1、第8课 指数与指数函数最新考纲内容要求ABC指数指数函数的图象与性质1根式的性质(1)()na.(2)当n为奇数时，a.(3)当n为偶数时，|a|(4)0的n次实数方根等于0.2有理指数幂(1)分数指数幂正分数指数幂：a(a0，m，nN，且n1)；负分数指数幂：a(a0，m，nN，且n1)；0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的运算性质arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指数函数的图象与性质图象a10a1定义域R值域(0，)性质过定点(0,1)当x0时，y1；当x0时，0y1当x0时，0y1
2、；当x0时，y1在R上是增函数在R上是减函数1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)4.()(2)(1)(1).()(3)函数y2x1是指数函数()(4)函数yax21(a1)的值域是(0，)()答案(1)(2)(3)(4)2化简(2)6(1)0的结果为_7原式(26)1817.3函数yaxa(a0，且a1)的图象可能是_(填序号)图81法一：令yaxa0，得x1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项.法二：当a1时，yaxa是由yax向下平移a个单位，且过(1,0)，都不合适；当0a1时，yaxa是由yax向下平移a个单位，因为0a1，故排除选项.4(
3、教材改编)已知0.2m0.2n，则m_n(填“”或“”)设f(x)0.2x，f(x)为减函数，由已知f(m)f(n)，mn.5(2015山东高考)已知函数f(x)axb(a0，a1)的定义域和值域都是1,0，则ab_.当a1时，函数f(x)axb在1,0上为增函数，由题意得无解当0a1时，函数f(x)axb在1,0上为减函数，由题意得解得所以ab.指数幂的运算化简求值：(1)022(0.01)0.5；(2).解(1)原式111.(2)原式规律方法1.指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序2当底
4、数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数3运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数变式训练1化简求值：(1)(0.027)2(1)0；(2)ab2(3ab1)(4ab3).解(1)原式72149145.指数函数的图象及应用(1)函数f(x)1e|x|的图象大致是_(填序号)图82(2)若曲线y|2x1|与直线yb有两个公共点，求b的取值范围. 【导学号：62172042】(1)将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)1e|x|是偶函数，且值域是(，0，只有满足上述两个性质(2)曲线y|2x1|与直线yb的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y|2x1|与直线yb有两个公
5、共点，则b的取值范围是(0,1)规律方法指数函数图象的画法(判断)及应用(1)画(判断)指数函数yax(a0，a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解. 变式训练2(1)函数f(x)axb的图象如图83，其中a，b为常数，则下列结论正确的是_图83a1，b0；a1，b0；0a1，b0；0a1，b0.(2)方程 2x2x的解的个数是_(1)(2)1(1)由f(x)axb的图象可以观察出，函数f(x)axb在
6、定义域上单调递减，所以0a1，函数f(x)axb的图象是在yax的基础上向左平移得到的，所以b0.(2)方程的解可看作函数y2x和y2x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解指数函数的性质及应用角度1比较指数式的大小(1)(2016全国卷改编)已知a2，b3，c25，则a，b，c的大小关系为_(2)(2016浙江高考改编)已知函数f(x)满足：f(x)|x|且f(x)2x，xR.则下列说法正确的是_(填序号)若f(a)|b|，则ab；若f(a)2b，则ab；若f(a)|b|，则ab；若f(a)2b，则ab；(1)ba1的解集是_由2x2x1
7、1得2x2x10，解得1x.6函数y2xx2的值域为_2xx2(x1)211，又yt在R上为减函数，y2xx21，即值域为.7已知函数f(x)ax，其中a0，且a1，如果以P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2)为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)f(x2)等于_. 【导学号：62172045】1以P(x1，f(x1)，Q(x2，f(x2)为端点的线段的中点在y轴上，x1x20.又f(x)ax，f(x1)f(x2)ax1ax2ax1x2a01.8(2017苏州模拟)设函数f(x)若f(a)f(1)，则实数a的取值范围是_a|a1或a1当a0时，由f(a)f(1)得2a4214，解得a1
8、.当a0时，由f(a)f(1)得a3214，即a1.综上可知a1或a1.9(2017镇江期中)若4x52x60，则函数f(x)2x2x的值域是_. 【导学号：62172046】由4x52x60得22x3，令2xt，则t2,3，f(t)t.又f(t)在2,3上单调递增，故f(2)f(t)f(3)，即f(t).10已知函数f(x)2x，函数g(x)则函数g(x)的最小值是_0当x0时，g(x)f(x)2x为单调增函数，所以g(x)g(0)0；当x0时，g(x)f(x)2x为单调减函数，所以g(x)g(0)0，所以函数g(x)的最小值是0.二、解答题11求不等式a2x7a4x1(a0，且a1)中x的
9、取值范围解设yax(a0且a1)，若0a1，则yax为减函数，a2x7a4x12x74x1，解得x3；若a1，则yax为增函数，a2x7a4x12x74x1，解得x3.综上，当0a1时，x的取值范围是(3，)；当a1时，x的取值范围是(，3)12已知函数f(x)a是奇函数(1)求a的值和函数f(x)的定义域；(2)解不等式f(m22m1)f(m23)0. 【导学号：62172047】解(1)因为函数f(x)a是奇函数，所以f(x)f(x)，即aa，即，从而有1aa，解得a.又2x10，所以x0，故函数f(x)的定义域为(，0)(0，)(2)由f(m22m1)f(m23)0，得f(m22m1)f
10、(m23)，因为函数f(x)为奇函数，所以f(m22m1)f(m23)由(1)可知函数f(x)在(0，)上是减函数，从而在(，0)上是减函数，又m22m10，m230，所以m22m1m23，解得m1，所以不等式的解集为(1，)B组能力提升(建议用时：15分钟)1已知实数a，b满足等式ab，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab0.其中不可能成立的关系式是_(填序号)函数y1x与y2x的图象如图所示由ab得ab0或0ba或ab0.故可能成立，不可能成立2(2017苏州模拟)已知maxa，b表示a，b两数中的最大值若f(x)maxe|x|，e|x2|，则f(x)的最小值为_e由于f(
11、x)maxe|x|，e|x2|当x1时，f(x)e，且当x1时，取得最小值e；当x1时，f(x)e.故f(x)的最小值为f(1)e.3已知函数f(x)2a4x2x1.(1)当a1时，求函数f(x)在x3,0上的值域；(2)若关于x的方程f(x)0有解，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)24x2x12(2x)22x1，令t2x，x3,0，则t.故y2t2t122，t，故值域为.(2)关于x的方程2a(2x)22x10有解，等价于方程2ax2x10在(0，)上有解法一：记g(x)2ax2x1，当a0时，解为x10，不成立当a0时，开口向下，对称轴x0时，开口向上，对称轴x0，过点(0，1)，
12、必有一个根为正，所以，a0.法二：方程2ax2x10可化为a2，a的范围即为函数g(x)2在(0，)上的值域所以，a0.4(2017南通第一次学情检测)已知函数f(x)3x3x(R)(1)当1时，试判断函数f(x)3x3x的奇偶性，并证明你的结论；(2)若不等式f(x)6在x0,2上恒成立，求实数的取值范围解(1)函数f(x)3x3x为偶函数证明：函数f(x)3x3x的定义域为R，1时，f(x)3x3x，f(x)f(x)所以函数f(x)3x3x为偶函数(2)由f(x)6得3x3x6，即3x6，令t3x，原不等式等价于t6在t1,9上恒成立，亦即t26t在t1,9上恒成立令g(t)t26t，t1,9，当t9时g(t)ming(9)27，所以27.