1、2021-2022学年度第二学期高二年级期终考试数学试题（总分150分，考试时间120分钟）注意事项：1本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，计40分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项）1. 2022盐城马拉松“跑遍盐城”赛事分为全程、半程、五个组别，合计15000人参赛，其中半程组6000人参赛，三个组合计5000人参赛，赛后运用分层抽样的方法抽取4
2、50人进行活动调研，则全程组应抽取（ ）A. 180人B. 150人C. 120人D. 330人【答案】C【解析】【分析】根据比例,即可算出分层抽样中全程组的人数.【详解】全程组共有人参赛，所以抽取的人数为，故选：C2. 某校“校园歌手”比赛中，某选手获得的原始评分为，去掉一个最高分和一个最低分后得到有效评分，则有效评分与原始评分相比较，一定不变的特征数是（ ）A. 众数B. 平均数C. 中位数D. 方差【答案】C【解析】【分析】根据中位数的定义即可求解.【详解】根据题意，将7个数据从小到大排列，去掉一个最高分和最低分，得到5个有效评分，原始数据和有效评分相比，最中间的数没有发生改变，所以中位
3、数不改变.故选：C3. 若直线与双曲线一条渐近线平行，则实数m的值为（ ）A. B. 9C. D. 3【答案】A【解析】【分析】根据双曲线渐近线的求法，利用直线平行斜率相等即可求解.【详解】的渐近线方程满足，所以渐进线与平行，所以渐近线方程为，故故选：A4. 某几何体由共底面的圆柱和圆锥组合而成，圆柱的轴截面是正方形，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，若该几何体的体积为，则其表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据圆柱和圆锥的体积公式可求出底面圆半径以及圆锥圆柱的高，然后根据表面积公式求解即可.【详解】设圆柱圆锥的底面圆半径为，因为圆柱的轴截面是正方形，所以圆柱的高为，
4、又圆锥的轴截面是等腰直角三角形，所以圆锥的高为，母线为，故该几何体的体积为，解得，所以该几何体的表面积为，故选：D5. 在平行四边形ABCD中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的性质和向量的线性运算可求得答案.【详解】解：因为，所以，故选：B.6. 某班有甲、乙、丙、丁4名同学欲报名参加3个不同的数学类社团，若每位同学随机选择一个社团，则每个社团都有同学报名的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据古典概型的概率公式即可求解【详解】解：4名同学随机报名参加3个不同的数学类社团共有种，每个社团都有学生报名有种，故.故选：D.7.
5、四棱锥的外接球O的半径为2，平面ABCD，底面ABCD为矩形，则平面PAD截球O所得的截面面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据外接球的球心到所有顶点距离相等，故可得球心为的中点，即可根据截面的性质求解截面圆半径.【详解】由题意可知，球心为的中点，因为,所以平面,为的中点,故到平面的距离为,故截面圆的半径为，截面面积为故选：B8. 给四面体ABCD的六条棱涂色，每条棱可涂红、黄、蓝、绿四种颜色中的任意一种，且任意共顶点的两条棱颜色都不相同，则不同的涂色方法种数为（ ）A. 24B. 72C. 96D. 144【答案】C【解析】【分析】可按分步原理求解本题，第一步涂有
6、四种方法，第二步涂有三种方法，第三步涂有二种涂法，第四步涂时分两类，若与同色与不同色，即可得出涂法总数选出正确答案【详解】由题意，第一步涂有四种方法，第二步涂有三种方法，第三步涂有二种涂法，第四步涂，若与同，则一种涂法，第五步可分两种情况，若与同色，最后一步涂有2种涂法，若第四步涂，与不同，则涂第四种颜色，此时，各有一种涂法综上，总的涂法种数是故选：C二、多选题：（本大题共4小题，每小题5分，计20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项）9. 在展开式中，下列结论正确的是（ ）A. 第2项为B. 常数
7、项为C. 所有项的二项式系数之和为64D. 存在x的一次项【答案】BC【解析】【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，得出结论【详解】在的展开式中，通项公式为，当时，故A错误.令，求得，可得展开式的常数项为，故B正确；二项式系数之和为，故C正确令，解得不是整数，所以不存在x的一次项,故D错误，故选：BC10. 近年来卫生机构医疗能力备受关注，下图是盐城市2011-2020年卫生机构床位数和医生人数统计数据，则（ ）A. 各年医生人数的25百分位数为15008B. 后五年中卫生机构床位数年增长速度最快的年份为2020年C. 每年卫生机构床位数增长率均高于医生人数增长率D. 卫生
8、机构床位数与医生人数之间存在正相关关系【答案】ABD【解析】【分析】根据百分数计算可知A对，根据统计图中的数据，可判断B,C,根据正相关的定义以及图中数据即可判断D.【详解】根据统计图可知：2011-2020年的医生人数逐年增加，所以，则第三个数据为15008故各年医生人数的25百分位数为15008，故A对.后5年即2016-2020年，增长速度最快是2020年，增长量43324-40301=3023，故B对.2017-2018年，卫生机构的增长为39879-39985=-106,为负，而医生人数增长率为正，故C错误.根据统计图可知，医生人数增长时，卫生机构肠床位数基本也在增加，所以是正相关，
9、故D对.故选：ABD11 若，则（ ）A. 若A，B为互斥事件，则B. C. 若A，B相互独立，则D. 若，则A，B相互独立【答案】AD【解析】【分析】利用互斥事件的定义及性质判断A选项；利用和事件的关系判断B选项；利用相互独立事件的定义及性质判断C选项；利用条件概率公式，求解事件A与B的积事件，根据独立事件关系确定A、B的独立性可判断D.【详解】解：选项A：若A，B为互斥事件，则，故A正确；选项B：，故B错误；选项C：若A，B相互独立，故C错误； 选项D：，则A，B相互独立，故D正确；故选：AD.12. 在长方体中，点M是棱AD的中点，点P在侧面的边界及其内部运动，则（ ）A. 直线MP与直
10、线所成角的最大值为90B. 若，则点P的轨迹为椭圆的一部分C. 不存在点P，使得平面D. 若平面与平面ABCD和平面与平面所成的锐二面角相等，则点P的轨迹长度为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，先判断直线MP与直线为异面直线，再说明能取得90即可；对于B，由点P的轨迹为圆锥面与平面的交线即可判断；对于C，由线面平行的向量证明说明点P不存在即可；对于D，由面面角的向量求法求得点P的轨迹为线段，再求出长度即可.【详解】对于A，取中点，易得，则平面，又，平面，则直线MP与直线为异面直线，则直线MP与直线所成角的范围为， 平面，又在上时，平面，则，此时直线MP与直线所成角为90，则直线MP与直线所
11、成角的最大值为90，A正确；对于B，满足的动点的轨迹是以为轴，半顶角为的圆锥面，又轴平面，则圆锥面与平面的交线为双曲线的一部分，即点P的轨迹为双曲线的一部分，B错误；对于C，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，易得，设，其中，则，设平面的法向量为，则，取，则，要使平面，则，即，又，显然无解，即不存在点P，使得平面，故C正确；对于D，由C选项知，平面的法向量，易得平面ABCD的法向量为，平面的法向量为，由锐二面角相等，可得，化简得，即（舍去）或；画出平面的平面图，易得与的交点为，与的交点为，则，即点P的轨迹长度为，D正确.故选：ACD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分不需写出解
12、答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）13. 已知直线与圆相切，则实数a的值为_【答案】【解析】【分析】利用圆心到直线的距离等于半径即可求解的值.【详解】解：由题可得圆的圆心为，半径为，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，即，解得.故答案为：.14. 若随机变量，则_【答案】0.9【解析】【分析】根据正态分布曲线的对称性，即可求解.【详解】因为随机变量所以正态分布的对称轴为，所以，故答案为：0.915. 如图，圆O的半径为3，点C在劣弧上，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】根据垂直关系，可建立直角坐标系，然后根据点的坐标得向量坐标，根据向量坐标运算求解.【详解】因为，所以建立以为正方
13、向，建立直角坐标系，过作,则为的中点.,所以,故,设，所以，因为，故当时，最小，且最小值为故答案为：16. 如图，在直三棱柱中，点P在棱BC上运动，则过点P且与垂直的平面截该三棱柱所得的截面周长的最大值为_【答案】【解析】【分析】根据线线垂直，证明线面垂直，找到与垂直的平面，故可得平面平面，即可求解.【详解】取中点为,连接交于,连接,所以,所以,所以,故,又因为平面平面,其交线为,且,因此平面,故,因此平面,故平面平面，因为点P在棱BC上运动，故当点P运动到点时，此时截面最大，进而周长最大，此时周长为故答案为：四、解答题（本大题共6小题，计70分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请
14、把答案写在答题纸的指定区域内）17. 2022年6月5日神舟十四号发射升空，神舟十四号任务期间，将全面完成以天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱为基本构型的太空空间站建造等多项科研任务，并将继续开展天宫课堂某校“航空航天”社团针对学生是否有兴趣收看天宫课堂进行了一项调查，获得了如下数据：感兴趣不感兴趣合计男生人数29332女生人数21728合计501060（1）是否有95%的把握认为“是否有兴趣收看天宫课堂与性别有关”？（2）从不感兴趣的10人中随机抽取两人做进一步宣传，设抽到的女生人数为X，求X的概率分布参考公式：独立性检验统计量，其中临界值表：0.150.100.050.0250.0100.
15、0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）没有95%的把握认为“是否有兴趣收看天宫课堂与性别有关” （2）答案见解析【解析】【分析】（）求出，从而没有的把握认为“是否有兴趣收看天宫课堂与性别有关”；（）从不感兴趣的女生人数的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望【小问1详解】解：提出假设：是否有兴趣收看天宫课堂与性别无关 根据列联表中的数据，可以求得 因为而，所以没有95%的把握认为“是否有兴趣收看天宫课堂与性别有关” .【小问2详解】解：依题意，随机变量X的可能取值为0，1，2， 随机变量X的概率分布
16、表如下：X012P18. 已知数列是等差数列，是等比数列，且（1）求数列、的通项公式；（2）设其中，数列的前n项和为，求的值【答案】（1）； （2）【解析】【分析】（1）根据等差等比数列通项的基本量的计算即可求解.（2）根据分组求和即可求解.【小问1详解】根据题设条件，设数列的公差为d，数列的公比为q，则， 所以，所以，所以【小问2详解】根据题设条件，当时，由即，解得，且，所以 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，点E为线段PC中点，且（1）证明：；（2）求直线PB与平面ADE所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）由线线垂直可证明平面PCD，由线面垂直又
17、可得线线垂直，进而可证明.（2）根据空间向量，求法向量与方向向量的夹角，进而可得线面角.【小问1详解】证明：由底面ABCD为矩形可知，又因为平面，所以平面PCD， 又因为平面PCD，故，满足，又因为平面ABCD，故平面ABCD， 又因为平面ABCD，故【小问2详解】由（1）可知平面ABCD，又底面ABCD为矩形，故以为基底建立如图所示空间直角坐标系，则，则， 设平面ADE的一个法向量为，由可取， 则直线PB与平面ADE所成角的正弦值为 20. 已知某校高二年级共有600名男生，从中随机选取6名，其身高和体重如下表所示：编号123456身高164166168170172174体重58606264
18、6773（1）经分析，x与y之间存在较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（2）判断高中男生的体重是否超标有一种简易方法，就是记身高的厘米数减去105所得差值为参考体重，一个人实际体重超过了参考体重，我们就说该人体重超标了以频率估计概率，从该校高二年级男生中任选3人，记其中体重超标的人数为X，求X的概率分布与数学期望参考公式：【答案】（1） （2）分布列见解析；期望为【解析】【分析】（1）先求出，再由参考公式计算线性回归方程即可；（2）先求出体重超标的概率，再由二项分布列出分布列，计算期望即可.【小问1详解】计算可得则，则y关于x的线性回归方程为；【小问2详解】编号123456身高16
19、4166168170172174体重586062646773参考体重596163656769由上表可知只有最后一位同学体重超标了，因为用频率估计概率，故可认为从高二男生中任选一人，体重超标的概率为，则，故随机变量X的概率分布表为：X0123P其数学期望为.21. 平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为F，点P为椭圆上的动点，OP的最小值为1，FP的最大值为（1）求椭圆C的方程；（2）直线上是否存在点Q，使得过点Q能作椭圆C的两条互相垂直的切线？若存在，请求出这样的点Q；若不存在，请说明理由【答案】（1） （2）存在；【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质可知：，即可求解；（2）联立切线方程与椭
20、圆方程，得根与系数的关系，根据切线垂直可得斜率相乘等于，进而得点Q在圆上，又点Q在，联立即可求解.【小问1详解】设点，则，当时，OP取得最小值为， ，则当时，FP取得最大值解得，则椭圆方程为【小问2详解】设点当或时，易得过点Q作椭圆的两条切线并不垂直，故可设过点Q的椭圆的切线方程为，联立方程组，消元可得由可得，又直线过点，则于是化简可得，由两条切线互相垂直可知，该方程的两根之积 则，即点Q在圆上， 由解得，故存在点满足题意，22. 函数（1）若，求函数在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（2）若函数有两个极值点，求的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）求导得切线方程，然后根据求出切线与坐标轴的交点，进而可求围成的三角形面积.（2）根据有两个极值点可得，然后对化简，得，即可求解.【小问1详解】当时， ，则函数在处的切线方程为， 切线与坐标轴的交点为，与坐标轴围成的三角形的面积为【小问2详解】因为函数有两个极值点，所以方程有两个不相等实数根故且，故，即， 则，不妨设， x正0负0正增减增据上表可知，在处取得极大值，在处取得极小值， 设，由于在上恒成立，故在上递增，故，则的取值范围为
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