1、第4讲计数原理与二项式定理两个计数原理考法全练1甲、乙两人都计划在国庆节的七天假期中，到东亚文化之都泉州“二日游”，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有()A16种B18种C20种D24种解析：选C.任意相邻两天组合在一起，一共有6种情况：，.若甲选或，则乙各有4种选择，若甲选或或或，则乙各有3种选择，故他们不同一天出现在泉州的出游方案共有244320(种)2如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1a2且a3a2，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275)，那么所有凸数的个数为()A240B204C729D920解析：选A.分8类，当中间数为2时，有122(个)；当中间
2、数为3时，有236(个)；当中间数为4时，有3412(个)；当中间数为5时，有4520(个)；当中间数为6时，有5630(个)；当中间数为7时，有6742(个)；当中间数为8时，有7856(个)；当中间数为9时，有8972(个)故共有26122030425672240(个)3某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5块区域，如图社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域，要求每个区域种植一种颜色的花卉，且相邻区域(有公共边的)所选花卉的颜色不能相同，则不同种植方法的种数为()A96B114C168D240解析：选C.先在a中种植，有4种不同方法，再在b中种植，有3种不同方法，
3、再在c中种植，若c与b同色，则d有3种不同方法，若c与b不同色，c有2种不同方法，d有2种不同方法，再在e中种植，有2种不同方法，所以共有4313243222168(种)，故选C.4用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有_个解析：当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A24(个)；当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A24(个)由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有242448(个)答案：485将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是_解析：按分步来完成此事第1张有10种分法，第2张有9种分法，第3张有8种
4、分法，故共有1098720种分法答案：7206在学校举行的田径运动会上，8名男运动员参加100米决赛，其中甲、乙、丙三人必须在1，2，3，4，5，6，7，8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有_种解析：分两步安排这8名运动员第一步，安排甲、乙、丙三人，共有1，3，5，7四条跑道可安排，所以安排方式有43224(种)；第二步，安排另外5人，可在2，4，6，8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有54321120(种)所以安排这8名运动员的方式共有241202 880(种)答案：2 880应用两个计数原理解题的方法(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分
5、类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理(2)对于复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化 排列、组合的应用考法全练1(2019长春市质量监测(一)要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A、B、C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数为()A6B12C24D36解析：选B.由题意可知，可以分两类，第一类，甲与另一人一同被分到A班，分法有CA6(种)；第二类，甲单独被分到A班，分法有CA6(种)所以共有12种，故选B.2(一题多解)(2019安徽五校联盟第二次质检)某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有
6、1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为()A15B30C35D42解析：选B.法一：甲企业有2人，其余5家企业各有1人，共有7人，所以从7人中任选3人共有C种情况，发言的3人来自2家企业的情况有CC种，所以发言的3人来自3家不同企业的可能情况共有CCC30(种)，故选B.法二：发言的3人来自3家不同企业且含甲企业的人的情况有CC20(种)；发言的3人来自3家不同企业且不含甲企业的人的情况有C10(种)，所以发言的3人来自3家不同企业的可能情况共有201030(种)，故选B.3(2019合肥市第二次质量检测)某部队在一次军演中要先后执行A，B，C，D，E，F六项
7、不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B，C不能相邻，则不同的执行方案共有()A36种B44种C48种D54种解析：选B.由题意知任务A，E必须相邻，且只能安排为AE，由此分三类完成，(1)当AE排第一、二位置时，用表示其他任务，则顺序为AE，余下四项任务，先全排D，F两项任务，然后将任务B，C插入D，F两项任务形成的三个空隙中，有AA种方法(2)当AE排第二、三位置时，顺序为AE，余下四项任务又分为两类：B，C两项任务中一项排在第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，有AA种方法；D，F两项任务中一项排第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，且任务B
8、，C不相邻，有AA种方法(3)当AE排第三、四位置时，顺序为AE，第一、二位置必须分别排来自B，C和D，F中的一个，余下两项任务排在后两个位置，有CCAA种方法根据分类加法计数原理知不同的执行方案共有AAAAAACCAA44(种)，故选B.4用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成_个无重复数字的三位数，也可以组成_个能被5整除且无重复数字的五位数解析：第一个空：第一步，先确定三位数的最高数位上的数，有C5种方法；第二步，确定另外两个数位上的数，有A5420种方法，所以可以组成520100个无重复数字的三位数；第二个空：被5整除且无重复数字的五位数的个位上的数有2种情况：当个位上的数字是0
9、时，其他数位上的数有A5432120个；当个位上的数字是5时，先确定最高数位上的数，有C4种方法，而后确定其他三个数位上的数有A43224种方法，所以共有24496个数，根据分类加法计数原理共有12096216个数答案：1002165(一题多解)(2019长沙市统一模拟考试)为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设A，B，C，D，E，F，共6门选修课程，学校规定每个学生必须从这6门课程中选3门，且A，B两门课程至少要选1门，则学生甲共有_种不同的选法解析：通解：根据题意，可分三类完成：(1)选A课程不选B课程，有C种不同的选法；(2)选B课程不选A课程，有C种不同的选法；(3)同时选A和B
10、课程，有C种不同的选法根据分类加法计数原理，得CCC66416(种)，故学生甲共有16种不同的选法优解：从6门课程中选3门不同选法有C种，而A和B两门课程都不选的选法有C种，则学生甲不同的选法共有CC20416(种)答案：166(2019郑州市第一次质量预测)中国诗词大会(第三季)亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味若沁园春长沙蜀道难敕勒歌游子吟关山月清平乐六盘山排在后六场，且蜀道难排在游子吟的前面，沁园春长沙与清平乐六盘山不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有_种(用数字作答)解析：分两步完成：(1)蜀道难敕
11、勒歌游子吟关山月进行全排有A种，若蜀道难排在游子吟的前面，则有A种；(2)沁园春长沙与清平乐六盘山插入已经排列好的四首诗词形成的前4个空位(不含最后一个空位)中，插入法有A种由分步乘法计数原理，知满足条件的排法有AA144(种)答案：144排列、组合应用问题的8种常见解法(1)特殊元素(特殊位置)优先安排法(2)相邻问题捆绑法(3)不相邻问题插空法 (4)定序问题缩倍法(5)多排问题一排法(6)“小集团”问题先整体后局部法(7)构造模型法(8)正难则反，等价转化法二项式定理考法全练1.的展开式中x4的系数为()A10B20C40D80 解析：选C.Tr1C(x2)5rC2rx103r，由103
12、r4，得r2，所以x4的系数为C2240.2(2019四省八校双教研联考)二项式(1xx2)(1x)10展开式中x4的系数为()A120B135C140D100解析：选B.(1x)10的展开式的通项Tr1C(x)r(1)rCxr，分别令r4，r3，r2，可得展开式中x4的系数为(1)4C(1)3C(1)2C135，故选B.3(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A10B20C30D60解析：选C.(x2xy)5(x2x)y5，含y2的项为T3C(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的项为Cx4xCx5.所以x5y2的系数为CC30.故选C.4若(3x1)5a0a1xa2x2a5x5
13、，则a12a23a34a45a5()A80B120C180D240解析：选D.由(3x1)5a0a1xa2x2a5x5两边求导，可得15(3x1)4a12a2x3a3x25a5x4，令x1得，15(31)4a12a23a35a5，即a12a23a34a45a5240，故选D.5已知二项式的展开式中，第5项是常数项，则n_，二项式系数最大的项的系数是_解析：二项式展开式的通项为Tr1C(2x)nr2nrCxnr，因为第5项是常数项，所以n40，即n6.当r3时，二项式系数C最大，故二项式系数最大的项的系数是263C160.答案：61606(2019广州市调研测试)已知(2x)4a0a1xa2x2
14、a3x3a4x4，则(a0a2a4)2(a1a3)2_解析：因为(2x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，所以取x1得(2)4(a0a2a4)(a1a3)；取x1得(2)4(a0a2a4)(a1a3).相乘得(a0a2a4)2(a1a3)2(2)4(2)4()222416.答案：16对于“多项式乘二项式”型的二项式问题，通用的解法是系数配对法，即将多项式中的每一项xk的系数与后面二项式展开式中xrk的系数相乘，然后把所有这些满足条件的情况相加，即得到xr项的系数提醒关注2个常失分点：(1)混淆“项的系数”与“二项式系数”概念，项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正(2
15、)注意“常数项”“有理项”“系数最大的项”等概念 一、选择题1在某夏令营活动中，教官给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务已知：食物投掷地点有远、近两处；由于Grace年龄尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处那么不同的搜寻方案有()A10种B40种C70种D80种解析：选B.若Grace不参与任务，则需要从剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有C种挑法，再从剩下的4位小孩中挑出2位搜寻远处，有C种挑法，最后剩下的2位小孩搜寻近处，因此一共有CC30种搜寻方案；若Grace参加任务
16、，则其只能去近处，需要从剩下的5位小孩中挑出2位搜寻近处，有C种挑法，剩下3位小孩去搜寻远处，因此共有C10种搜寻方案综上，一共有301040种搜寻方案，故选B.2(2019合肥市第一次质量检测)若的展开式的常数项为60，则a的值为()A4B4C2D2解析：选D.的展开式的通项为Tr1C(ax)6r(1)ra6rCx6r，令6r0，得r4，则(1)4a2C60，解得a2，故选D.3若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有()A4种B8种C12种D24种解析：选B.将4个人重排，恰有1个人站在自己原来的位置，有C种站法，剩下3人不站原来位置有2种站法，所
17、以共有C28种站法，故选B.4设(x23x2)5a0a1xa2x2a10x10，则a1等于()A80B80C160D240解析：选D.因为(x23x2)5(x1)5(x2)5，所以二项展开式中含x项的系数为C(1)4C(2)5C(1)5C(2)416080240，故选D.5(2019广州市综合检测(一)(2x3)(xa)5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是()A5B10C15D20解析：选A.在(2x3)(xa)5中，令x1，得展开式的各项系数和为(1a)532，解得a1，故(x1)5的展开式的通项Tr1Cx5r.当r1时，得T2Cx45x4，当r4时，得T5Cx5x，故(2
18、x3)(x1)5的展开式中x4的系数为2555，选A.6(2019柳州模拟)从1，2，3，10中选取三个不同的数，使得其中至少有两个数相邻，则不同的选法种数是()A72B70C66D64解析：选D.从1，2，3，10中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有CCCC56种选法，三个数相邻共有C8种选法，故至少有两个数相邻共有56864种选法，故选D.7(2019洛阳尖子生第二次联考)某校从甲、乙、丙等8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙都去或都不去，则不同的选派方案有()A900种B600种C300种D150种解析：选B.第一类，甲去，则丙一定去
19、，乙一定不去，再从剩余的5名教师中选2名，不同的选派方案有CA240(种)；第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，从乙和剩余的5名教师中选4名，不同的选派方案有CA360(种)所以不同的选派方案共有240360600(种)故选B.8已知(x2)9a0a1xa2x2a9x9，则(a13a35a57a79a9)2(2a24a46a68a8)2的值为()A39B310C311D312解析：选D.对(x2)9a0a1xa2x2a9x9两边同时求导，得9(x2)8a12a2x3a3x28a8x79a9x8，令x1，得a12a23a38a89a9310，令x1，得a12a23a38a89a93
20、2.所以(a13a35a57a79a9)2(2a24a46a68a8)2(a12a23a38a89a9)(a12a23a38a89a9)312，故选D.9(多选)若二项式展开式中的常数项为15，则实数m的值可能为()A1B1C2D2解析：选AB.二项式展开式的通项Tr1Cx6rCxmr.令6r0，得r4，常数项为Cm415，则m41，得m1.故选AB.10(多选)已知(3x1)na0a1xa2x2anxn(nN*)，设(3x1)n的展开式的二项式系数之和为Sn，Tna1a2an(nN*)，则()Aa01BTn2n(1)nCn为奇数时，SnTn；n为偶数时，SnTnDSnTn解析：选BC.由题意
21、知Sn2n，令x0，得a0(1)n，令x1，得a0a1a2an2n，所以Tn2n(1)n，故选BC.11(多选)某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是()A若任意选择三门课程，选法总数为AB若物理和化学至少选一门，选法总数为CCC若物理和历史不能同时选，选法总数为CCD若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为CCC解析：选ABD.对于A，若任意选择三门课程，选法总数为C种，错误；对于B，若物理和化学选一门，有C种方法，其余两门从剩余的5门中选，有C种选法；若物理和化学选两门，有C种选法，剩下一门从剩余的5门中选，有C种
22、选法，所以总数为(CCCC)种，错误；对于C.若物理和历史不能同时选，选法总数为CCC(CC)种，正确；对于D，有3种情况：只选物理且物理和历史不同时选，有CC种选法；选化学，不选物理，有CC种选法；物理与化学都选，有CC种选法，故总数为CCCCCC610420(种)，错误故选ABD.12(多选)(2019山东日照期末)把四个不同的小球放入三个分别标有1号、2号、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有()ACCCC种BCA种CCCA种D18种解析：选BC.根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1号、2号、3号的盒子中，且没有空盒，三个盒子中有1个盒子中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个球，则分
23、两步进行分析：法一：先将四个不同的小球分成3组，有C种分组方法；将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A种放法则不允许有空盒子的放法有CA36种法二：在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的盒子中，有CC种情况；将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个盒子中，有A种放法，则不允许有空盒的放法有CCA36种，故选BC.二、填空题13在的展开式中，x3的系数是_解析：的展开式的通项Tr1C(4)5r，r0，1，2，3，4，5，的展开式的通项Tk1Cxrk4kCxr2k，k0，1，r.令r2k3，当k0时，r3；当k1时，r5.所以x3的系数为40C(4)53C4C(
24、4)0C180.答案：18014(2019福州市质量检测)(1ax)2(1x)5的展开式中，所有x的奇数次幂项的系数和为64，则正实数a的值为_解析：设(1ax)2(1x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5a6x6a7x7，令x1得0a0a1a2a3a4a5a6a7，令x1得(1a)225a0a1a2a3a4a5a6a7，得：(1a)2252(a1a3a5a7)，又a1a3a5a764，所以(1a)225128，解得a3或a1(舍)答案：315(2019湖南郴州一模改编)若的展开式中各项系数之和为256，则n的值为_，展开式中的系数是_解析：令x1，可得的展开式中各项系数之和为2n2
25、56，所以n8，所以，它的展开式的通项公式Tr1C(1)r38rx8r.令82，可得r6，则展开式中的系数为C32252.答案：825216(一题多解)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为_解析：法一：从16张不同的卡片中任取3张，不同取法的种数为C，其中有2张红色卡片的不同取法的种数为CC，其中3张卡片颜色相同的不同取法的种数为CC，所以3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的不同取法的种数为CCCCC472.法二：若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三种颜色的卡片中选3张，若都不同色，则不同取法的种数为CCC64，若2张颜色相同，则不同取法的种数为CCCC144.若红色卡片有1张，则剩余2张不同色时，不同取法的种数为CCCC192，剩余2张同色时，不同取法的种数为CCC72，所以不同的取法共有6414419272472(种)答案：472