1、第三节二项式定理1二项式定理(1)二项式定理：(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)；(2)通项公式：Tr1Canrbr，它表示第r1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，C.2二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即CC增减性二项式系数C当k(nN*)时，是递减的二项式系数最大值当n为偶数时， 中间的一项取得最大值当n为奇数时，中间的两项取最大值3.各二项式系数和(1)(ab)n展开式的各二项式系数和：CCCC2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即CCCCCC2n1.1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的
2、打“”，错误的打“”)(1)Cankbk是(ab)n的展开式中的第k项()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项()(3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关()(4)若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，则a7a6a1的值为128.()解析(1)错误应为第k1项(2)错误当n为偶数时，为中间一项；n为奇数时，为中间的两项(3)正确二项式系数只与n和项数有关(4)错误令x1，可得a7a6a1a027128.答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)二项式(x1)n(nN*)的展开式中x2的系数为15，则n()A7B6C5D4B(x1)n(1x)n1CCx2Cxn
3、.依题意，得C15，解得n6(n5舍去)3在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是()A7B7 C28D28B由题意知15，解得n8，8的展开式的通项Tk1C8kk(1)k2k8C.令80得k6，则展开式中的常数项为(1)6268C7.4在(12x)6的展开式中，x2的系数为_(用数字作答)60依二项式定理，含x2的项为展开式的第3项展开式中T3C(2x)260x2，则x2的系数为60.5已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则a_. 【导学号：51062334】1(1x)51CxCx2Cx3Cx4Cx5.(1ax)(1x)5的展开式中x2的项为(CCa)x2
4、，依题意得105a5，解得a1.通项公式及其应用(1)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A10B20C30D60(2)若5的展开式中x5的系数是80，则实数a_.(1)C(2)2(1)法一：(x2xy)5(x2x)y5，含y2的项为T3C(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的项为Cx4xCx5.所以x5y2的系数为CC30.故选C.法二：(x2xy)5为5个x2xy之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC30.故选C.(2)Tr1C(ax2)5rrCa5rx10r.令10r5，解得r2.又展开式中x5的系数为80，则有Ca380，解得a2.规
5、律方法1.二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项2求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解变式训练1(1)(2017浙江五校联考)若n的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值等于()A3B4 C5D6(2)(2x)5的展开式中，x3的系数是_(用数字填写答案)(1)C(2)10(1)二项展开式的通项Tr1C(x6)nrrC，若Tr1是常数项，
6、则6n0，即nr.又nN*，故n的最小值为5.(2)(2x)5展开式的通项为Tr1C(2x)5r()r25rC.令53，得r4.故x3的系数为254C2C10.二项式系数与各项系数和(1)(2017衢州调研)已知(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A212B211C210D29(2)(2017诸暨质检)若(12x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a1a2a3a4_.(1)D(2)0(1)(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，CC，解得n10.从而CCCC210，奇数项的二项式系数和为CCC29.(2)令x1，得a0a1a2a3a
7、4(12)41.又令x0，得a0(10)41.因此a1a2a3a40.迁移探究1若本例(2)中条件不变，问题变为“求a0a2a4的值”，则结果如何？解在(12x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4中，令x1，得a0a1a2a3a41.4分令x1，得a0a1a2a3a434.8分由，可得a0a2a4(341)41.14分迁移探究2若将本例(2)变为“若(12x)2 016a0a1xa2x2a2 016x2 016(xR)，则的值为_” 【导学号：51062335】1令x0，得a0(10)2 0161.令x，则a00，1.规律方法1.第(1)小题求解的关键在于求n，本题常因把“n的等量关系表示为
8、CC”，错求n12；第(2)小题主要是“赋值”求出a0与各项系数的和2求解这类问题要注意：(1)区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；(2)根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1，1.变式训练2(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_.3设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5.令x1，得(a1)24a0a1a2a3a4a5.令x1，得0a0a1a2a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)232，a3.二项式定理的应用(1)(2017浙江名校模拟)设复数x(i是虚数单位)，则Cx
9、Cx2Cx3Cx2 017()AiBi C1iD1i(2)设aZ，且0a13，若512 012a能被13整除，则a()A0B1 C11D12(1)C(2)D(1)x1i，CxCx2Cx3Cx2 017(1x)2 0171i2 01711i.(2)512 012a(521)2 012aC522 012C522 011C52(1)2 011C(1)2 012a，C522 012C522 011C52(1)2 011能被13整除且512 012a能被13整除，C(1)2 012a1a也能被13整除因此a可取值12.规律方法1.第(1)题将二项式定理的应用与坐标系中图象点的坐标交汇渗透，命题角度新颖；
10、将图表信息转化为运用二项展开式的系数求待定字母参数，体现数形结合和方程思想的应用2第(2)题求解的关键在于将512 012变形为(521)2 012，使得展开式中的每一项与除数13建立联系3运用二项式定理要注意两点：余数的范围，acrb，其中余数b0，r)，r是除数；二项式定理的逆用变式训练3设a0，n是大于1的自然数，n的展开式为a0a1xa2x2anxn.若点Ai(i，ai)(i0,1,2)的位置如图931所示，则a_.图9313由题意知A0(0,1)，A1(1,3)，A2(2,4)故a01，a13，a24.又n的通项公式Tr1Cr(r0,1,2，n)故3，4，解得a3.思想与方法1二项式
11、定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)揭示二项展开式的规律，一定要牢记通项Tr1Canrbr是展开式的第r1项，不是第r项2通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等(常用待定系数法)3展开式的应用：(1)可求解与二项式系数有关的求值问题，常采用赋值法(2)可证明整除问题(或求余数)(3)有关组合式的求值证明，常采用构造法易错与防范1二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k1项2(ab)n与(ba)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒3易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概
12、念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C(k0,1，n)课时分层训练(五十四)二项式定理A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1(2017杭州3月测试)6的展开式中，常数项是()AB.CD.DTr1C(x2)6rrrCx123r，令123r0得r4，所以常数项为4C.2设i为虚数单位，则(xi)6的展开式中含x4的项为()A15x4B15x4C20ix4D20ix4ATr1Cx6rir，由6r4得r2.故T3Cx4i215x4.故选A.3在x(1x)6的展开式中，含x3项的系数为()A30B20 C15D10C(1x)6的展开式的第r1项为Tr1Cxr，则x(1
13、x)6的展开式中含x3的项为Cx315x3，所以系数为15.4已知5的展开式中含的项的系数为30，则a() 【导学号：51062336】A.BC6D6DTr1C()5rrC(a)r ，由，解得r1.由C(a)30，得a6.故选D.5若(1x)(12x)7a0a1xa2x2a8x8，则a1a2a7的值是()A2B3C125D131C令x1，则a0a1a2a82.又a0C(1)0201，a8C(2)7128，所以a1a2a721(128)125.6已知C2C22C23C2nC729，则CCCC等于()A63B64 C31D32A逆用二项式定理，得C2C22C23C2nC(12)n3n729，即3n
14、36，所以n6，所以CCCC26C64163.二、填空题7.8的展开式中x7的系数为_(用数字作答)568的通项Tr1C(x2)8rr(1)rCx163r，当163r7时，r3，则x7的系数为(1)3C56.8设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若MN240，则展开式中含x的项为_. 【导学号：51062337】150x由已知条件4n2n240，解得n4，Tr1C(5x)4rr(1)r54rC，令41，得r2，T3150x.9(xy)(xy)8的展开式中x2y7的系数为_(用数字填写答案)20x2y7x(xy7)，其系数为C，x2y7y(x2y6)，其系数为C，x2y7的系数为
15、CC82820.10已知n的展开式中前三项的系数成等差数列，则第四项为_7x5由题设，得CC2C，即n29n80，解得n8或n1(不符合题意，舍去)，则8的展开式的通项为Tr1Cx8rr，令r14，得r3，则第四项为T4Cx537x5.B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2017湖州模拟)已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若数列a1，a2，a3，ak(1k11，kZ)是一个单调递增数列，则k的最大值是()A5B6 C7D8B由二项式定理知anC(n1,2,3，n)又(x1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，a6C，则k的最大值为6.2在(1x)6(1y)4的展开式中，记xm
16、yn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)()A45B60 C120D210C在(1x)6的展开式中，xm的系数为C，在(1y)4的展开式中，yn的系数为C，故f(m，n)CC，所以f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)CCCCCCCC120.3(2017宁波调研)若6的展开式中x3项的系数为20，则a2b2的最小值为_. 【导学号：51062338】26的展开式的通项为Tr1C(ax2)6rrCa6rbrx123r，令123r3，得r3.由Ca63b320得ab1，所以a2b22ab2，故a2b2的最小值为2.4若在(x1)4(ax1)的展开式中，x4的系数为15，则a的值为_. 【导学号：51062339】4(x1)4(ax1)(x44x36x24x1)(ax1)，x4的系数为4a115，a4.
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