（全国卷）“超级全能生”2021届高三数学4月联考试题（丙卷）文（含解析）.doc

1、（全国卷）“超级全能生”2021 届高三数学 4 月联考试题（丙卷）文（含解析）注意事项：1.本试题卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。4.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 Ax|yln(x1)，Bx

2、|x2x60，则 AB A.(2，3 B.(1，3 C.(3，2 D.(1，3)2.已知复数 z1i2021，则 A.2i B.2i C.1i D.1i 3.函数 f(x)xxeeln x的部分图象大致为 4.安排甲.乙、丙三位志愿者到编号为 1，2，3 的三个教室打扫卫生，每个教室恰好安排一位志愿者，则 甲恰好不安排到 3 号教室的概率为 A.23 B.34 C.14 D.13 5.将曲线 f(x)2sin(x 6)图象上所有点的横坐标缩小为原来的 12(纵坐标不变)，得到 g(x)的图象，则下列说法正确的是 A.f(x)的图象关于点(12，0)对称 B.f(x)的周期为 C.g(x)的单调

3、递增区间为3 k，3 k(kZ)D.g(x)的单调递增区间为6 k，3 k(kZ)6.已知函数 f(x)在 R 上为增函数，若不等式 f(4xa)f(3x2)对x(0，3恒成立，则 a 的取值范围为 A.1，)B.(3，)C.0，)D.(1，)7.已知抛物线 C：y22px(p0)，过 C 的焦点 F 作斜率为22的直线 l 交 C 于 A，B 两点，若 SABO2 3，则 p 为 A.1 B.3 C.2 D.4 8.在直棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 为正方形，E 为底面正方形对角线的交点，AB4，AA14 2，P 为棱 CC1的中点，则下列说法不正确的是 A.BD平面 P

4、CE B.BDPE C.cosBPD23 D.|A1C|8 9.斐波那契数列(Fibonacci sequence)是数学家莱昂纳多斐波那契(Leonardoda Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，在数学上，斐波那契数列an用递推关系：a1a21，an2an1an来刻画。执行如图所示的程序框图来计算该数列的第 2021 项，则(1)(2)处分别填入的是 A.TST，n2020？B.TST，n2021？C.TS，n2020？D.TS，n2021？10.数列bn满足 bn1nn 1b122，若 b1 12

5、，则bn的前 n 项和为 A.1n 1n22 B.1n 1n 12 C.2n 1n22 D.2n 13n32 11.已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点 F 与椭圆 E：22143xy 的一个焦点重合，过坐标原点 O 作两条互相垂直的射线 OM，ON，与 C 分别交于 M，N，则直线 MN 过定点 A.(4，0)B.(4，0)C.(1，0)D.(1，0)12.已知正方体 ABCDA1B1C1D1的外接球的体积为 108 3，若 E，F，G，H 分别为棱 A1D1，AB，BC，A1B1的中点，则三棱锥 HEFG 内切球的半径为 A.3 3 3 2 B.3 3 3 2 C.3 6 2 D.2

6、3 6 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.已知向量 a2b(2，1)，2ab(9，8)，a，b 的夹角为，则 cos 。14.已知在等比数列an中，a11，且 a1，a2，a31 成等差数列，则an的通项公式 an 。15.若变量 x，y 满足约束条件xy202xy20 xy40，则 zx3y3 的取值范围为 。16.已知双曲线 E：22221xyab(a0，b0)，过其右焦点 F 的直线交 E 于 A，B 两点，交 y 轴于 P 点。且PA3AF，7PBBF3，则 E 的离心率为 。三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721

7、 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60 分。17.(12 分)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 2acosBsinAbsin2A2 3 acosC。(I)求 tanC 的值；(II)设ABC 的内切圆半径为 r，若 c4，求ABC 的面积取最大值时 r 的值。18.(12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是梯形，PD平面 ABCD，ADBD，AB/CD，2PFFC，AD 2，BC 10，BDC4，PDCD。(I)证明：AP/平面 BDF；(II)求三棱锥 ADCF 的体积

8、。19.(12 分)2021 年 2 月 11 日 20：00 整，中央电视台辛丑牛年春节联欢晚会隆重举行。晚会中，华美的舞台令观众沉醉，震撼的科技让酷炫尽显，饱含深情的歌曲、充满感染力的舞蹈、笑中有思的相声小品等一个个节目将过去一年来我国取得的举世成就生动、形象、深刻地呈现出来，描绘出逐梦中国的万千气象，携着吉祥的祝福与全国人民一同迈入新的春天。为了了解电视观众对晚会的整体评价，某调查机构通过不同途径调查了大量完整收看了春晚节目的电视观众的评分(满分 100 分)，并对其进行统计分析，制作了如图的频率分布直方图：(I)试估算春晚评分的平均值及中位数(保留两位小数)；(II)假设评分在 60

9、分以上的，则认为观众对春晚是满意的；不足 60 分，则认为观众对春晚是不满意的。研究者从样本中抽取了年龄在 45 岁以上和 45 岁以下的观众各 100 名，发现年龄在 45 岁以上的 100 名的观众中满意的有 60 人，年龄在 45 岁以下的观众中满意的有 35 人，请结合独立性检验的思想，完成下列列联表，并分析是否有 99。9%的把握认为观众的满意度与年龄分布有关？附：22()()()()()n adbcKab cd ac bd，nabcd。20.(12 分)已知椭圆 C：22221(0)xyabab的短轴长为 2 2 且经过点 P(2 73，23)。(I)求 C 的方程；(II)若直线

10、 l 与 C 相交于两点 M，N(非 C 的顶点)且MON 的面积等于 2，证明：kOMkON为定值。21.(12 分)已知函数 h(x)a2xa1 lnxx(其中 aR)，g(x)exx。(I)若函数 f(x)xh(x)，讨论 f(x)的单调性；(II)当 a1 时，证明：g(x)h(x)0。(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22.选修 44：坐标系与参数方程(10 分)已知点 C(1，0)，P(1，2)，曲线 C1的参数方程为 x13ty2t (t 为参数)，曲线 C2的参数方程为 x1 rcosyrsin (为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若 C1与 C2相交于 A，B 两点且|AB|2 3。(I)求 C1的普通方程，C2的极坐标方程；(II)求 11PAPB的值。23.选修 45：不等式选讲(10 分)已知函数 f(x)|2x1|2x|(xR)。(I)解不等式 f(x)2x 92；(II)记不等式 f(x)2x 92解集中元素数值最小值为 m，若正实数 a，b，c 满足 abc2m，证明：(93baca2)(ab)8abc。