1、第四节直线与圆、圆与圆的位置关系1判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr相离(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式b24ac，0相交，0相切，0)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r(r20).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：联立两个圆的方程组成方程组的解的情况相离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r2r1|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(r1r2)无解1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的
2、打“”)(1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交()(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程()解析依据直线与圆、圆与圆的位置关系，只有(4)正确答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()A内切B相交C外切D相离B两圆圆心分别为(2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d.32d32，两圆相交3(2017嘉兴调研)直线3x4yb与圆x2y22x2
3、y10相切，则b的值是()A2或12B2或12C2或12D2或12D由圆x2y22x2y10，知圆心(1,1)，半径为1，所以1，解得b2或12.4在平面直角坐标系xOy中，直线x2y30被圆(x2)2(y1)24截得的弦长为_圆心为(2，1)，半径r2.圆心到直线的距离d，所以弦长为22.5设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若|AB|2，则圆C的面积为_. 【导学号：51062274】4圆C：x2y22ay20化为标准方程是C：x2(ya)2a22，所以圆心C(0，a)，半径r.|AB|2，点C到直线yx2a即xy2a0的距离d，由勾股定理得22a22，解得a22，所
4、以r2，所以圆C的面积为224.直线与圆的位置关系(1)(2017豫南九校联考)直线l：mxy1m0与圆C：x2(y1)25的位置关系是()A相交B相切C相离D不确定(2)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为_(1)A(2)x2y50(1)法一：圆心(0,1)到直线l的距离d10)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切B相交C外切D相离B法一：由得两交点为(0,0)，(a，a)圆M截直线所得线段长度为2，2.又a0，a2.圆M的方程为x2y24y0，即x2(y2)24，圆心M(0,2)，半径r12.又圆N：(x
5、1)2(y1)21，圆心N(1,1)，半径r21，|MN|.r1r21，r1r23,1|MN|0)x2(ya)2a2(a0)，M(0，a)，r1a.圆M截直线xy0所得线段的长度为2，圆心M到直线xy0的距离d，解得a2.以下同法一规律方法1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系2若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到3若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦变式训练2若O：x2y25与O1：(xm)2y220(mR)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是_4由题意O1与O在A处的切线互相垂直，则两切线分别
6、过另一圆的圆心，O1AOA.又|OA|，|O1A|2，|OO1|5.又A，B关于OO1对称，AB为RtOAO1斜边上高的2倍又OAO1AOO1AC，得AC2.AB4.直线与圆的综合问题如图841，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600及其上一点A(2,4)图841(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BCOA，求直线l的方程解圆M的标准方程为(x6)2(y7)225，所以圆心M(6,7)，半径为5.2分(1)由圆心N在直线x6上，可设N(6，y0)因为圆N与x轴相切，与
7、圆M外切，所以0y01，圆心到直线的距离d1，故直线与圆相交2若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则m()A21B19C9D11C圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r11，因为圆C2的方程可化为(x3)2(y4)225m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2(m0)相交于A，B两点，且AOB120(O为坐标原点)，则r_.2如图，过点O作ODAB于点D，则|OD|1.AOB120，OAOB，OBD30，|OB|2|OD|2，即r2.8(2017浙江金华十校联考)已知圆C：(x2)2y24，直线l：kxy2k0(kR)，若直线l与圆C恒有公共点，则实数k的最小值是_.
8、【导学号：51062277】圆心C(2,0)，半径r2.又圆C与直线l恒有公共点所以圆心C(2,0)到直线l的距离dr.因此2，解得k.所以实数k的最小值为.三、解答题9已知圆C：x2y24x6y120，点A(3,5)(1)求过点A的圆的切线方程；(2)O点是坐标原点，连接OA，OC，求AOC的面积S.解(1)由圆C：x2y24x6y120，得(x2)2(y3)21，圆心C(2,3)当斜率存在时，设过点A的圆的切线方程为y5k(x3)，即kxy53k0.3分由d1，得k.又斜率不存在时直线x3也与圆相切，故所求切线方程为x3或3x4y110.6分(2)直线OA的方程为yx，即5x3y0，又点C
9、到OA的距离d.12分又|OA|.所以S|OA|d.15分10(2017宁波镇海中学模拟)已知定点M(0,2)，N(2,0)，直线l：kxy2k20(k为常数)(1)若点M，N到直线l的距离相等，求实数k的值；(2)对于l上任意一点P，MPN恒为锐角，求实数k的取值范围解(1)点M，N到直线l的距离相等，lMN或l过MN的中点M(0,2)，N(2,0)，直线MN的斜率kMN1，MN的中点坐标为C(1,1).3分又直线l：kxy2k20过定点D(2,2)，当lMN时，kkMN1；当l过MN的中点时，kkCD.综上可知，k的值为1或.6分(2)对于l上任意一点P，MPN恒为锐角，l与以MN为直径的
10、圆相离，即圆心(1,1)到直线l的距离大于半径，10分d，解得k1.15分B组能力提升(建议用时：15分钟)1若圆C1：x2y22axa290(aR)与圆C2：x2y22byb210(bR)内切，则ab的最大值为()A.B2C4D2B圆C1：x2y22axa290(aR)化为(xa)2y29，圆心坐标为(a,0)，半径为3.圆C2：x2y22byb210(bR)，化为x2(yb)21，圆心坐标为(0，b)，半径为1.圆C1：x2y22axa290(aR)与圆C2：x2y22byb210(bR)内切，31，即a2b24，ab(a2b2)2.ab的最大值为2.2(2017杭州质检)过点P(1，)作
11、圆x2y21的两条切线，切点分别为A，B，则_. 【导学号：51062278】如图所示，可知OAAP，OBBP，OP2.又OAOB1，可以求得APBP，APB60.故cos 60.3已知圆C的方程为x2(y4)24，点O是坐标原点，直线l：ykx与圆C交于M，N两点(1)求k的取值范围；(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比为的两段弧？若能，求出直线l的方程；若不能，请说明理由解(1)将ykx代入圆C的方程x2(y4)24.得(1k2)x28kx120.2分直线l与圆C交于M，N两点，(8k)2412(1k2)0，得k23，(*)k的取值范围是(，)(，).6分(2)假设直线l将圆C分割成弧长的比为的两段弧，则劣弧所对的圆心角MCN90，由圆C：x2(y4)24知圆心C(0,4)，半径r2.9分在RtMCN中，可求弦心距drsin 45，故圆心C(0,4)到直线kxy0的距离，1k28，k，经验证k满足不等式(*)，12分故l的方程为yx.因此，存在满足条件的直线l，其方程为yx.15分