3d)2d330，解得d3，所以an33(n1)3n.所以q 3a927，q3.所以bn23n1.(2)证明：由(1)知，Wn3n1，要证(3n1)WnnWn1，只需证(3n1)(3n1)n(3n11)，即证3n2n1，当n1时，3n3n1.下面用数学归纳法证明：当n2时，3n2n1，(1)当n2时，左边9，右边5，左右，不等式成立(2)假设nk(k2)，3k2k1，则nk1时，3k133k3(2k1)6k32(k1)1，所以nk1时不等式成立根据(1)(2)可知，当n2时，3n2n1，综合可知：3n2n1对于nN成立，所以(3n1)WnnWn1(nN)