1、第七节函数的图象1利用描点法作函数的图象方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；(4)描点连线2利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换yf(x)的图象yf(x)的图象；yf(x)的图象yf(x)的图象；yf(x)的图象yf(x)的图象；yax(a0且a1)的图象ylogax(a0且a1)的图象(3)伸缩变换yf(x)的图象yf(ax)的图象；yf(x)的图象yaf(x)的图象(4)翻转变换yf(x)的图象y|f(x)|的图象；yf(x)的图象yf(|x|)的图象1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“
2、”，错误的打“”)(1)函数yf(1x)的图象，可由yf(x)的图象向左平移1个单位得到()(2)函数yf(x)的图象关于y轴对称即函数yf(x)与yf(x)的图象关于y轴对称()(3)当x(0，)时，函数yf(|x|)的图象与y|f(x)|的图象相同()(4)若函数yf(x)满足f(1x)f(1x)，则函数f(x)的图象关于直线x1对称()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)甲、乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B地已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数
3、关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是()图271A甲是图，乙是图B甲是图，乙是图C甲是图，乙是图D甲是图，乙是图B设甲骑车速度为V甲骑，甲跑步速度为V甲跑，乙骑车速度为V乙骑，乙跑步速度为V乙跑，依题意V甲骑V乙骑V乙跑V甲跑，故选B.3函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线yex关于y轴对称，则f(x)()Aex1Bex1Cex1Dex1D依题意，与曲线yex关于y轴对称的曲线是yex，于是f(x)相当于yex向左平移1个单位的结果，f(x)e(x1)ex1.4(2016浙江高考)函数ysin x2的图象是()Dysin(x)2sin x2，函数为偶
4、函数，可排除A项和C项；当x时，sin x2sin 1，排除B项，故选D.5若关于x的方程|x|ax只有一个解，则实数a的取值范围是_. 【导学号：51062049】(0，)在同一个坐标系中画出函数y|x|与yax的图象，如图所示由图象知当a0时，方程|x|ax只有一个解作函数的图象作出下列函数的图象：(1)y|x|；(2)y|log2(x1)|；(3)y；(4)yx22|x|1.解(1)先作出yx的图象，保留yx图象中x0的部分，再作出yx的图象中x0部分关于y轴的对称部分，即得y|x|的图象，如图实线部分.3分(2)将函数ylog2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去
5、，即可得到函数y|log2(x1)|的图象，如图.7分(3)y2，故函数图象可由y图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图.11分(4)y且函数为偶函数，先用描点法作出0，)上的图象，再根据对称性作出(，0)上的图象，得图象如图.15分规律方法画函数图象的一般方法(1)直接法当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；(2)图象变换法若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出易错警示：注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响变式训练1分别画出下列函数的图象：(1)y|lg x|；(2)ysin|x|
6、.解(1)y|lg x|函数y|lg x|的图象，如图.8分(2)当x0时，ysin|x|与ysin x的图象完全相同，又ysin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图.15分识图与辨图(1)函数y2x2e|x|在2,2的图象大致为()(2)如图272，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则yf(x)的图象大致为()图272ABCD(1)D(2)B(1)f(x)2x2e|x|，x2,2是偶函数，又f(2)8e2(0,1)，故排除A，B.设g(x)2x2ex，则g(x)4xex.又g
7、(0)0，g(2)0，g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，f(x)2x2e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.(2)当点P沿着边BC运动，即0x时，在RtPOB中，|PB|OB|tanPOBtan x，在RtPAB中，|PA|，则f(x)|PA|PB|tan x，它不是关于x的一次函数，图象不是线段，故排除A和C；当点P与点C重合，即x时，由上得ftan1，又当点P与边CD的中点重合，即x时，PAO与PBO是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f|PA|PB|2，知ff，故又可排除D.综上，选B.规律方法函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左
8、右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象 变式训练2(1)已知函数f(x)的图象如图273所示，则f(x)的解析式可以是()图273Af(x)Bf(x)Cf(x)1Df(x)x(2)(2017绍兴二模)函数yasin bx(b0且b1)的图象如图274所示，那么函数ylogb(xa)的图象可能是()图274(1)A(2)C(1)由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C.若函数为f(x)x，则x时，f(x)，排除D，故选A
9、.(2)由题图可得a1，且最小正周期T，所以b2，则ylogb(xa)是增函数，排除A和B；当x2时，ylogb(2a)0，排除D，故选C.函数图象的应用角度1研究函数的性质已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数，递增区间是(0，)Bf(x)是偶函数，递减区间是(，1)Cf(x)是奇函数，递减区间是(1,1)Df(x)是奇函数，递增区间是(，0)C将函数f(x)x|x|2x去掉绝对值得f(x)画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(1,1)上单调递减角度2确定函数零点的个数已知f(x)则函数y2f
10、2(x)3f(x)1的零点个数是_. 【导学号：51062050】5方程2f2(x)3f(x)10的解为f(x)或1.作出yf(x)的图象，由图象知零点的个数为5.角度3求参数的值或取值范围(2017浙江杭州五校联盟一诊)若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：P，Q都在函数yf(x)的图象上；P，Q关于原点对称，则称(P，Q)是函数yf(x)的一个“伙伴点组”(点组(P，Q)与(Q，P)看作同一个“伙伴点组”)已知函数f(x)有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是()A(，0)B(0,1)C.D(0，)B根据题意可知，“伙伴点组”的点满足：都在函数图象上，且关于坐标原点对称可作出函数yln(x
11、)(x0)的图象，使它与直线ykx1(x0)的交点个数为2即可当直线ykx1与yln x的图象相切时，设切点为(m，ln m)，又yln x的导数为y，即km1ln m，k，解得m1，k1，可得函数yln x(x0)的图象过(0，1)点的切线的斜率为1，结合图象可知k(0,1)时两函数图象有两个交点故选B.角度4求不等式的解集函数f(x)是定义在4,4上的偶函数，其在0,4上的图象如图275所示，那么不等式0的解集为_图275在上，ycos x0，在上，ycos x0.由f(x)的图象知在上0，因为f(x)为偶函数，ycos x也是偶函数，所以y为偶函数，所以0的解集为.规律方法函数图象应用的
12、常见题型与求解方法(1)研究函数性质：根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值从图象的对称性，分析函数的奇偶性从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解思想与方法1识图：对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等
13、方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系2用图：借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质利用函数的图象，还可以判断方程f(x)g(x)的解的个数，求不等式的解集等易错与防范1图象变换是针对自变量x而言的，如从f(2x)的图象到f(2x1)的图象是向右平移个单位，先作如下变形f(2x1)f，可避免出错2明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系3当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用课时分层训练(九)函数的图象A
14、组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1为了得到函数y2x2的图象，可以把函数y2x的图象上所有的点() 【导学号：51062051】A向右平行移动2个单位长度B向右平行移动1个单位长度C向左平行移动2个单位长度D向左平行移动1个单位长度B因为y2x22(x1)，所以只需将函数y2x的图象上所有的点向右平移1个单位长度，即可得到y2(x1)2x2的图象，故B正确2小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶与以上事件吻合得最好的图象是()ABCDC出发时距学校最远，先排除A，中途堵塞停留，距离没变，再排除D，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B.3(2
15、017浙江嘉兴第一中学能力测试)若函数yaxb的图象如图276所示，则()图276Aa1，b1Ba1,0b1C0a1D0a1,0b1D由题图易知0a0，而函数yaxb的图象是由函数yax的图象向下平移b个单位得到的，且函数yax的图象恒过点(0,1)，所以由题图可知0b1，故选D.4已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是()A(0，)(，1)C(1，)D(0,1D作出函数yf(x)与yk的图象，如图所示：由图可知k(0,1，故选D.5(2017宁波市镇海中学模拟)若f(x)是偶函数，且当x0，)时，f(x)x1，则f(x1)0的解集是()A(1,0)B
16、(，0)(1,2)C(1,2)D(0,2)D由得0x1.由f(x)为偶函数结合图象(略)知f(x)0的解集为1x1.所以f(x1)01x11，即0x2.二、填空题6已知函数f(x)的图象如图277所示，则函数g(x)logf(x)的定义域是_. 【导学号：51062052】图277(2,8当f(x)0时，函数g(x)logf(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)0时，x(2,87如图278，定义在1，)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为_图278f(x)当1x0时，设解析式为ykxb，则得yx1.当x0时，设解析式为ya(x2)21.图象过点(
17、4,0)，0a(42)21，得a，即y(x2)21.综上，f(x)8已知定义在R上的函数yf(x)对任意的x都满足f(x1)f(x)，当1x1，则h(5)loga55.若0a1，则h(5)loga51，即0a.所以a的取值范围是(5，)三、解答题9已知函数f(x)(1)在如图279所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象；图279(2)写出f(x)的单调递增区间；(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值解(1)函数f(x)的图象如图所示6分(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为1,0，2,5.10分(3)由图象知当x2时，f(x)minf(2)1，当x0时，f(x)maxf(0)3
18、.15分10已知f(x)|x24x3|.(1)作出函数f(x)的图象；(2)求函数f(x)的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合Mm|使方程f(x)m有四个不相等的实根. 【导学号：51062053】解(1)当x24x30时，x1或x3，f(x)f(x)的图象为：(2)由函数的图象可知f(x)的单调区间是(，1，(2,3，(1,2，(3，)，其中(，1，(2,3是减区间；1,2，3，)是增区间.10分(3)由f(x)的图象知，当0m1时，f(x)m有四个不相等的实根，所以Mm|0m1.15分B组能力提升(建议用时：15分钟)1已知函数f(x)(xR)满足f(x)f(2x)，若函数y|x22x
19、3|与yf(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，则i()A0Bm C2mD4mBf(x)f(2x)，函数f(x)的图象关于直线x1对称又y|x22x3|(x1)24|的图象关于直线x1对称，两函数图象的交点关于直线x1对称当m为偶数时，i2m；当m为奇数时，i21m.故选B.2已知函数f(x)若对任意的xR，都有f(x)|k1|成立，则实数k的取值范围为_对任意的xR，都有f(x)|k1|成立，即f(x)max|k1|.因为f(x)的草图如图所示，观察f(x)的图象可知，当x时，函数f(x)max，所以|k1|，解得k或k.3已知函数f(x)的图象与函数h(x)x2的图象关于点A(0,1)对称(1)求函数f(x)的解析式；(2)若g(x)f(x)，g(x)在区间(0,2上的值不小于6，求实数a的取值范围. 【导学号：51062054】解(1)设f(x)图象上任一点坐标为(x，y)，点(x，y)关于点A(0,1)的对称点(x,2y)在h(x)的图象上，2yx2，4分yx，即f(x)x.7分(2)由题意g(x)x，且g(x)x6，x(0,2.10分x(0,2，a1x(6x)，即ax26x1.12分令q(x)x26x1，x(0,2，q(x)x26x1(x3)28，x(0,2时，q(x)maxq(2)7，故a的取值范围为7，).15分