1、高三数学参考答案 第 1 页 共 6 页 2020 学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学 高三年级数学学科参考答案 命题：桐庐中学卢国兴联系电话：13018990135 审校：临安中学方丽娟联系电话：15988172589审核：严州中学吴国土联系电话：13867169883一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1-5DDCBA6-10ACBCD二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.112，91240，1211313，4514 1，3,1)15122+1632m 1
2、7 2 3三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18解：（）由 sin3 cos0aBbA=得sin3 cosabBA=由正弦定理 sinsinabAB=3 分sin3 cosaaAA=即sin3 cosAA=tan3A=6 分3A=7 分（）因为 2cos2coscosABC+=12coscos()BAB+，9 分 2cos2coscosABC+=212coscos()3BB+3sin()13B=+11 分因为2(0,),3B所以(,)33B+12 分则 0sin()13B+所以 2cos2coscosABC+的取值范围为(1,31+14 分1
3、9解：（）延长 AD,BE,CF 交于点 P，四边形 ACFD 为等腰梯形，45ACF=90APC=3 分高三数学参考答案 第 2 页 共 6 页 平面 ABEDACFD 平面.,CPABED 平面5 分由 ABABED 平面 CFAB7 分（也可过 D 作 CF 平行线来证）（）22,ACABDF=可知 D 为 PA 的中点.设 DFa=，则2PAa=，PBa=,3CBa=由 CFAB,90ABC=可证 ABPBC 面9 分 ABPB22BDa=11 分过点 P 作 PMBC,垂足为 M，又因为 ABPM，所以ABCPM 面而 CPPB23PMa=则 D 到面 ABC 的距离1626hPMa
4、=13 分所以直线 BD 与平面 ABC 所成角的正弦值为636sin322ahBDa=15 分方法二：等体积法D ABCC ABDVV=131322ABCS=9 分12212224ABDS=11 分2ChPC=1264632Dh=13 分22BD=所以直线 BD 与平面 ABC 所成角的正弦值为636sin322DhBD=15 分方法三：建立如图空间直角坐标系，设1DF=，则(0,1,0),(3,0,0)AC，8 分因为 ABPBC 面，所以设(,0,),P xz高三数学参考答案 第 3 页 共 6 页 由2CP=及CPAP得222(3)2(3)0 xzx xz+=+=所以3363xz=因为
5、 D 为 PA 的中点，所以3 16(,)626D即3 16(,),626BD=12 分设平面 ABC 的法向量为(0,0,1),n=13 分则636cos,311212412BD n=+14 分所以直线 BD 与平面 ABC 所成角的正弦值为3sincos,3BD n=15 分20解：（）1212111nnnaaa+=1211211111nnnaaa+=由-得11nna=，1(2)nann=+3 分当112na=时，符合1nan=+4 分1nnnbba+=1213211121()()()(1)122nnnnbbbbbbbbbaaannn=+=+=+=6 分当111nb=时，也符合(1)2nn
6、nb+=8 分（）因为22224(21)(1)nnnancbn n+=+，9 分高三数学参考答案 第 4 页 共 6 页 22224(21)114()(1)(1)nncn nnn+=+12 分所以1221634(1)(1)16ncccn+=+13 分21631(1)64n+211(1)64n+2(1)64n+所以(1)8n+即7n 所以满足126316nccc+的最大整数 n 为 715 分21解：（）由题意得，点 A 在抛物线2C 的准线上，则12p=，即2p=所以抛物线2C 的标准方程为4 分（）（i）证明：因为过 A 的直线 1l 和抛物线交于两点，所以 1l 的斜率存在且不为 0，设
7、1l 的方程为，其中 m 是斜率的倒数，联立方程组整理得，且6 分因为 C 是 AB 的中点，所以，所以，所以，即 C 点的横坐标为定值 128 分（）因为直线 2l 的倾斜角和直线 1l 的倾斜角互补，所以 2l 的斜率和 1l 的斜率互为相反数设直线 2l 的方程为，即，9 分联立方程组整理得，高三数学参考答案 第 5 页 共 6 页，所以，11 分因为点 C 是 AB 中点，所以因为到的距离，所以13 分令，则，当且仅当，时等号成立，所以，15 分22解：（）22111()xfxxxx=2 分1x，()(1,)f xx+在递增3 分又11(1)10,()0aaafaf eaaee=+=5
8、 分()(1,)af xxe在有唯一零点综上所得，函数()yf x=在(1)+，上有唯一零点6 分（）由（）可知，0001(1,),lnaxeaxx=+且7 分0120000013312()2()22xaxex exxx+=01020031(21)xxexx=令01tx=(01)aet 所以0120200311(21)(231)xtxeettxtx=构造21()1(01)2xg xexxx=()1xg xex=，()1xg xe=0高三数学参考答案 第 6 页 共 6 页 得知21()1(0)02xg xexxg=10 分所以01222020031111(21)(231)(2231)(1)0
9、xtxeetttttttxtttx=+=即200132()2axex+11 分0000112ln=2(ln)ln(ln)aaxxxx+又，则0000000000000011112ln=2(ln)ln(ln)11lnln(ln)(ln)aaxxxxxxxxxxxxxx+=+构造()lnh xxx=，1x 1()10h xx=所以()(1,)h x+在递减 且()(1)1h xh=13 分所以0000011ln1xxxxx+，且001ln1xax+=0001()(ln)h xhxx+即00000011lnln(ln)(ln)0 xxxxxx+从而0012lnaaxx+综上所述，200132()2ln2axeaax+15 分