（全国卷）“超级全能生”2021届高三数学1月联考试题（丙卷）（B）文（含解析）.doc

1、（全国卷）“超级全能生”2021 届高三数学 1 月联考试题（丙卷）（B）文（含解析）一、选择题（每小题 5 分）.1已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足（2+3i）z1+i，则|z|（）A B C D 2已知集合 A2，4，6，7，BxN|log2（x1）3，则BA 的元素的个数为（）A2 B3 C4 D5 3从装有 2 个红球与 3 个白球的口袋中任选 2 个球，那么得到的 2 个球颜色相同的概率是（）A B C D 4在某次数学测试中 6 名同学的成绩分别为 91，100，95，92，x，92，且 91x95，x 为正整数，若 6 名同学的数学成绩的中位数与众数相等，则这 6 名同学的

2、数学成绩的平均数是（）（结果保留一位小数）A93.0 B92.5 C94.5 D93.7 5已知数列an是等差数列，且 a3，a7是方程 x210 x+90 的两根，则 a5（）A3 B4 C5 D6 6已知函数 f（x）的图象如图所示，则满足解集为x|1x1的不等式可能为（）Af（x）log2（x+1）Bf（x）log2（x+1）Cf（x）log2（x+2）Df（x）log2（x+2）7已知变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 z3x+2y 的最小值为（）A3 B5 C10 D20 8如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 BC，D1D 的中点，则异面直线 EF 与

3、 A1C1所成角的余弦值为（）A B C D 9已知函数 f（x）Asin（x+）（A0，0，|）的图象上最高点的坐标为（，2），相邻最低点的坐标为（，2），将函数 f（x）的图象向右平移 m（m0）个单位长度后，得到函数 g（x）的图象，其图象关于 y 轴对称，则 m 的值可能为（）A B C D 10过双曲线1（m0）的右焦点 F 作 x 轴的垂线与双曲线的两条渐近线分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点，当ABO 的面积取得最小值时，双曲线的渐近线方程为（）Ayx Byx Cyx Dyx 11在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且 tanA，a3，ABC 的面积为2，

4、则ABC 的周长为（）A B10 C1+D3+12已知圆 x2+y24 与 x 轴的交点分别为 A，B，点 P 是直线 l：yx+6 上的任意一点，椭圆 C 以 A，B 为焦点且过点 P，则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围为（）A，B（0，C，D，1）二、填空题（每小题 5 分）.13曲线 f（x）xex+3x1 在点（0，f（0）处的切线的斜截式方程为 14已知（cos，sin），（1，），且 ，（0，），则 15已知 cos（+），sin（），且，（0，），则 tan（）16已知函数 f（x）是 R 上的奇函数，且对任意的 x 都有 f（x+）f（x）成立，f（2）1，f（17），则实数

5、 a 的取值范围为 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。17已知正项数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn1an（nN*）（）求数列an的通项公式；（）若 bn，求数列bn的前 n 项和 Tn 18某商场随机抽取在一年中 7 个月的月平均促销费 x（单位：万元）与月平均利润 y（单位：万元）作统计，如表：月份 i 1 2 3 4 5 6 7 月平均促销费 x（万元）1 0.8 1.3 1.8 0.9 1.2 1.4 月平均利润 y（万元）13

6、.5 11 15.3 19.2 11.7 16.5 17.8 经计算得，（）求 y 关于 x 的线性回归方程（结果保留两位小数）；（）求（xi，yi）（i1，2，3，4，5，6，7）的相关系数 r，并回答该商场的月利润额与促销费的相关关系如何？附：，r 19在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 BB1，A1D1的中点（）求证：EF平面 BC1D1；（）若正方体的棱长为 2，求三棱锥 DBC1D1的体积 20已知 f（x）lnx+ax，aR（）讨论 f（x）的单调性；（）若 a1，证明：f（x）1 21已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点在直线 xy20 上（）求抛物线 C

7、的方程；（）设 P，M，N 为抛物线 C 上的不同三点，点 P（2，4），且 PMPN求证：直线 MN 过定点（10，4）（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程是（为参数）以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 C2的极坐标方程是 sin（）求曲线 C1的极坐标方程和直线 C2的直角坐标方程；（）过点 O 的直线 l 与 C1异于点 O 的交点为点 A，与 C2的交点为点 B

8、，求|OA|OB|的值 选修 4-5：不等式选讲 23（）若 a，bR，且满足3，证明：6；（）若 a，bR，且满足，证明：6 参考答案 一、选择题（每小题 5 分）.1已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足（2+3i）z1+i，则|z|（）A B C D 解：因为（2+3i）z1+i，所以，故 故选：A 2已知集合 A2，4，6，7，BxN|log2（x1）3，则BA 的元素的个数为（）A2 B3 C4 D5 解：A2，4，6，7，BxN|0 x18xN|1x92，3，4，5，6，7，8，9，BA3，5，8，9，BA 的元素个数为：4 故选：C 3从装有 2 个红球与 3 个白球的口袋中任选

9、 2 个球，那么得到的 2 个球颜色相同的概率是（）A B C D 解：从 2 个红球与 3 个白球的口袋中任选 2 个球的所有选法有10 种等可能结果，得到的 2 个球颜色相同的情况有4 种结果，故 P 故选：B 4在某次数学测试中 6 名同学的成绩分别为 91，100，95，92，x，92，且 91x95，x 为正整数，若 6 名同学的数学成绩的中位数与众数相等，则这 6 名同学的数学成绩的平均数是（）（结果保留一位小数）A93.0 B92.5 C94.5 D93.7 解：将成绩按从小到大排列为：91，92，92，95，100，又 x 的值必定在 92，93，94 之中，若 x 为 92，

10、则众数为 92，中位数也是 92，符合题意；若 x 为 93，则中位数是 92.5，不可能与众数 92 相等，不符合题意；若为 94，则中位数为 93，与众数 92 不相等，不符合题意 故 x 为 92，所以这 6 名同学的数学成绩的平均数是为93.7 故选：D 5已知数列an是等差数列，且 a3，a7是方程 x210 x+90 的两根，则 a5（）A3 B4 C5 D6 解：因为数列an是等差数列，且 a3，a7是方程 x210 x+90 的两根，所以 a3+a72a510，则 a55 故选：C 6已知函数 f（x）的图象如图所示，则满足解集为x|1x1的不等式可能为（）Af（x）log2（

11、x+1）Bf（x）log2（x+1）Cf（x）log2（x+2）Df（x）log2（x+2）解：当 x0 时，f（0）0+2a，解得 a2，由满足解集为x|1x1，则只要将 ylog2x 的图象向左移一个单位即可，即不等式为 f（x）log2（x+1），故选：B 7已知变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 z3x+2y 的最小值为（）A3 B5 C10 D20 解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得 A（4，4），由 z3x+2y，得 y，由图可知，当直线 y过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为20 故选：D 8如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别

12、是 BC，D1D 的中点，则异面直线 EF 与 A1C1所成角的余弦值为（）A B C D 解：取 AB 的中点 O，连结 OE，OF，AC，因为 E 为 BC 的中点，所以 OEAC，又 ACA1C1，所以 OEA1C1，故FEO 即为异面直线 EF 与 A1C1所成的角，设正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，则，所以，在EFO 中，由余弦定理可得，所以异面直线 EF 与 A1C1所成角的余弦值为 故选：B 9已知函数 f（x）Asin（x+）（A0，0，|）的图象上最高点的坐标为（，2），相邻最低点的坐标为（，2），将函数 f（x）的图象向右平移 m（m0）个单位长度后，得到函数

13、 g（x）的图象，其图象关于 y 轴对称，则 m 的值可能为（）A B C D 解：函数 f（x）Asin（x+）（A0，0，|）的图象上最高点的坐标为（，2），相邻最低点的坐标为（，2），A2，2，f（x）2sin（2x+）结合五点法作图，2+，故 f（x）2sin（2x+）将函数 f（x）的图象向右平移 m（m0）个单位长度后，得到 y2sin（2x+2m）的图象 再根据所得图象关于 y 轴对称，故所得函数 g（x）为偶函数，故2mk+，kZ，即 m，则 m 的值可能是，此时，k1，故选：C 10过双曲线1（m0）的右焦点 F 作 x 轴的垂线与双曲线的两条渐近线分别交于 A，B 两点，O

14、 为坐标原点，当ABO 的面积取得最小值时，双曲线的渐近线方程为（）Ayx Byx Cyx Dyx 解：双曲线1（m0）的右焦点 F（，0），渐近线的方程为 y，令 x，可得 y，则ABO 的面积为 Sm+2，当且仅当 m1 时，上式取得等号 所以双曲线的渐近线方程为 yx 故选：C 11在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且 tanA，a3，ABC 的面积为2，则ABC 的周长为（）A B10 C1+D3+解：因为 tanA，所以 cosA，sinA，因为ABC 的面积 S2，则 bc5，由余弦定理得，a29b2+c22bccosA（b+c）210+10，故 b+c，AB

15、C 的周长为 a+b+c3+故选：D 12已知圆 x2+y24 与 x 轴的交点分别为 A，B，点 P 是直线 l：yx+6 上的任意一点，椭圆 C 以 A，B 为焦点且过点 P，则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围为（）A，B（0，C，D，1）解：圆 x2+y24 与 x 轴的交点分别为 A，B，点 P 是直线 l：yx+6 上的任意一点，椭圆C 以 A，B 为焦点且过点 P，可知 A（2，0），B（2，0），c2，P 是直线 l 上的点，P 到 A、B 两点距离之和的最小值为：B 关于直线的对称性 B与 A 的距离，设 B（m，n），可得，解得 n4，m6，所以 B（6，4），|AB|4，

16、所以椭圆的长轴长 2a4，所以 a 的最小值为 2，椭圆的离心率的最大值为：椭圆 C 的离心率 e 的取值范围为（0，故选：B 二、填空题（每小题 5 分）.13曲线 f（x）xex+3x1 在点（0，f（0）处的切线的斜截式方程为 y4x1 解：f（x）xex+3x1 的导数为 f（x）（x+1）ex+3，可得在点（0，f（0）处的切线的斜率为 f（0）4，切点为（0，1），则切线的斜截式方程为 y4x1 故答案为：y4x1 14已知（cos，sin），（1，），且 ，（0，），则 解：（cos，sin），（1，），且 ，cossin0，故 tan，结合（0，），则，故答案为：15已知 co

17、s（+），sin（），且，（0，），则 tan（）解：sin（），sin，又（0，），cos，cos（+），且，（0，），sin（+），coscos（+）cos（+）cos+sin（+）sin+，（0，），sin，tan，tan（）故答案为：16已知函数 f（x）是 R 上的奇函数，且对任意的 x 都有 f（x+）f（x）成立，f（2）1，f（17），则实数 a 的取值范围为（，）解：根据题意，对任意的 x 都有 f（x+）f（x）成立，则 f（x+5）f（x+）f（x），则有 f（17）f（2+15）f（2）f（2），又由 f（2）1，则 f（17）f（2）1，则有1，变形可得：0，解可得：

18、a，即 a 的取值范围为（，），故答案为：（，）三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60分。17已知正项数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn1an（nN*）（）求数列an的通项公式；（）若 bn，求数列bn的前 n 项和 Tn 解：（）正项数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn1an，当 n1 时，2a11，解得，当 n2 时，Sn11an1，故得：anan1an，整理得 2anan1，即（常数），所以数列an是以为首项，为公比的等比数列；所以（

19、首项符合通项），故（）由（）得：bnn+2n，所以 18某商场随机抽取在一年中 7 个月的月平均促销费 x（单位：万元）与月平均利润 y（单位：万元）作统计，如表：月份 i 1 2 3 4 5 6 7 月平均促销费 x（万元）1 0.8 1.3 1.8 0.9 1.2 1.4 月平均利润 y（万元）13.5 11 15.3 19.2 11.7 16.5 17.8 经计算得，（）求 y 关于 x 的线性回归方程（结果保留两位小数）；（）求（xi，yi）（i1，2，3，4，5，6，7）的相关系数 r，并回答该商场的月利润额与促销费的相关关系如何？附：，r 解：（）由题意可知，（1+0.8+1.3+

20、1.8+0.9+1.2+1.4）1.2，由公式可得，故 158.571.24.72，所以线性回归方程为 8.57x+4.72；（）相关系数 r0.75，故该商场的月利润额与促销费具有很强的相关性 19在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 BB1，A1D1的中点（）求证：EF平面 BC1D1；（）若正方体的棱长为 2，求三棱锥 DBC1D1的体积 【解答】（）证明：取 BC1的中点 O，连结 D1O，EO，因为 E，O 分别为 BB1，BC1的中点，所以 OEB1C1，且 OEB1C1，又 F 为 A1D1的中点，故 D1FB1C1，且 D1FB1C1，故 OED1F 且 OED

21、1F，所以四边形 D1FEO 为平行四边形，故 EFD1O，又 EF平面 BC1D1，D1O平面 BC1D1，所以 EF平面 BC1D1；（）解：正方体的棱长为 2，所以，在正方体中，BC平面 CDD1C1，故 BC 为三棱锥 BDD1C1的高，所以，由等体积法可得，所以三棱锥 DBC1D1的体积为 20已知 f（x）lnx+ax，aR（）讨论 f（x）的单调性；（）若 a1，证明：f（x）1 解：（）f（x）的定义域为（0，+），由已知，f（x）a+，当 a0 时，f（x）0 恒成立，此时 f（x）在（0，+）上单调递增；当 a0 时，令 f（x）0 恒，得 x，所以 f（x）在（0，）上单

22、调递增，在（，+）上单调递减，综上所述，当 a0 时，f（x）的单调增区间为（0，+），无单调递减区间；当 a0 时，f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+）（）由（）a1 时，f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+），a1，a1，ln（a）0，ln（a）0，f（x）的最大值是 f（）ln（）+a（）ln（a）11，故若 a1，则 f（x）1 21已知抛物线 C：y22px（p0）的焦点在直线 xy20 上（）求抛物线 C 的方程；（）设 P，M，N 为抛物线 C 上的不同三点，点 P（2，4），且 PMPN求证：直线 MN 过定点（10，4）解：（）抛物线 C

23、 的焦点为（，0），因为抛物线 C：y22px（p0）的焦点在直线 xy20 上，所以020，解得 p4，所以抛物线的方程为 y28x（）证明：设 M（x1，y1），N（x2，y2），直线 MN 的方程为 xmy+n，联立，得 y28my8n0，所以 y1y28n，y1+y28m，所以 x1x2（my1+n）（my2+n）m2y1y2+mn（y1+y2）+n2 m2（8n）+mn8m+n2n2，x1+x2（my1+n）+（my2+n）m（y1+y2）+2nm8m+2n8m2+2n，因为 PMPN，所以0，所以（x12，y14）（x22，y24）0，所以（x12）（x22）（y14）（y24）0

24、，所以 x1x22（x1+x2）+4+y1y24（y1+y2）+160，所以 n22（8m2+2n）+4+（8n）48m+160，解得 n4m+2（舍去）或 n4m+10，所以直线 MN 为：xmy+4m+10m（y+4）+10，所以直线 MN 过点（10，4）（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。选修 4-4：坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程是（为参数）以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 C2的极坐标方程是 sin

25、（）求曲线 C1的极坐标方程和直线 C2的直角坐标方程；（）过点 O 的直线 l 与 C1异于点 O 的交点为点 A，与 C2的交点为点 B，求|OA|OB|的值 解：（）曲线 C1的参数方程是（为参数），转换为直角坐标方程为 x2+（y1）21，整理得 x2+y22y，根据，转换为极坐标方程为 2sin 直线 C2的极坐标方程是 sin，根据，转换为直角坐标方程为 y（）设直线 l 的极坐标方程为，与曲线 C1的交点为 A，则，整理得 12sin，与曲线 C2的交点为 B，则，整理得，所以 选修 4-5：不等式选讲 23（）若 a，bR，且满足3，证明：6；（）若 a，bR，且满足，证明：6【解答】证明：（）由3 得：a3，+，即6 成立，当且仅当 ab2 时，等号成立（）由柯西不等式得（1+）（），即，当且仅当 abc时，等号成立