1、第十一节导数与函数的单调性 考纲传真了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)函数的导数与单调性的关系函数yf (x)在某个区间内可导，则(1)若f (x)0，则f (x)在这个区间内增加的；(2)若f (x)0，则f (x)在这个区间内减少的；(3)若f (x)0，则f (x)在这个区间内是常数函数1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若函数f (x)在区间(a，b)上增加，那么在区间(a，b)上一定有f (x)0.()(2)如果函数在某个区间内恒有f (x)0，则函数f (x)在此区间上没有单调
2、性()(3)f (x)0是f (x)为增函数的充要条件()答案(1)(2)(3)2f (x)x36x2的递减区间为()A(0,4)B(0,2)C(4，) D(，0)Af (x)3x212x3x(x4)，由f (x)0，得0x4，递减区间为(0,4)3(教材改编)如图2111所示是函数f (x)的导函数f (x)的图像，则下列判断中正确的是()【导学号：66482105】A函数f (x)在区间(3,0)上是减少的B函数f (x)在区间(1,3)上是减少的C函数f (x)在区间(0,2)上是减少的D函数f (x)在区间(3,4)上是增加的图2111A当x(3,0)时，f (x)0，则f (x)在(
3、3,0)上是减少的其他判断均不正确4(2015陕西高考)设f (x)xsinx，则f (x)()A既是奇函数又是减函数B既是奇函数又是增函数C是有零点的减函数D是没有零点的奇函数B因为f (x)1cosx0，所以函数为增函数，排除选项A和C.又因为f (0)0sin00，所以函数存在零点，排除选项D，故选B.5(2014全国卷)若函数f (x)kxln x在区间(1，)递增，则k的取值范围是()A(，2 B(，1C2，) D1，)D由于f (x)k，f (x)kxln x在区间(1，)递增f (x)k0在(1，)上恒成立 由于k，而01时，g(x)0.解(1)由题意得f (x)2ax(x0).
4、 2分当a0时，f (x)0时，由f (x)0有x，当x时，f (x)0，f (x)是增加的. 7分(2)证明：令s(x)ex1x，则s(x)ex11. 9分当x1时，s(x)0，所以ex1x，从而g(x)0. 12分求函数的单调区间(2016天津高考节选)设函数f (x)x3axb，xR，其中a，bR.求f (x)的单调区间解由f (x)x3axb，可得f (x)3x2a.下面分两种情况讨论：当a0时，有f (x)3x2a0恒成立，所以f (x)的递增区间为(，). 5分当a0时，令f (x)0，解得x或x.当x变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表：xf (x)00f (x)递增极
5、大值递减极小值递增所以f (x)的递减区间为，递增区间为，. 12分规律方法求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x)的定义域；(2)求f (x)；(3)在定义域内解不等式f (x)0，得递增区间；(4)在定义域内解不等式f (x)0，得递减区间变式训练2已知函数f (x)(x22x)ex，xR，e为自然对数的底数，则函数f (x)的递增区间为_(，)因为f (x)(x22x)ex，所以f (x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f (x)0，即(x22)ex0，因为ex0，所以x220，解得x，所以函数f (x)的递增区间为(，)已知函数的单调性求参数已知函数f (x)x3
6、ax1.若f (x)在R上为增函数，求实数a的取值范围解因为f (x)在(，)上是增函数，所以f (x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立. 5分因为3x20，所以只需a0.又因为a0时，f (x)3x20，f (x)x31在R上是增函数，所以a0，即实数a的取值范围为(，0. 12分迁移探究1(变换条件)函数f (x)不变，若f (x)在区间(1，)上为增函数，求a的取值范围解因为f (x)3x2a，且f (x)在区间(1，)上为增函数，所以f (x)0在(1，)上恒成立，即3x2a0在(1，)上恒成立，7分所以a3x2在(1，)上恒成立，所以a3，即a的取值范围为(，3.
7、12分迁移探究2(变换条件)函数f (x)不变，若f (x)在区间(1,1)上为减函数，试求a的取值范围解由f (x)3x2a0在(1,1)上恒成立，得a3x2在(1,1)上恒成立. 5分因为1x1，所以3x23，所以a3.即当a的取值范围为3，)时，f (x)在(1,1)上为减函数. 12分迁移探究3(变换条件)函数f (x)不变，若f (x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围解f (x)x3ax1，f (x)3x2a.由f (x)0，得x(a0). 5分f (x)在区间(1,1)上不单调，01，得0a3，即a的取值范围为(0,3). 12分规律方法根据函数单调性求参数的一般方法(1)
8、利用集合间的包含关系处理：yf (x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数递增，则f (x)0；若函数递减，则f (x)0”来求解易错警示：(1)f (x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f (x)0，且在(a，b)内的任一非空子区间上f (x)不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解(2)函数在其区间上不具有单调性，但可在子区间上具有单调性，如迁移3中利用了(0,1)来求解变式训练3(2016全国卷)若函数f (x)xsin2xasinx在(，)递增，则a的取值范围是()A1,1BC. DC取a1，则f (x
9、)xsin2xsinx，f (x)1cos2xcosx，但f (0)110，不具备在(，)递增的条件，故排除A，B，D.故选C. 思想与方法1已知函数解析式求单调区间，实质上是求f (x)0，f (x)0的解区间，并注意函数f (x)的定义域2含参函数的单调性要分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性3已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决易错与防范1求单调区间应遵循定义域优先的原则2注意两种表述“函数f (x)在(a，b)上为减函数”与“函数f (x)的减区间为(a，b)”的区别3在某区间内f (x)0(f (x)0)是函数f (x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件4可导函数f (x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意x(a，b)，都有f (x)0(f (x)0)，且f (x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零