1、2020-2021学年江苏省扬州市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1sin22sin52+sin68sin38（）ABCD2已知正四棱锥SABCD的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积等于（）ABC4D43已知复数z满足z（1+2i）34i（i为虚数单位），则|z|（）A5BC3D4设每个工作日甲、乙两人需使用某种设备的概率分别为0.4，0.5，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少1人需使用这种设备的概率为（）A0.3B0.5C0.7D0.95设m、n是两条不同的直线，、是三个不同的平面下列命题中正确的命题是（）A若，m，n，则mnB若，则C
2、若m，n，则mnD若，m，则m6在等边ABC中，向量在向量上的投影向量为（）ABCABDAB7已知1，tan（），则tan（）A1B1C7D78已知ABC中，AB2，其外接圆半径为2，若4，则角A的最大值为（）ABCD二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9居民消费支出是指居民用于满足家庭日常生活消费需要的全部支出消费支出包括食品烟酒、衣着、居住、生活用品及服务、交通通信、教育文化娱乐、医疗保健和其他用品及服务八大类国家统计局采用分层、多阶段、与人口规模大小成比例的概率抽样方法，在全国
3、31个省（区、市）的1800个县（市、区）随机抽选16万个居民家庭作为调查户国家统计局公布的我国2019年和2020年全国居民人均消费支出及构成，如图1和图2所示，则下列说法中正确的有（）A2020年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐这一类的支出高于2019年B2020年全国居民人均消费支出中医疗保健这一类所占比重低于2019年C2019年和2020年全国居民人均居住消费在八大类中所占比重最大D2020年全国居民人均消费支出低于2019年全国居民人均消费支出10已知实数x，a，b和虚数单位i，定义：复数z0cosx+isinx为单位复数，复数z1a+bi为伴随复数，复数zz0z1f（x）+g（
4、x）i为目标复数，目标复数的实部f（x）和虚部g（x）分别为实部函数f（x）和虚部函数g（x），则正确的说法有（）Af（x）acosxbsinxBg（x）asinxbcosxC若，则a，b1D若a，b1且g（x），则锐角x的正弦值sinx11设A，B，C，D是两两不同的四个点，若，且m+n2mn，则下列说法正确的有（）A点C可能是线段AB的中点B点B可能是线段AC的中点C点C，D不可能同时在线段AB上D点C，D可能同时在线段AB的延长线上12已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC，AA11，P是线段BC1上的一动点，则下列说法正确的有（）A当P与C1重合时，三棱锥PACD的外接球的表面
5、积为7B三棱锥APCD1的体积不变C直线AP与平面ACD1所成角不变DAP+PC的最小值为3三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13数据9，8，7，6，5，4，3，2，1的40百分位数是 14已知平行四边形ABCD中，AB6，AD4，BAD，M、N分别为BC、CD的中点，则 15如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN45，C点的仰角CAB30以及MAC75；从C点测得MCA60，已知山高BC50m，则山高MN m16甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人甲班的平均成绩为76分，方差为96分2；乙班的平均成绩为85分
6、，方差为60分2那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是 分，方差是 分2四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA+cosA2，a2（1）求A；（2）在acosBbsinA，b2+这两个条件中任选一个作为条件，然后求ABC的面积18正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱DD1中点（1）求证：BD1平面AEC；（2）求证：平面B1AC平面B1BDD119已知z11+i是关于x的实系数方程x2+mx+n0的一个复数根（1）求实数m，n的值；（2）设方程的另一根为z2，复数z1，z2对应的向量
7、分别是若向量t与垂直，求实数t的值20某大型连锁超市随机抽取了100位客户，对去年到该超市消费情况进行调查经统计，这100位客户去年到该超市消费金额（单位：万元）均在区间0.2，0.8内，按0.2，0.3，（0.3，0.4，（0.4，0.5，（0.5，0.6，（0.6，0.7，（0.7，0.8分成6组，其频率分布直方图如图所示（1）求该频率分布直方图中a的值，并求出这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数x（同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表）；（2）为了解顾客需求，该超市从消费金额在区间（0.3，0.4和（0.4，0.5内的客户中，采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，再
8、从访谈的5人中随机选择2人作为“幸运客户”，求幸运客户中恰有1人来自区间（0.3，0.4的概率21如图，直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，CD3AB3，BC，点E在CD上，且CE1沿AE将ADE翻折到SAE处，使得平面SAE平面ABCE（1）证明：SE平面ABCE；（2）求二面角SACE的正切值22在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+cmb（mR）（1）若m，求B的最大值；（2）若B为钝角，求：m的取值范围；的取值范围（参考公式：sin+sin2sin）参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1sin22sin52+sin68sin38（）ABCD解：
9、sin52cos38，sin68cos22，sin22sin52+sin68sin38sin22cos38+cos22sin38sin（22+38）sin60故选：D2已知正四棱锥SABCD的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积等于（）ABC4D4解：如图，连接AC、BD，设AC与BD相交于O，连接SO，则SO为正四棱锥的高，由正四棱锥SABCD的底面边长为2，得OAAC，又侧棱长SA，高SO，该正四棱锥的体积等于，故选：A3已知复数z满足z（1+2i）34i（i为虚数单位），则|z|（）A5BC3D解：z（1+2i）34i，故选：B4设每个工作日甲、乙两人需使用某种设备的概率分别为0.
10、4，0.5，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少1人需使用这种设备的概率为（）A0.3B0.5C0.7D0.9解：根据题意，设甲使用设备为事件A，乙使用设备为事件B，则P（A）0.4，P（B）0.5，则有P（）10.40.6，P（）10.50.5，甲乙都没有使用设备的概率p（）0.60.50.3，则同一工作日至少1人需使用这种设备的概率P1p（）10.30.7；故选：C5设m、n是两条不同的直线，、是三个不同的平面下列命题中正确的命题是（）A若，m，n，则mnB若，则C若m，n，则mnD若，m，则m解：若，m，n，则mn或m与n异面，故A错误；若，则或与相交，故B错误；若m，n，则mn
11、或m与n相交或m与n异面，故C错误；若，m，则m，又，则m，故D正确故选：D6在等边ABC中，向量在向量上的投影向量为（）ABCABDAB解：因为，所以，则+，设该等边三角形的边长为a，所以（+）+a+acos120a，|a，则向量在向量上的投影为，故向量在向量上的投影向量为，故选：B7已知1，tan（），则tan（）A1B1C7D7解：1，cos22cos21，sincos2cos2，又1，sincos0，tan2，tan（），解得tan1故选：A8已知ABC中，AB2，其外接圆半径为2，若4，则角A的最大值为（）ABCD解：如图，设ABC的外接圆圆心为O，因为ABC的边AB2，其外接圆半径
12、为2，所以AOB为正三角形，又因为4，所以点C与点O在AB同侧，则有ACB30，根据正弦定理，即AC4sinABC，则2ACcosBAC8sinABCcosBAC，设BAC，则8sin（+）cos8（+）cos8（+cos2）4sin（2+）+24，即sin（2+），因为0，所以2+，则2+，所以0，则BAC的最大值为故选：C二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9居民消费支出是指居民用于满足家庭日常生活消费需要的全部支出消费支出包括食品烟酒、衣着、居住、生活用品及服务、交通通信、教育
13、文化娱乐、医疗保健和其他用品及服务八大类国家统计局采用分层、多阶段、与人口规模大小成比例的概率抽样方法，在全国31个省（区、市）的1800个县（市、区）随机抽选16万个居民家庭作为调查户国家统计局公布的我国2019年和2020年全国居民人均消费支出及构成，如图1和图2所示，则下列说法中正确的有（）A2020年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐这一类的支出高于2019年B2020年全国居民人均消费支出中医疗保健这一类所占比重低于2019年C2019年和2020年全国居民人均居住消费在八大类中所占比重最大D2020年全国居民人均消费支出低于2019年全国居民人均消费支出解：对于选项A，2020年全
14、国居民人均消费支出中教育文化娱乐的支出为2032元，2019年全国居民人均消费支出中教育文化娱乐的支出为2513元，故A错，对于选项B，2020年全国居民人均消费支出中医疗保健这一类所占比重为8.69%，2019年全国居民人均消费支出中医疗保健这一类所占比重为8.82%，故B对，对于选项C，2019年和2020年全国居民人均食品烟酒消费在八大类中所占比重最大，故C错，对于选项D，2020年全国居民人均消费支出约为4620.021821193，2019年全国居民人均消费支出约为5240.024321564，故D正确，故选：BD10已知实数x，a，b和虚数单位i，定义：复数z0cosx+isinx
15、为单位复数，复数z1a+bi为伴随复数，复数zz0z1f（x）+g（x）i为目标复数，目标复数的实部f（x）和虚部g（x）分别为实部函数f（x）和虚部函数g（x），则正确的说法有（）Af（x）acosxbsinxBg（x）asinxbcosxC若，则a，b1D若a，b1且g（x），则锐角x的正弦值sinx解：因为zz0z1f（x）+g（x）i（acosxbsinx）+（asinx+bcosx）i，所以f（x）acosxbsinx，g（x）asinx+bcosx，故选项A正确，选项B错误；因为f（x），所以a，b1，故选项C错误；因为g（x）asinx+bcosx，所以，又因为x为锐角，则，所以
16、，故sinxsin（x）+sin（x）cos+cos（x）sin，故选项D正确故选：AD11设A，B，C，D是两两不同的四个点，若，且m+n2mn，则下列说法正确的有（）A点C可能是线段AB的中点B点B可能是线段AC的中点C点C，D不可能同时在线段AB上D点C，D可能同时在线段AB的延长线上解：若点C可能是线段AB的中点，则m，代入m+n2mn得+n2n，无解，A错；若点B是线段AC的中点，m2，代入m+n2mn得2+n22n，解得n，有解，B对当mn1时满足m+n2mn，此时C，D都与B重合，与已知矛盾，C对；若点C，D同时在线段AB延长线上，则m1，n1，则+2，这与2矛盾，D错故选：BC
17、12已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC，AA11，P是线段BC1上的一动点，则下列说法正确的有（）A当P与C1重合时，三棱锥PACD的外接球的表面积为7B三棱锥APCD1的体积不变C直线AP与平面ACD1所成角不变DAP+PC的最小值为3解：对于A，当点P与C1重合时，三棱锥PACD即为三棱锥C1ACD，又因为三棱锥C1ACD与长方体ABCDA1B1C1D1有相同的外接球，所以外接球的直径2RAC1，故外接球的表面积为S4R27，故选项A正确；因为BC1AD1，又AD1平面ACD1，BC1平面ACD1，所以BC1平面ACD1，由等体积法可得，所以三棱锥APCD1的体积不变，故选项B
18、正确；对于C，因为BC1平面ACD1，所以点P到平面ACD1的距离不变，但AP的长度由AB的长增加到AC1的长度，即AP的长度是变化的，所以直线AP与平面ACD1所成的角是变化的，故选项C错误； 对于D，把矩形ABC1D1和RtBC1C放置在同一平面内，如图所示，其中AB，BC，AA11，则BC12，连接AC交BC1于点P，当点A，P，C三点共线时，AP+PC最小，则sinC1BC，故C1BC30，所以ABC120，由余弦定理可得，AC2AB2+BC22ABBCcos1209，所以AC3，即AP+PC的最小值为3，故选项D正确故选：ABD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13数
19、据9，8，7，6，5，4，3，2，1的40百分位数是 4解：940%3.6，可知3.6的比邻整数是4，数据9，8，7，6，5，4，3，2，1从小到大排列为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，可知其40百分位数是4故答案为：414已知平行四边形ABCD中，AB6，AD4，BAD，M、N分别为BC、CD的中点，则41解：如图，四边形ABCD是平行四边形，M，N分别是BC，CD的中点，+，+，则（+）（+）+15+18+841故答案为：4115如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN45，C点的仰角CAB30以及MAC75；从C点测得MCA60，已知山高
20、BC50m，则山高MN50m解：在RTABC中，CAB30，BC50m，所以AC100m在AMC中，MAC75，MCA60，从而AMC45，由正弦定理得，因此AM50m在RTMNA中，AM50m，MAN45，得MN50m故答案为：5016甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人甲班的平均成绩为76分，方差为96分2；乙班的平均成绩为85分，方差为60分2那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是 80分，方差是 100分2解：甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是76+8580（分）；甲、乙两班全部90名学生的方差是5096+（7680）2+4060+（8580）2100（分2）
21、四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA+cosA2，a2（1）求A；（2）在acosBbsinA，b2+这两个条件中任选一个作为条件，然后求ABC的面积解：（1）sinA+cosA2，A（0，），A（2）选acosBbsinA，acosBbsinA，由正弦定理，可得sinAcosBsinBsinA，sinA0，sinBcosB，即tanB1，又B（0，），B，A，B，a2，由正弦定理，sinC，选b2+，b2+，由余弦定理可得，B（0，），A，B，a2，由正弦定理，sinC，18正方体A
22、BCDA1B1C1D1中，E为棱DD1中点（1）求证：BD1平面AEC；（2）求证：平面B1AC平面B1BDD1【解答】（1）证明：设AC与BD相交于点O，连接OE，则O为BD的中点，E为DD1的中点，OEBD1，又OE平面AEC，BD1平面AEC，BD1平面AEC（2）证明：正方形ABCD，ACBD，由正方体的性质知，DD1平面ABCD，DD1AC，又BDDD1D，BD、DD1平面B1BDD1，AC平面B1BDD1，AC平面B1AC，平面B1AC平面B1BDD119已知z11+i是关于x的实系数方程x2+mx+n0的一个复数根（1）求实数m，n的值；（2）设方程的另一根为z2，复数z1，z2
23、对应的向量分别是若向量t与垂直，求实数t的值解：（1）z11+i是关于x的实系数方程x2+mx+n0的一个复数根，z21i是关于x的实系数方程x2+mx+n0的另一个复数根，由根与系数的关系可得m1+1，即m2；n（1+）（1）11+23m2，n3；（2）由（1）知，则t（t1，），（1+t，），由t与垂直，可得t21+22t20，解得t120某大型连锁超市随机抽取了100位客户，对去年到该超市消费情况进行调查经统计，这100位客户去年到该超市消费金额（单位：万元）均在区间0.2，0.8内，按0.2，0.3，（0.3，0.4，（0.4，0.5，（0.5，0.6，（0.6，0.7，（0.7，0.
24、8分成6组，其频率分布直方图如图所示（1）求该频率分布直方图中a的值，并求出这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数x（同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作代表）；（2）为了解顾客需求，该超市从消费金额在区间（0.3，0.4和（0.4，0.5内的客户中，采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，再从访谈的5人中随机选择2人作为“幸运客户”，求幸运客户中恰有1人来自区间（0.3，0.4的概率解：（1）0.1（a+a+2+3+1.8+0.6）1，a1.3，x0.130.25+0.20.35+0.30.45+0.180.55+0.130.65+0.060.750.466，这100位客户最近
25、一年到该超市消费金额的平均数为0.466万元，（2）采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，则从消费金额在区间（0.3，0.4和（0.4，0.5内的客户中分别抽取2人，3人；记区间（0.3，0.4内的客户为a，b，区间（0.4，0.5内的客户为1，2，3，则样本空间ab，a1，a2，a3，b1，b2，b3，12，13，23，共10种情况，记A“幸运客户中恰有1人来自区间（0.3，0.4”，则A共6种情况，故P（A）0.6，即幸运客户中恰有1人来自区间（0.3，0.4的概率为0.621如图，直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，CD3AB3，BC，点E在CD上，且CE1沿AE将ADE翻折到SA
26、E处，使得平面SAE平面ABCE（1）证明：SE平面ABCE；（2）求二面角SACE的正切值【解答】（1）证明：因为CD3AB3，CE1，所以ABEC1，DESE2，又因为ABCD，所以ABCE为平行四边形，又ABBC，所以ABCE为矩形，则AEDC，故AESE，又平面SAE平面ABCE，平面SAE平面ABCEAE，SE平面SAE，所以SE平面ABCE；（2）解：在平面ABCE内，过E作EPAC，垂足为P，连结SP，由（1）可知，SE平面ABCE，又AC平面ABCE，所以SEAC，因为EPAC，且EP，SE平面AEP，EPSEE，则AC平面SPE，又SP平面SEP，所以ACSP，又因为EPAC
27、，则SPE即为二面角SACE的平面角，由（1）可知，AEAC，AEBC，EC1，又EPAC，所以，则，又在RtSEP中，SEP90，SE2，所以tanSPE，故二面角SACE的正切值为22在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+cmb（mR）（1）若m，求B的最大值；（2）若B为钝角，求：m的取值范围；的取值范围（参考公式：sin+sin2sin）解：（1）当m时，由余弦定理定理可得，B，B的最大值为（2）由三角形的性质，可得a+cb，又a+cmb（mR），m1，B是钝角，存在a0，c0，使得a2+c2b2，a+cmb，1+成立，1m22，（3）a+cmb（mR），由正弦定理，可得sinA+sinCmsinB，由三角函数的二倍角可得，1+cosAcosC+sinAsinCm2（1+cosAcosCsinAsinC），的取值范围为
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