1、2.2.2直线的两点式方程学 习 目 标核 心 素 养1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围(重点)2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围(重点)3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标.1.通过直线两点式方程的推导，提升逻辑推理的数学素养.2.通过直线的两点式方程和截距式方程的学习，培养直观想象和数学运算的数学素养. 某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东P处，如图所示公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A、B两处，并使区商业中心O到A、B两处的距离之和最短在上述问题中，
2、实际上解题关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A、B能否确定？1直线的两点式和截距式方程名称两点式方程截距式方程已知条件P1(x1，y1)，P2(x2，y2)其中x1x2，y1y2在x轴、y轴上的截距分别为a、b，且a0，b0.示意图直线方程1适用范围斜率存在且不为零斜率存在且不为零，不过原点思考：方程和方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)的适用范围相同吗？提示不同前者为分式形式方程，它不表示垂直于坐标轴的直线，后者为整式形式方程，它表示过任何两点的直线2线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则1
3、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线的两点式方程也可以用(x1x2，y1y2)表示()(2)任何直线都可以用方程1表示()(3)能用两点式写出的直线方程，也可以用点斜式方程写出()提示(1)(2)(3)2过点A(3,2)，B(4,3)的直线方程是()Axy10Bxy10Cxy10 Dxy10D由直线的两点式方程，得，化简，得xy10.3若直线l经过点A(2,5)，B(2,7)，则直线l的方程为_x2因为两点的横坐标相等，都是2，所以直线方程是x2.4直线y3x2在x轴上的截距是_令y0得x，即在x轴上的截距为.直线的两点式方程【例1】(1)若直线l经过点A(2，1)，B(2,7)，
4、则直线l的方程为_(2)若点P(3，m)在过点A(2，1)，B(3,4)的直线上，则m_.(1)x2(2)2(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x2.(2)由直线方程的两点式得，即.直线AB的方程为y1x2，点P(3，m)在直线AB上，则m132，得m2.由两点式求直线方程的步骤(1)设出直线所经过点的坐标(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标(3)由直线的两点式方程写出直线的方程提醒：当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴若满足，则考虑用两点式求方程跟进训练1求经过两点A(2，
5、m)和B(n,3)的直线方程解当m3时，直线垂直于y轴，方程为y3，当n2时，直线垂直于x轴，方程为x2.当m3且n2时，由两点式得直线方程为.直线的截距式方程【例2】求过点(4，3)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程思路探究解设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b.当a0，b0时，设l的方程为1.点(4，3)在直线上，1，若ab，则ab1，直线方程为xy10.当ab0时，直线过原点，且过点(4，3)，直线的方程为3x4y0.综上知，所求直线方程为xy10或3x4y0.1变条件本例中把“截距相等”改为“截距互为相反数”，求直线l的方程解当截距均为零时，设直线方程为ykx，把点(4，3)代入得
6、34k，解得k，所求的直线方程为yx，即3x4y0.当截距均不为零且相反时，可设直线方程为1，把点(4，3)代入得1，解得a7，所求直线方程为1，即xy70，故所求l的方程为xy70或3x4y0.2变条件本例中把“相等”改为“绝对值相等呢？”解当直线在两轴上的截距的绝对值相等时，包括：两截距均为零，即3x4y0两截距均不为零且相等即xy10.两截距均不为零且相反即xy70.故所求的直线方程为xy70或xy10或3x4y0.利用截距式求直线方程的注意事项(1)用截距式求直线方程时，纵截距和横截距都必须存在且都不为0.若a0，b0，则直线方程为x0；若a0，b0，则直线方程为y0；若a0，b0，则
7、直线方程为ykx(k0)(2)截距相等且不为零，可设xya；截距相反且不为零，可设xya；截距相等且均为零，可设ykx.直线方程的灵活应用探究问题1. 若已知直线过定点，选择什么形式较好？过两点呢？提示点斜式. 若直线过两定点可选择两点式或点斜式2若已知直线的斜率，选哪种形式的方程？提示可选择斜截式3若已知直线与两坐标轴相交，选哪种形式的方程较好？提示选择截距式较好【例3】已知A(3,2)，B(5，4)，C(0，2)，在ABC中，(1)求BC边的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程思路探究(1)(2)求直线方程解(1)BC边过两点B(5，4)，C(0，2)，由两点式，得，即2x5y100
8、，故BC边的方程是2x5y100(0x5)(2)设BC的中点为M(a，b)，则a，b3，所以M，又BC边的中线过点A(3,2)，所以，即10x11y80，所以BC边上的中线所在直线的方程为10x11y80.1本例中条件不变，试求AB边上的高线所在直线的方程解设AB边上的高线所在直线斜率为k，kAB，k，又高线过点C(0，2)，由点斜式方程得高线所在直线方程为y2(x0)，即4x3y60.2本例中条件不变，试求与AB平行的中位线所在直线的方程解由探究1知kAB，即中位线所在直线斜率为，由例题知BC的中点为，所以由点斜式方程可得，中位线所在直线方程为y3，即6x8y90.直线方程的选择技巧(1)已
9、知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决1当直线没有斜率(x1x2)或斜率为0(y1y2)时，不能用两点式求它的方程，此时直线的方程分别是xx1和yy1，而它们都适合(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x2x1)(yy1)(y2y1)
10、(xx1)的形式2直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零1过P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是()A0 B0C1D1C由条件可知，直线在x轴、y轴上的截距分别为2,3，所以方程为1.2过两点(1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距是_由两点式得，即y12(x1)，令y0得x，所以直线在x轴上的截距为.3经过点(1,5)，且与直线1垂直的直线方程是_x3y160直线1的斜率是3，所以所求直线的斜率是，所以所求直线方程是y5(x1)，即x3y160.4求过点P(6，2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程解设直线方程的截距式为1.则1，解得a2或a1，则直线方程是1或1，即2x3y60或x2y20.