1、第六节离散型随机变量及其分布列1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量2离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，则下表称为离散型随机变量X的概率分布列.Xx1x2xixnPp1p2pipn(2)离散型随机变量的分布列的性质：pi0(i1,2，n)；p1p2p3pn1.3常见离散型随机变量的分布列两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为X01P1pp，其中pP(X1)称为成功概率1(思考辨析)判断下列结论的正
2、误(正确的打“”，错误的打“”)(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.()(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的()(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从两点分布()X25P0.30.7答案(1)(2)(3)2(教材改编)抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X4表示的基本事件是()A一颗是3点，一颗是1点B两颗都是2点C一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点D甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点D甲是3点，乙是1点与甲是1点，乙是3点是试验的两个不同结果，故应选D.3设随机变量X的分布列如下：X12345Pp则p等于()A.B.C
3、.D.C由分布列的性质，p1.p1.4设随机变量X等可能取值1,2,3，n，如果P(X4)0.3，那么n_. 【导学号：51062354】10由于随机变量X等可能取1,2,3，n，取到每个数的概率均为，P(X4)P(X1)P(X2)P(X3)0.3，n10.5一试验箱中装有标号为1,2,3,3,4的5只白鼠，若从中任取1只，记取到的白鼠的标号为Y，则随机变量Y的分布列是_.Y1234P5只白鼠任取一只，则每只白鼠被取到的概率为，P(Y1)，P(Y2)，P(Y3)，P(Y4).所以随机变量Y的分布列为Y1234P离散型随机变量分布列的性质设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.
4、10.3m求随机变量|X1|的分布列解由分布列的性质，知020.10.10.3m1，m0.3.4分列表X01234|X1|10123P(1)P(X0)P(X2)0.20.10.3，P(0)P(X1)0.1，P(2)0.3，P(3)0.3.10分因此|X1|的分布列为0123P0.10.30.30.315分规律方法1.利用分布列中各概率之和为“1”可求参数的值，此时要注意检验，以保证两个概率值均为非负数2若X是随机变量，则|X一1|仍然是随机变量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率，进而写出分布列变式训练1随机变量X的分布列如下：X101Pabc其中a，
5、b，c成等差数列，则P(|X|1)_.由题意知所以2bb1，则b，因此ac.所以P(|X|1)P(X1)P(X1)ac.离散型随机变量的分布列已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望). 【导学号：51062355】解(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A).5分
6、(2)X的可能取值为200,300,400.P(X200)，P(X300)，P(X400)1P(X200)P(X300)1.9分故X的分布列为X200300400PE(X)200300400350.15分规律方法1.求随机变量的分布列的主要步骤：(1)明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；(2)求每一个随机变量取值的概率；(3)列成表格，写出分布列，其中的关键是第(2)步2本题在计算中注意两点：(1)充分利用排列、组合知识准确计算古典概型的概率；(2)灵活运用分布列的性质求P(X400)的概率，简化了计算变式训练2某小组共10人，利用假期参加义工活动已知参加义工活动次数为1,2,
7、3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望. 【导学号：51062356】解(1)由已知，有P(A).所以，事件A发生的概率为.5分(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X0)，P(X1)，P(X2).11分所以，随机变量X的分布列为X012P随机变量X的数学期望E(X)0121.15分思想与方法1对于随机变量X的研究，需要了解随机变量能取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随
8、机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率2求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率易错与防范1对于分布列易忽视其性质p1p2pn1及pi0(i1,2，n)，其作用是求随机变量取某个值的概率或检验所求离散型随机变量的分布列是否正确2确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的3分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率课时分层训练(五十七)离散型随机变量及其分布列A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1某射手射击所得
9、环数X的分布列为()X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为()A0.28B0.88C0.79D0.51C根据X的分布列知，所求概率为0.280.290.220.79.2设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X0)等于()A0B.C.D.C由已知得X的所有可能取值为0,1，且P(X1)2P(X0)，由P(X1)P(X0)1，得P(X0).3已知随机变量X的分布列为：P(Xk)，k1,2，则P(2X4)等于()A.B.C.D.AP(Xk)，k1,2，P(2X4)P(X3)P(X4
10、).4(2017郑州模拟)已知随机变量X的分布列为P(Xi)(i1,2,3,4)，则P(2X4)等于() 【导学号：51062357】A.B.C.D.B由分布列的性质知，1，则a5，P(2X4)P(X3)P(X4).5设随机变量X的概率分布列如下表所示：X012PaF(x)P(Xx)，则当x的取值范围是1,2)时，F(x)等于()A.B.C.D.Da1，a.x1,2)，F(x)P(Xx).二、填空题6抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X4)_.相应的基本事件空间有36个基本事件，其中X2对应(1,1)；X3对应(1,2)，(2,1)；X4对应(1,3)，(2,2)，(3,1)所
11、以P(X4)P(X2)P(X3)P(X4) .7随机变量X的分布列如下：X101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|1)_，公差d的取值范围是_. 【导学号：51062358】a，b，c成等差数列，2bac.又abc1，b，P(|X|1)ac.又ad，cd，根据分布列的性质，得0d，0d，d.8口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任意取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的分布列为_X345P0.10.30.6X的可能取值为3,4,5.又P(X3)，P(X4)，P(X5).随机变量X的分布列为X345P0.10.30.6三、解答题9(2017绍兴调测)从装有大小相同的2
12、个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球(不放回)，则试验结束(1)求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率；(2)记试验次数为X，求X的分布列及数学期望E(X). 【导学号：51062359】解(1)记“第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球”为事件A，则P(A).6分(2)由题知X的可能取值为1,2,3,4.则P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).10分X的分布列为X1234P13分E(X)1234.15分10若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)在某次数学趣味活
13、动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1分；若能被10整除，得1分(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X). 【导学号：51062360】解(1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.4分(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C84，随机变量X的取值为：0，1,1，因此P(X0)，P(X1)，P(X1)1.9分所以X的分布列为X011P13分则E(X
14、)0(1)1.15分B组能力提升(建议用时：15分钟)1若随机变量X的分布列为X210123P0.10.20.20.30.10.1则当P(Xa)0.8时，实数a的取值范围是()A(，2B1,2C(1,2D(1,2)C由随机变量X的分布列知：P(X1)0.1，P(X0)0.3，P(X1)0.5，P(X2)0.8，则当P(Xa)0.8时，实数a的取值范围是(1,22在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，写出这两次取出白球数的分布列为_.012P的所有可能值为0,1,2.P(0)，P(1)，P(2).的分布列为012P3一个盒子里装有7张卡片
15、，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 【导学号：51062361】解(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P(A).5分所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为.6分(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).10分所以随机变量X的分布列是X1234P随机变量X的数学期望E(X)1234.15分