1、第五章 数 列 第一节 数列的概念与简单表示法 1数列的有关概念 概 念 含 义 数列 按照一定_排列着的一列数 数列的项 数列中的_ 数列的通项 数列an的第_项an叫做数列的通项 顺序 每一个数 n 概 念 含 义 通项公式 数列an的第n项an与n之间的关系能用公式 _表达，这个公式叫做数列的通项公 式 前n项和 数列an中，Sn=_叫做数列的前n 项和 an=f(n)a1+a2+an 2数列的表示方法（1）表示方法：列表法 列表格表达n与_的对应关系 图象法 把点_画在平面直角坐标系中 公式法 通项 公式 把数列的通项使用_表达的方法 递推 公式 使用初始值a1和an+1=f(an)或
2、a1,a2和an+1=f(an,an-1)等表达数列的方法 an(n,an)公式（2）数列的函数特征：上面数列的三种表示方法也是函数的 表示方法，数列可以看作是定义域为正整数集或它的有限子 集1，2，n，当自变量由小到大依次取值时所对应的一 列_（3）按照项数对数列分类：_数列、_数列 函数值 有穷 无穷 3数列的性质 单调性 递增数列 nN*，_ 递减数列 nN*，_ n常数列 nN*，_ 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 周期性 nN*，存在正整数常数k，an+kan an+1an an+1|an|(n=1,2,）”是“an为递增数列”的()(A)必要
3、不充分条件 (B)充分不必要条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 （2）已知数列an满足a1=0,则a20=()*nn 1na3a(nN)3a1，3(A)0(B)3(C)3(D)2【思路点拨】（1）根据充要条件的判断方法从正反两个方面进行判断，条件的不必要性可以通过反例得出，条件的充分性根据绝对值的性质和大于关系的传递性得出（2）计算数列的前面几项，发现规律【规范解答】（1）选B 方法一：由an+1|an|(n=1,2,）知an从第二项起均为正项，且a1a2anan+1|an|(n=1,2,），如-2，-1,0,1,2，方法二：an+1|an|（n=1,2,3，），若a10，则an0
4、（n=1,2,3，），此时an+1an，数列an是递增数列.若a1an，数列an是递增数列.但是，数列是递增数列，不能得到an+1|an|，如-3，-2，1，2,3，“an+1|an|(n=1,2,)”是数列an为递增数列的充分不必要条件（2）选B 这个数列是以3为周期的周期数列，故 1234a0,a3,a3,a0,，202aa3【拓展提升】关于数列的性质（1）数列的单调性与实数区间上函数的单调性是不同的，区 间上函数的单调性必须对区间内的实数满足单调性的定义，而 数列的单调性只要求对正整数满足单调性的定义即可，如函数 f（x)=2x2-5x的单调递增区间是 )，而通项公式是an=2n2-5n
5、的数列an对任意的正整数都满足单调递增的定义 5,4（2）数列的周期性是指存在正整数k（常数），对任意正整数an+k=an，在给出递推式关系的数列中可以通过计算数列的一些项的值，探究其周期性【提醒】在由特殊得出一般结论的时候，一定要注意特殊中体现出来的一般规律，为了保证特殊化方法得出的结论具有一般意义，可以多计算数列中几项的值，加以验证.【变式训练】已知数列an满足：a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,nN*,则a2 009=_；a2 014=_【解析】由已知得a2 009=a4503-3=1,a2 014=a21 007=a1007=a4252-1=0.填1，0 答案：1 0【创新
6、体验】递推数列创新题 【典例】（2012新课标全国卷）数列an满足an+1(1)nan 2n1，则an的前60项和为()(A)3 690 (B)3 660 (C)1 845 (D)1 830【思路点拨】【规范解答】选D当n=2k-1（kN*)时，a2k-a2k-1=2(2k-1)-1，当n=2k（kN*)时可得a2k+1+a2k=22k-1，当n=2k+1（kN*)时可得a2k+2-a2k+1=2(2k+1)-1，-得a2k+1+a2k-1=2，所以a1+a3+a59=(a1+a3)+(a5+a7)+（a57+a59)=215=30.+得：a2k+2+a2k=8k，所以a2+a4+a60=(a
7、2+a4)+(a6+a8)+（a58+a60)=8(1+3+29)=8225=1 800.所以S6030+1 8001 830.【思考点评】1.方法感悟：解题中分n为奇数和偶数，得出三组递推式，通过三组递推式之间的关系得出了数列的奇数项和与偶数项和的计算方法，把整体求和分解为部分求和.本题是近年来考查的一道难度较大的与递推数列有关的问题，成功解答该题需要有较高的逻辑思维能力以及灵活应用数学思想方法指导解题的能力 2.技巧提升：在含有(-1)n类的数列问题中，分n为奇数和偶数，把问题转化为两类分别解决，然后再整合两类问题得出最后的结果，体现了分类与整合思想的应用，这是解决该类试题的一个基本思想方
8、法 1.（2012福建高考）数列an的通项公式 其前n项和为Sn，则S2 012等于()(A)1 006 (B)2 012 (C)503 (D)0 nnancos 2，【解析】选A因为函数 的周期 =(4k-3)0+(4k-2)(-1)+(4k-1)0+4k1=2(kN*),所以数列an的每相邻四项之和是一个常数2，所以 故选A ycosx24k 34k 24k 14k2T4aaaa23(4k3)cos(2k)(4k2)cos(2k)(4k1)cos(2k)224kcos2k ，2 0122 012S21 00642.（2013东北三校联考）“1”是“数列an，其中an=n2-2 n(nN*)
9、为递增数列”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】选A数列an为递增数列，只要a1a2a3an，根据an=n2-2n(nN*)是n的二次函数，只要对称轴位于 左侧就能保证数列是单调递增的，因此只要 即可，故是充分不必要条件.3x232 3.(2013湛江模拟）已知a1=1,则an=_.【解析】答案:nn 1n1aa(n2)n，nn 1n 1aa(n2),nn 1n 2211n11nn21aa,aa.n12n1a1 2n11aa.2 3nnn1n1a1,a.n，以上（）个式子相乘得当时，故1n4（2013汕头模拟）已知数列an的前四项分别为
10、1，0，1，0，给出下列各式：其中可以作为数列an的通项公式的有_.（填序号）nn2nnnnnn 1n1(1)1(1)na;a;asin;2221,n1 cos na;a0,n;21(1)a(n1)(n2).2 为正偶数，为正奇数【解析】a1=1,a2=0,a3=3,a4=6.答案:nn12341(1)a,a1,a0,a1,a0;2 nn12342n1234n1234n1234n 1n1(1)a,a0,a1,a0,a1;2nasin,a1,a0,a1,a0;21 cos na,a1,a0,a1,a0;21,naa0,a1,a0,a1;0,n1(1)a(n1)(n2),2 为正偶数，为正奇数，1
11、.已知数列an满足a1=1，且 (n2,且nN*)，则数列an的通项公式为()nnn 111aa()33nnnn3n2(A)a(B)an23nnn(C)an2(D)a(n2)3【解析】选B.由 (n2且nN*)得，3nan=3n-1an-1+1，3n-1an-1=3n-2an-2+1，32a2=3a1+1.相加得3nan=n+2,nnn 111aa()33nnn2a.32已知数列an的首项a1=13，a2=56，an+2=an+1-an，则 a2 014=()(A)43 (B)-43 (C)13 (D)-13【解析】选Dan+3=an+2-an+1=(an+1-an)-an+1=-an，an+6=an.a2 014=a6335+4=a4，而a3=a2-a1=43，a4=a3-a2=43-56=-13 3.对于正项数列an，定义 为an 的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为 则数 列an的通项公式为_ n123nnHa2a3anan2Hn2，【解析】由 可得 a1+2a2+3a3+nan=，当n2时，a1+2a2+3a3+（n-1)an-1 得 n123nnHa2a3anannn(n2)H2(n1)(n1)2nn(n2)(n1)(n1)2n1na222，所以 又n=1时,由可得 也适合上式，所以数列an的通项公式为 答案：n2n1a2n13a2，n2n1a2nn2n1a2n