1、数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40.0分）1. 已知集合1，2，3，集合，则A. B. 2，C. 2，D. 1，2，2. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则A. 在上为减函数B. 在处取极小值C. 在上为减函数D. 在处取极大值3. 已知i是虚数单位，复数z满足，则复平面内表示z的共轭复数的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 设函数，则的值为A. B. C. 0D. 5. 已知集合，若，则a的取值范围是A. B. C. D. 6. 若直线过圆的圆心，则的最小值是A. 16B. 10C. D. 7. 若不
2、等式的解集是，则不等式的解集是A. B. C. D. 8. 已知奇函数在R上是单调函数，函数是其导函数，当时，则使成立的x的取值范围是 A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）9. 下列结论正确的是A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则10. 下列四种说法中正确的有A. 命题“，”的否定是“，”；B. 若不等式的解集为，则不等式的解集为；C. 复数z满足，z在复平面对应的点为（x,y）,则D. 已知p：，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是11. 下列说法不正确是A. 不等式的解集为B. 已知p：，q：，则p是q的充分不必要条件
3、C. 若，则函数的最小值为2D. 当时，不等式恒成立，则k的取值范围是12. 若存在m，使得对任意恒成立，则函数在D上有下界，其中m为函数的一个下界；若存在M，使得对任意恒成立，则函数在D上有上界，其中M为函数的一个上界如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界下列说法正确的是A.2是函数的一个下界 B. 函数有下界，无上界C. 函数有上界，无下界 D. 函数有界三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）13. 已知i是虚数单位，则复数的实部是_14. 已知，则的最小值为_15. 已知函数为自然对数的底数，若在上有解，则实数m的取值范围是_16. 设函数恰有两个极值点，则实数t
4、的取值范围是_四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. （本题满分10分）在中，A是锐角，且求角A的大小；若，的面积为，求的值18. （本题满分12分）等差数列中，公差且，成等比数列，前n项的和为求及；设，求19. （本题满分12分）为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过的有40人，不超过的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过的有20人，不超过的有25人完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.005的前提下认为“平均车速超过与性别有关”？平均车速超
5、过平均车速不超过总计男性驾驶员女性驾驶员总计附：，其中在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过的人中随机抽取2人，求这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过且为男性驾驶员的车辆数为X，求X的分布列和数学期望20. （本题满分12分）如图，四棱锥中，四边形ABCD是边长为4的菱形，E是BC上一点，且，设证明：平面ABCD；若，求二面角的余弦值21. （本题满分12分）已知函数当时，求函数在上的极值；证明：当时，22.（本题满分12分）已知椭圆：和圆：，为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，当直线与圆相切时，求
6、的方程；直线k：与椭圆和圆都相切，切点分别为M，N，求面积的最大值答案1【答案】D解：1，2，3，集合，1，1，2，2.【答案】C解：时，递增，时，递减，时，递增，时，递减，故，处取极大值，处取极小值，3. 【答案】C解：复数z满足，4. 【答案】B解：函数，5. 【答案】C解：，且，因为的取值范围是6. 【答案】A解：由题意可得圆的圆心，故即，则，当且仅当且，即，时取等号7. 【答案】D解：不等式的解集是，所以方程的解是和3，且；即解得，；所以不等式化为，即，解得或，所以所求不等式的解集是8.【答案】A解：当时，即；令，则，由题意可知，即在时单调递减，且，所以当时，由于此时，则不合题意；当时
7、，由于此时，则不合题意；由以上可知时，而是上的奇函数，则当时，恒成立，所以使成立的的取值范围为9. 【答案】BD解：对于A选项，若，则，故A错误对于B选项，若，则，所以，故B正确对于C选项，等价于，故C错误对于D选项，因为，所以，又，则，故D正确10. 【答案】BCD 解：选项A：命题“，”的否定应该是“，”故选项A错误；选项B：因为不等式的解集为，所以方程的两个根为和3，且由解出所以不等式可化为：，即，解得或所以不等式的解集为故选项B正确；选项C：故选项C正确；由得到：当时，所以有由题意可得：，解得；当时，所以有由题意可得：，解得 因此，实数a的取值范围是故选项D正确11【答案】ACD解：对
8、由可得，所以或，所以A错误对B：由可得，所以，所以p：是q：的充分不必要条件，所以B正确对由，当且仅当时取等号，但是，所以，所以C错误对D：若当时，不等式恒成立，当时，不等式为恒成立，满足题意；当时，只要，解得；所以不等式的解集为R，则实数k的取值范围为，所以D错误12.【答案】ABD解：A.则，故函数的下界为2，选项A正确B.，则，则当时，当时，故在内单调选减，在内单调递增，所以有最小值m，使得在内成立，故该函数有下界，当时，故该函数无上界，选项B正确C.，则，则当时，当时，当时，0，故在内单调递增，在内单调递减，在内单澜送增，又函数在处无意义，且x一时，当时，当时，综上，该函数无上界，也无
9、下界，选项C错误D.sinx为周期函数，且，当时，该函数为振荡函数，函数有界，选项D正确13. 【答案】3 解：，则实部为314.【答案】7解：因为，所以，则当且仅当即时取等号，15. 【答案】【解析】解：在上有解，存在，使得，即，设，问题转化为求在上的最小值，而，当时，单调递减；当时，单调递增，16. 【答案】【解析】解：函数，函数恰有两个极值点，方程恰有两个正根，显然时方程的一个正根，方程有唯一正根，即方程有唯一正根，等价于函数与函数在上只有一个交点，且交点横坐标不等于1，函数在上单调递增，又，函数的图象如图所示：，且，17. 【答案】解：已知等式，利用正弦定理化简得：，为锐角，；，面积为
10、，即，由余弦定理得：，即，整理得：18.【答案】解：由题意可得，又，解得：；，19. 【答案】解：完成的列联表如下：平均车速超过平均车速不超过合计男性驾驶员401555女性驾驶员202545合计6040100，所以在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为“平均车速超过与性别有关”平均车速不超过的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为，记“这2人恰好是1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A，则事件A所包含的基本事件数为，所以所求的概率根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过且为男性驾驶员的概率为，故所以；所以X的分布列为X0123P20【答案】解：证明：四边形ABCD
11、是菱形，是AC的中点，平面PAC，平面PAC，平面PAC，O是AC的中点，平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD；由知平面ABCD，OB，OP两两互相垂直，以O为原点，以OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示：设，四边形ABCD是菱形，和都是等边三角形，即，设平面PAE的法向量为，则令，得，设平面PEC的法向量为，则令，得，设二面角的平面角为，结合图象可知，二面角的余弦值为21. 【答案】解：当时，令，得或；令，得；在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故当时，取得极大值为；当时，取得极小值为证明：令，在上是增函数，即当时，【答案】解：由题可知 设，则由与圆相切时得，即 将代入解得 所以的方程为 设，将代入得由直线l与椭圆相切得即，且 由直线l与圆相切，设，与联立得设直线与x轴交于点Q，则所以的面积，因为当且仅当时等号成立，所以的面积，即面积的最大值为
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