（全国版）2021届高考数学二轮复习 专题检测（十七）圆锥曲线中的最值、范围、证明问题（理含解析）.doc

1、专题检测（十七）圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 大题专攻强化练1(2019湖南省五市十校联考)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 22，右焦点为 F，以原点 O 为圆心，椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 xy 20 相切(1)求椭圆 C 的方程；(2)如图，过定点 P(2，0)的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，连接AF 并延长交 C 于 M，求证：PFMPFB.解：(1)依题意可设圆 O 的方程为 x2y2b2，圆 O 与直线 xy 20 相切，b|2|12121，a2c21，又ca 22，a 2，椭圆 C 的方程为x22y21.(2)证明：依题意可知直线 l

2、的斜率存在，设 l 的方程为 yk(x2)由yk（x2），x22y21得(12k2)x28k2x8k220，l 与椭圆有两个交点，0，即 2k21b0)的离心率为 e 22，点(2，1)在椭圆 D 上(1)求椭圆 D 的方程；(2)过椭圆 D 内一点 P(0，t)的直线 l 的斜率为 k，且与椭圆 D 交于 M，N 两点，设直线 OM，ON(O 为坐标原点)的斜率分别为 k1，k2，若对任意 k，存在实数，使得 k1k2k，求实数 的取值范围解：(1)椭圆 D 的离心率 e a2b2a 22，a 2b，又点(2，1)在椭圆 D 上，2a21b21，得 a2，b 2，椭圆 D 的方程为x24y2

3、21.(2)由题意得，直线 l 的方程为 ykxt.由x24y221，ykxt，消元可得(2k21)x24ktx2t240.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x2 4kt2k21，x1x22t242k21，k1k2y1x1y2x2kx1tx1kx2tx22kt（x1x2）x1x22kt 4kt2k212k212t244kt22.由 k1k2k，得4kt22k，此等式对任意的 k 都成立，4t22，即 t22 4.点 P(0，t)在椭圆内，0t22，即 02 40)的准线 l1 与 x 轴交于点 M，直线 l2：4x3y60 与抛物线 C 没有公共点，动点 P 在抛物线 C 上，点

4、 P 到 l1，l2 的距离之和的最小值等于 2.(1)求抛物线 C 的方程；(2)过点 M 的直线与抛物线 C 交于两个不同的点 A，B，设MAMB130，所以 p2.所以抛物线 C 的方程为 y24x.(2)由(1)可得点 M 的坐标为(1，0)，由题意知直线 AB 的斜率存在且不为 0，设直线 AB的方程为 yk(x1)由yk（x1），y24x消去 x，整理得 ky24y4k0，因为直线 AB 与抛物线交于两个不同的点，所以 1616k20，所以 0k21.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y24，y1y24k，因为MAMB，M(1，0)，所以(x11，y1)(x21，y2

5、)，所以 y1y2，由可得 k24（1）2.所以|AB|11k2|y1y2|11k2（y1y2）2 11k2（y1y2）24y1y2 11k2 1616k2k21616k4k4，则|AB|21616k4k416k416（1）4216（221）221612216，令 f()1，131，则 f()在13，1 上单调递减，因此可得 2 1103，所以 0122161129，所以 0b0)的离心率为12，其左焦点到点 P(2，1)的距离为 10.不经过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，且线段 AB 被直线 OP 平分(1)求椭圆 C 的方程；(2)求ABP 的面积取最大值时，直线

6、 l 的方程解：(1)依题意知，eca12，左焦点(c，0)到点 P(2，1)的距离 d0（2c）212 10，得 a24，c21，所以 b23，故椭圆 C 的方程为x24y231.(2)易得直线 OP 的方程为 y12x，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点 R(x0，y0)(y00)，其中 y012x0.因为 A，B 在椭圆 C 上，所以x214y2131，x224y2231，两式相减得x224x214y223y2130，即（x2x1）2x04（y2y1）2y030，故 kABy2y1x2x134x0y032.由题意可设直线 l 的方程为 y32xm(m0)，代入x24y2

7、31 中，消去 y 并整理得 3x23mxm230，由(3m)243(m23)3(12m2)0，得2 3m2 3且 m0.由根与系数的关系，得 x1x2m，x1x2m233，所以|AB|194|x1x2|132 （x1x2）24x1x2 39612m2.又点 P(2，1)到直线 l 的距离 d|82m|13 2|4m|13，所以ABP 的面积 SABP12|AB|d 36 （4m）2（12m2），其中2 3m2 3且 m0.令 f(m)(4m)2(12m2)(2 3m2 3且 m0)，则 f(m)4(m4)(m22m6)4(m4)(m1 7)(m1 7)，令 f(m)0，得 m1 7(4 和 1 7不满足2 3m0，当 m(1 7，2 3)且 m0 时，f(m)0，所以当 m1 7时，SABP 取得最大值，此时直线 l 的方程为 3x2y2 720.