1、专题检测（十）空间几何体的三视图、表面积及体积 A 组“124”满分练一、选择题1如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为()解析：选 A 由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为 A.故选 A.2(2019福州市质量检测)棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 木块的直观图如图所示，平面 过点 D 且平行于平面 ACD1，则该木块在平面 内的正投影面积是()A.3 B32 3C.2D1解析：选 A 棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 木块在平面 内的正投影是三个全等的菱形，如图，正投影可以看成
2、两个边长为 2的等边三角形，所以木块在平面 内的正投影面积是 212 2 2 32 3.故选 A.3已知矩形 ABCD，AB2BC，把这个矩形分别以 AB，BC 所在直线为轴旋转一周，所成几何体的侧面积分别记为 S1，S2，则 S1 与 S2 的比值等于()A.12B1C2D4解析：选 B 设 BCa，AB2a，所以 S12a2a4a2，S222aa4a2，S1S21.故选 B.4设球 O 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的内切球，若平面 ACD1 截球 O 所得的截面面积为 6，则球 O 的半径为()A.32B3C.32D 3解析：选 B 如图，易知 B1D 过球心 O，且 B1D平面
3、 ACD1，不妨设垂足为 M，正方体棱长为 a，则球半径 Ra2，易知 DM13DB1，OM16DB1 36 a，截面圆半径 r a22OM2 66 a，由截面圆面积 Sr26，得 r 66 a 6，a6，球 O 的半径为 Ra23.故选 B.5(2019 武汉市调研测试)如图，在棱长为 1 的正方体ABCD-A1B1C1D1 中，M 为 CD 的中点，则三棱锥 ABC1M 的体积 VABC1M()A.12B14C.16D 112解析：选 C VABC1MVC1ABM13SABMC1C1312ABADC1C16.故选 C.6(2019武汉市调研测试)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画
4、出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A.23B43C2D2 5解析：选 B 由三视图知，该几何体是由两个底面半径为 1，高为 2 的圆锥组成的，所以该几何体的体积 V21312243.故选 B.7在三棱锥 A-BCD 中，侧棱 AB，AC，AD 两两垂直，ABC，ACD，ADB 的面积分别为 22，32，62，则该三棱锥的体积为()A.6B 66C6D2 6解析：选 B 由ABC，ACD，ADB 的面积分别为 22，32，62，且 AB，AC，AD两两垂直，可得12ABAC 22，12ADAC 32，12ABAD 62，三个式子相乘可得(ABACAD)26，该三棱锥的体积 V1312
5、ABACAD 66.故选 B.8已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()AB34C.2D4解析：选 B 设圆柱的底面半径为 r，球的半径为 R，过圆柱的轴线作一截面，如图由勾股定理得 rR2 122 32.该圆柱的体积 VSh322134.故选 B.9若一个球与四面体的六条棱都相切，则称此球为四面体的棱切球已知正四面体的棱长为 2，则它的棱切球的体积为()A 354B6C3D 32解析：选 B 将棱长为 2的正四面体放入棱长为 1 的正方体中，则正四面体的棱为正方体的面对角线，所以正四面体的棱切球即为正方体的内切球，则球的半径 R12，体积
6、V43R36.故选 B.10已知点 A，B，C，D 均在球 O 上，ABBC 3，AC3.若三棱锥 D-ABC 体积的最大值为3 34，则球 O 的表面积为()A36B16C12D163 解析：选 B 设ABC 的外接圆的半径为 r，ABBC 3，AC3，ABC120，2r3sin 1202 3，SABC3 34，ABC 的外接圆的半径为 3.三棱锥 D-ABC 的体积的最大值为3 34，点 D 到平面 ABC 的最大距离为 3.设球 O 的半径为 R，则 r2R2(3R)2，解得 R2，球 O 的表面积为 4R216.故选 B.11已知一个半径为 7的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，
7、则正三棱柱的体积是()A18B16C12D8解析：选 A 设正三棱柱的棱长为 2a，如图，取球心为 O，过点 O作 OO垂直三棱柱的上底面于点 O，连接点 O与上底面顶点 A 交对棱于点 B.则 AB 3a，AO2 33 a，OOa.在 RtOOA 中，由勾股定理，得 OA2OO2OA2.OA 7，7a243a273a2.整理得 a23，a 3.棱长为 2a2 3.正三棱柱的体积 V122 32 3 sin 602 318.故选 A.12.(2019福州市质量检测)如图，以棱长为 1 的正方体的顶点 A 为球心，以 2为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为()A.34B
8、 2C.32D94解析：选 C 正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上底面被球面截得的弧长是以 A1 为圆心，1 为半径的圆周长的14，所以所有弧长之和为 324 32.故选 C.二、填空题13(2019长春市质量监测(一)已知一所有棱长都是 2的三棱锥，则该三棱锥的体积为_解析：记所有棱长都是 2的三棱锥为 P-ABC，如图所示，取 BC 的中点 D，连接 AD，PD，作 POAD 于点 O，则 PO平面 ABC，且 OP 63 22 33，故三棱锥 PABC 的体积 V13SABCOP13 34(2)22 33 13.答案：1314.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1
9、 的棱长为 1，除面 ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点 E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥 M-EFGH的体积为_解析：依题意知，四棱锥 M-EFGH 为正四棱锥，正方形 EFGH 的边长为 122 12222，四棱锥 MEFGH 的高为12，所以四棱锥M-EFGH 的体积为1322212 112.答案：11215古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为_解析：由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，其中圆柱的高为 5，底面圆的半径为3，半球的半径为 3，
10、所以组合体的体积为32512433363.答案：6316已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点都在球 O 的表面上，PA平面 ABC，ABBC，且 PA8.若平面 ABC 截球 O 所得截面的面积为 9，则球 O 的表面积为_解析：设球 O 的半径为 R，由平面 ABC 截球 O 所得截面的面积为 9，得ABC 的外接圆的半径为 3.设该外接圆的圆心为 D，因为 ABBC，所以点 D 为 AC 的中点，所以 DC3.因为 PA平面 ABC，易证 PBBC，所以 PC 为球 O 的直径又 PA8，所以 OD12PA4，所以 ROC42325，所以球 O 的表面积为 S4R2100.答案：100B 组
11、“53”提速练1.(2019合肥市第二次质量检测)如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有()A2 对 B3 对C4 对D5 对解析：选 C 由三视图知该几何体是一个四棱锥，它有一个侧面与底面垂直，且顶点在底面上的射影在底面的一条边的中点处，即如图所示的四棱锥 S-ABCD，平面 SCD平面 ABCD.因为 ADDC，BCDC，且平面 SCD平面 ABCDDC，所以 AD平面 SCD，BC平面 SCD，所以平面 SAD平面 SCD，平面 SBC平面 SCD.又由三视图知 SCSD，同时由 AD平面 SCD，知 ADSC，又 SDADD,所以 SC
12、平面 SAD，所以平面 SBC平面 SAD.综上可知，该多面体各表面所在平面互相垂直的有 4 对故选 C.2在棱长为 3 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，P 在线段 BD1 上，且 BPPD112，M 为线段 B1C1上的动点，则三棱锥 M-PBC 的体积为()A1 B32C.92D与 M 点的位置有关解析：选 B BPPD112，点 P 到平面 BCC1B1 的距离是 D1 到平面 BCC1B1 距离的13，即为D1C13 1.M 为线段 B1C1 上的点，SMBC123392，VMPBCVPMBC1392132.故选 B.3已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为 1，点
13、 M 在线段 BC 上(点 M 异于 B，C 两点)，点 N 为线段 CC1 的中点，若平面 AMN 截正方体 ABCD-A1B1C1D1 所得的截面为四边形，则线段 BM 的取值范围为()A.0，13B0，12C.12，1D12，23解析：选 B 由题意，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，如图所示，当点 M 为线段 BC 的中点时，截面为四边形 AMND1，当 0BM12时，截面为四边形，当 BM12时，截面为五边形故选 B.4已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长为 6，且底面是边长为 2 的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱 AA1，BB1，CC1 分别交于三点 M
14、，N，Q，若MNQ 为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为()A2 2B3C2 3D4解析：选 C 如图，不妨设 N 在 B 处，设 AMh，CQm，则MB2h24，BQ2m24，MQ2(hm)24，由 MB2BQ2MQ2，得 m2hm20.h280h28，该直角三角形斜边 MB4h22 3，故该直角三角形斜边长的最小值为 2 3.故选 C.5(2019郑州市第二次质量预测)在ABC 中，已知 AB2 3，BC2 6，ABC45，D 是边 AC 上的一点，将ABD 沿 BD 折叠，得到三棱锥 A-BCD，若该三棱锥的顶点 A 在底面 BCD 上的射影 M 在线段 BC 上，设 BMx，则
15、 x 的取值范围是()A(0，2 3)B(3，6)C(6，2 3)D(2 3，2 6)解析：选 C 将ABD 沿 BD 折起，得到三棱锥 A-BCD，且点A 在底面 BCD 上的射影 M 在线段 BC 上，所以在图 b 中，AM平面 BCD，MN，AN 都与 BD垂直，因此，折叠前在图 a 中，AMBD，垂足为 N，在图 a 中可得当 D 点与 C 点无限接近时，折痕 BD 接近 BC，此时 M 与点 M1 无限接近在图 b 中，由于 AB 是 RtABM 的斜边，BM是直角边，所以 BMAB，由此可得 BM1BMAB，因为在 RtAM1B 中，BM1ABcos 452 3 22 6，所以 6
16、BM2 3，即 6x2 3.故选 C.6.如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D 为棱 AA1 的中点若 AA14，AB2，则四棱锥 B-ACC1D 的体积为_解析：取 AC 的中点 O，连接 BO(图略)，则 BOAC，所以 BO平面 ACC1D.因为 AB2，所以 BO 3.因为 D 为棱 AA1 的中点，AA14，所以 AD2，所以 S 梯形 ACC1D12(24)26，所以四棱锥 B-ACC1D 的体积为136 32 3.答案：2 37已知在正四棱锥 S-ABCD 中，SA6 3，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为_解析：设正四棱锥的底面正方形的边长为 a，高为 h，因为在正四
17、棱锥 S-ABCD 中，SA6 3，所以a22 h2108，即 a22162h2，所以正四棱锥的体积 VSABCD13a2h72h23h3，令y72h23h3，则 y722h2，令 y0，得 0h6，令 y6，所以当该棱锥的体积最大时，它的高为 6.答案：68(2019河南八市重点高中联盟测评改编)已知一个高为 1 的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为 2 的等边三角形，则三棱锥的表面积为_，若三棱锥内有一个体积为 V的球，则 V 的最大值为_解析：该三棱锥侧面的斜高为13 32122 33，则 S 侧31222 33 2 3，S底12 32 3，所以三棱锥的表面积 S 表2 3 33 3.由题意知，当球与三棱锥的四个面都相切时，其体积最大设三棱锥的内切球的半径为 r，则三棱锥的体积 V 锥13S 表r13S 底1，所以 3 3r 3，所以 r13，所以三棱锥的内切球的体积最大为 Vmax43r3481.答案：3 3 481
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