1、第七节抛物线1抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px (p0)y22px(p0)x22py (p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR焦半径|PF|x0x0y0y01(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)方程yax2(a0)
2、表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(4)AB为抛物线y22px(p0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)若抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A.B.C.D0BM到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y，设M(x，y)，则y1，y.3抛物线yx2的准线方程是()Ay1By2Cx1Dx2Ayx2，x24y，准线方程为y1.4(2017衢州质检)若抛物线y22px(p0)
3、的准线经过双曲线x2y21的一个焦点，则p_.2抛物线的准线方程为x，p0，双曲线的焦点为F1(，0)，F2(，0)，所以，p2.5(2016浙江高考)若抛物线y24x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_9设点M的横坐标为x0，则点M到准线x1的距离为x01，由抛物线的定义知x0110，x09，点M到y轴的距离为9.抛物线的定义及应用(1)已知抛物线C：y2x的焦点为F，点A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0()A1B2C4D8(2)已知抛物线y24x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|BD|的最小值为_. 【导
4、学号：51062296】(1)A(2)2(1)由y2x，知2p1，即p，因此焦点F，准线l的方程为x.设点A(x0，y0)到准线l的距离为d，则由抛物线的定义可知d|AF|.从而x0x0，解得x01.(2)由y24x，知p2，焦点F(1,0)，准线x1. 根据抛物线的定义，|AF|AC|1，|BF|BD|1.因此|AC|BD|AF|BF|2|AB|2.所以|AC|BD|取到最小值，当且仅当|AB|取得最小值，又|AB|2p4为最小值故|AC|BD|的最小值为422.规律方法1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快2若
5、P(x0，y0)为抛物线y22px(p0)上一点，由定义易得|PF|x0；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|x1x2p，x1x2可由根与系数的关系整体求出变式训练1设P是抛物线y24x上的一个动点，则点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值为_如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x1，由抛物线的定义知：点P到直线x1的距离等于点P到F的距离于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小连接AF交抛物线于点P，此时最小值为|AF|.抛物线的标准方程与几何性质(1)点M(5
6、,3)到抛物线yax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是()Ax2yBx2y或x2yCx2yDx212y或x236y(2)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2B4C6D8(1)D(2)B(1)将yax2化为x2y.当a0时，准线y，则36，a.当a0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|4|OF|，MFO的面积为4，则抛物线的方程为 ()Ay26xBy28xCy216xDy2(2)若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_(1)B(2)x2(1)设M(x
7、，y)，因为|OF|，|MF|4|OF|，所以|MF|2p，由抛物线定义知x2p，所以xp，所以yp.又MFO的面积为4，所以p4，解得p4(p4舍去)所以抛物线的方程为y28x.(2)由椭圆1，知a3，b，所以c2a2b24，所以c2.因此椭圆的右焦点为(2,0)，又抛物线y22px的焦点为.依题意，得2，于是抛物线的准线x2.直线与抛物线的位置关系角度1直线与抛物线的交点问题在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由. 【导学
8、号：51062297】解(1)如图，由已知得M(0，t)，P.又N为M关于点P的对称点，故N，2分故直线ON的方程为yx，将其代入y22px整理得px22t2x0, 解得x10，x2.因此H.所以N为OH的中点，即2.6分(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt).9分代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点.15分规律方法1.(1)本题求解的关键是求出点N，H的坐标(2)第(2)问将直线MH的方程与抛物线C的方程联立，根据方程组的解的个数进行判断2(1)判断直线与圆
9、锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧角度2与抛物线弦长或中点有关的问题(2017嘉兴模拟)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：yx的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线l2与l1的垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|PB|，求FAB的面积解(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，8)，2分(8)22p8，2p8，抛物线方程为y28x.5分(2
10、)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.6分由得y28y8m0，6432m0，m2.y1y28，y1y28m，x1x2m2.10分由题意可知OAOB，即x1x2y1y2m28m0，m8或m0(舍)，直线l2：xy8，M(8,0).12分故SFABSFMBSFMA|FM|y1y2|324.15分规律方法1.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式2涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”
11、“整体代入”等方法3涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解思想与方法1抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F(抛物线的焦点)，一条定直线l(抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率)2抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性，故二者可相互转化，这一转化思想在解题中有着重要作用3抛物线的焦点弦：设过抛物线y22px(p0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)y1y2p2，x1x2；(2)若直线AB的倾斜角为，则|AB|x1x2p.易错与防范1认真区分四种形式的标准方程(1)区分yax2(a0)与y22px(p0)
12、，前者不是抛物线的标准方程(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2mx或x2my(m0)2直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式3抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线当直线与抛物线有一个公共点，并不表明直线与抛物线相切课时分层训练(四十九)抛物线A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1抛物线y24x的焦点坐标是()A(0,2)B(0,1)C(2,0)D(1,0)D由y24x知p2，故抛物线的焦点坐标为(1,0)2(2017宁波二模)若动圆的圆心在抛物线yx2上，且与直线y30相切，
13、则此圆恒过定点()A(0,2)B(0，3)C(0,3)D(0,6)C直线y30是抛物线x212y的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y3的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3)3抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()A.B.C1D.B由双曲线x21知其渐近线方程为yx，即xy0，又y24x的焦点F(1,0)，焦点F到直线的距离d.4设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为() 【导学号：51062298】Ay24x或y28xBy22x或y28xCy24x或y216xDy22x或y
14、216xC由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，点M(x0，y0)则，.由已知得，0，即y8y0160，因而y04，M.由|MF|5，得5，又p0，解得p2或p8.故C的方程为y24x或y216x.5O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为()A2B2C2D4C如图，设点P的坐标为(x0，y0)，由|PF|x04，得x03，代入抛物线方程得，y4324，所以|y0|2，所以SPOF|OF|y0|22.二、填空题6(2017浙江五校三联)过抛物线y24x的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A，B两点，则弦长|AB|为_. 【导学号：51062
15、299】8设A(x1，y1)，B(x2，y2)易得抛物线的焦点是F(1,0)，所以直线AB的方程是yx1.联立消去y得x26x10.所以x1x26，所以|AB|x1x2p628.7已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为_点A(2,3)在抛物线C的准线上2，p4，焦点F(2,0)因此kAF.8(2017江西九校联考)抛物线y22px(p0)的焦点为F，其准线与双曲线y2x21相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.2y22px的准线为x.由于ABF为等边三角形因此不妨设A，B.又点A，B在双曲线y2x21，从而1，所以p2.三、解答题9已知抛
16、物线y22px(p0)，过点C(2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，12.(1)求抛物线的方程；(2)当以|AB|为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程. 【导学号：51062300】解(1)设l：xmy2，代入y22px中，得y22pmy4p0.2分设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22pm，y1y24p，则x1x24，因为x1x2y1y244p12，可得p2，则抛物线的方程为y24x.6分(2)由(1)知y24x，p2，可知y1y24m，y1y28.8分设AB的中点为M，则|AB|2xMx1x2m(y1y2)44m24.又|AB|y1y2|.由得(1m2)(16
17、m232)(4m24)2，12分解得m23，m，所以直线l的方程为xy20或xy20.15分10已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值解(1)由题意得直线AB的方程为y2，与y22px联立，从而有4x25pxp20，所以x1x2.3分由抛物线定义得|AB|x1x2pp9，所以p4，从而该抛物线的方程为y28x.6分(2)由(1)得4x25pxp20，即x25x40，则x11，x24，于是y12，y24，从而A(1，2)，B(4,4).
18、9分设C(x3，y3)，则(x3，y3)(1，2)(4,4)(41,42).12分又y8x3，所以2(21)28(41)，整理得(21)241，解得0或2.15分B组能力提升(建议用时：15分钟)1设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，则|AB|()A.B6C12D7CF为抛物线C：y23x的焦点，F，AB的方程为y0tan 30，即yx.联立得x2x0，x1x2，即xAxB.由于|AB|xAxBp，|AB|12.2(2017浙江模拟训练冲刺卷一)已知点F为抛物线x24y的焦点，O为坐标原点，点M是抛物线准线上一动点，A在抛物线上，且|AF|2，则|OA|_
19、；|MA|MO|的最小值是_易知F(0,1)设A(x，y)，由|AF|2，得y12，y1，代入x24y得x2，所以A(2,1)，则|OA|.设B(0，2)，因点M在抛物线准线上，则|MO|MB|，从而|MA|MO|的最小值就是|MA|MB|的最小值因为A，B为定点则|MA|MB|的最小值即为|AB|，故|MA|MO|的最小值是.3抛物线y24x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点(1)若2 ，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值. 【导学号：51062301】解(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为xmy1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y24my40.2分设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y24m，y1y24.因为2 ，所以y12y2.联立上述三式，消去y1，y2得m.所以直线AB的斜率是2.6分(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2SAOB.10分因为2SAOB2|OF|y1y2| 4，所以当m0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.15分
