1、第三章 导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.1 函数的单调性与导数A级基础巩固一、选择题1函数yx2ln x的单调减区间是()A(0，1) B(0，1)(，1)C(，1) D(，)解析：因为yx2ln x的定义域为 (0，)，所以 yx，令y0，即x0，解得：0x1或x1.又因为x0，所以 0x1.答案：A2下列函数中，在(0，)内为增函数的是()Aysin x Byxe2Cyx3x Dyln xx解析：显然ysin x在(0，)上既有增又有减，故排除A；对于函数yxe2，因e2为大于零的常数，不用求导就知yxe2在(0，)内为增函数；对于C，y3x213，故函数在和上为增函数，
2、在上为减函数；对于D，y1(x0)故函数在(1，)上为减函数，在(0，1)上为增函数答案：B3函数f(x)x3ax2bxc，其中a，b，c为实数，当a23b0时，f(x)是()A增函数B减函数C常数D既不是增函数也不是减函数解析：求函数的导函数f(x)3x22axb，导函数对应方程f(x)0的4(a23b)0，所以f(x)0恒成立，故f(x)是增函数答案：A4若函数yf(x)在定义域(，3)内可导，其图象如图所示，记yf(x)的导函数为yf(x)，则不等式f(x)0的解集是()A.，2，3)B.，C.，1，2D.，解析：求f(x)0的解集，即求函数f(x)在上的单调递减区间由图象，可知函数yf
3、(x)的单调递减区间为和2，3)答案：A5已知对任意实数x，有f(x)f(x)，且当x0时，有f(x)0，则当x0时，有()Af(x)0 Bf(x)0Cf(x)0 Df(x)0解析：因为f(x)f(x)，所以 f(x)为奇函数，图象关于原点对称，因为当x0时，f(x)0，所以 f(x)为增函数，当x0时，f(x)也为增函数，所以 f(x)0.答案：B二、填空题6函数f(x)x2sin x在(0，)上的单调递增区间为_解析：令f(x)12cos x0，得cos x，又x(0，)，所以 x.答案：7已知函数f(x)ln x，则f(2)，f(3)，f(e)按从小到大排列应为_ .解析：因为在定义域(
4、0，)上f(x)0，所以f(x)在(0，)上是增函数，所以有f(2)f(e)f(3)答案：f(2)f(e)f(3)8在下列命题中，真命题是_(填序号)若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任意x(a，b)，都应有f(x)0；若在(a，b)内f(x)存在，则f(x)必为单调函数；若在(a，b)内对任意x都有f(x)0，则f(x)在(a，b)内是增函数；若可导函数在(a，b)内有f(x)0，则在(a，b)内有f(x)0.解析：对于，可以存在x0，使f(x0)0不影响区间内函数的单调性；对于，导数f(x)符号不确定，函数不一定是单调函数；对于，f(x)0只能得到f(x)单调递减答案：三、解答题9证明
5、：函数f(x)在区间(0，2)内是增函数证明：f(x).因为0x2，所以ln xln 21，故1ln x0.所以f(x)0.根据导数与函数单调性的关系，得函数f(x)在区间(0，2)内是增函数10已知函数f(x)x3bx2cxd的图象经过点P(0，2)，且在点M(1，f(1)处的切线方程为6xy70.(1)求函数yf(x)的解析式；(2)求函数yf(x)的单调区间解：(1)由yf(x)的图象经过点P(0，2)，知d2，所以 f(x)x3bx2cx2，f(x)3x22bxc.由在点M(1，f(1)处的切线方程为6xy70，如6f(1)70，即f(1)1，f(1)6.所以 即解得bc3.故所求的解
6、析式是f(x)x33x23x2.(2)f(x)3x26x3，令f(x)0，得x1或x1；令f(x)0，得1x1.故f(x)x33x23x2的单调递增区间为(，1)，(1，)，单调递减区间为(1，1)B级能力提升1设f(x)，g(x)在a，b上可导，且f(x)g(x)，则当axb时，有()Af(x)g(x)Bf(x)g(x)Cf(x)g(a)g(x)f(a)Df(x)g(b)g(x)f(b)解析：因为f(x)g(x)0，所以 0，所以 f(x)g(x)在a，b上是增函数，所以 当axb时f(x)g(x)f(a)g(a)，所以 f(x)g(a)g(x)f(a)答案：C2若函数f(x)x3bx2cx
7、d的单调递减区间为(1，2)，则b_，c_解析：f(x)3x22bxc，由题意知1x2是不等式f(x)0的解，即1，2是方程3x22bxc0的两个根，把1，2分别代入方程，联立解得b，c6.答案：63已知函数f(x)mx3nx2(m、nR，m0)，函数yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线与x轴平行(1)用关于m的代数式表示n；(2)求函数f(x)的单调增区间解：(1)由已知条件得f(x)3mx22nx，又f(2)0，所以 3mn0，故n3m.(2)因为n3m，所以 f(x)mx33mx2，所以 f(x)3mx26mx.令f(x)0，即3mx26mx0，当m0时，解得x0或x2，则函数f(x)的单调增区间是(，0)和(2，)；当m0时，0x2，则函数f(x)的单调增区间是(0，2)综上，当m0时，函数f(x)的单调增区间是(，0)和(2，)；当m0时，函数f(x)的单调增区间是(0，2)