1、第3讲圆锥曲线中的最值、范围、证明问题最值问题函数最值法：当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值求函数最值的常用方法有(1)配方法；(2)基本不等式法；(3)判别式法；(4)单调性法；(5)三角换元法；(6)导数法等高考真题思维方法【基本不等式法】(2014高考课标全国卷) 已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程.(1)略(2)当lx轴时不合题意，【关键1：研究直线l与x轴垂直的情况】故可设l
2、：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将ykx2代入y21得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1，2，【关键2：设出直线方程，并与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出A，B两点的横坐标与参数k的关系式】从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d，所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.【关键3：用参数k表示面积】设t，则t0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0，【关键4：换元，利用基本不等式求最值】所以，当OPQ的面积最大时，k，l的方程为yx2或yx2.【利用函数的单调性求最值】(2019高考全国卷)已知点A(2，0)，B(
3、2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.证明：PQG是直角三角形；求PQG面积的最大值.(1)略(2) 证明：设直线PQ的斜率为k，则其方程为ykx(k0).由得x.记u，则P(u，uk)，Q(u，uk)，E(u，0).【关键1：巧换元，妙设点P、Q、E的坐标】于是直线QG的斜率为，方程为y(xu)【关键2：求直线QG的方程】由得(2k2)x22uk2xk2u280.*设G(xG，yG)，则u和xG是方程*的解，故xG
4、，由此得yG.【关键3：正确求出G点的坐标】从而直线PG的斜率为.【关键4：求直线PG的斜率】所以PQPG，即PQG是直角三角形.由得|PQ|2u，|PG|，【关键5：利用弦长公式求出PQ、PG的表达式】所以PQG的面积S|PQ|PG|.【关键6：将PQG的面积表示成关于k的函数】设tk，则由k0得t2，当且仅当k1时取等号因为S在2，)单调递减，所以当t2，即k1时，S取得最大值，最大值为.因此，PQG面积的最大值为.典型例题 (2019安徽宣城二模)已知椭圆C的方程为1，A是椭圆上的一点，且A在第一象限内，过A且斜率等于1的直线与椭圆C交于另一点B，点A关于原点的对称点为D.(1)证明：直
5、线BD的斜率为定值；(2)求ABD面积的最大值【解】(1)证明：设D(x1，y1)，B(x2，y2)，则A(x1，y1)，直线BD的斜率k，由两式相减得，因为kAB1，所以k，故直线BD的斜率为定值.(2)连接OB，因为A，D关于原点对称，所以SABD2SOBD，由(1)可知BD的斜率k，设BD的方程为yxt，因为D在第三象限，所以tb0)的离心率为，焦距为2.(1)求椭圆E的方程；(2)如图，动直线l：yk1x交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2，M是线段OC延长线上一点，且|MC|AB|23, M的半径为|MC|，OS，OT是M的两条切线，切点分别为S，
6、T.求SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率解：(1)由题意知e，2c2，所以a，b1，因此椭圆E的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得(4k2)x24k1x10，由题意知0，且x1x2，x1x2，所以|AB|x1x2| .由题意可知圆M的半径r为r|AB| .由题设知k1k2，所以k2，因此直线OC的方程为yx.联立方程得x2，y2，因此|OC|.由题意可知sin，而，令t12k，则t1，(0，1)，因此1，当且仅当，即t2时等号成立，此时k1，所以sin，因此，所以SOT最大值为.综上所述：SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为k1.范围问题1几
7、何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决高考真题思维方法(2018高考浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x21(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围.(1)略(2)由(1)可知所以|PM|(yy)x0y3x0，|y1y2|2.因此，PAB的面积SPAB|PM|y1y2|(y4x0).【关键1：利用根与系数的关系，用P点坐标表示PAB的面积】因为x1(1x00求取值范围】当l与x轴
8、垂直时，其方程为x1，|MN|3，|PQ|8，四边形MPNQ的面积为12.【关键7：分类讨论，直线斜率不存在时四边形MPNQ的面积】综上，四边形MPNQ面积的取值范围为12，8).典型例题 (2019安徽五校联盟第二次质检)已知椭圆C：1(ab0)的焦点坐标分别为F1(1，0)，F2(1，0)，P为椭圆C上一点，满足3|PF1|5|PF2|且cosF1PF2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：ykxm与椭圆C交于A，B两点，点Q，若|AQ|BQ|，求k的取值范围【解】(1)由题意设|PF1|r1，|PF2|r2，则3r15r2，又r1r22a，所以r1a，r2a.在PF1F2中，由余弦
9、定理得，cosF1PF2，解得a2，因为c1，所以b2a2c23，所以椭圆C的标准方程为1.(2)联立方程，消去y得(34k2)x28kmx4m2120，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，且48(34k2m2)0，设AB的中点为M(x0，y0)，连接QM，则x0，y0kx0m，因为|AQ|BQ|，所以ABQM，又Q，M为AB的中点，所以k0，直线QM的斜率存在，所以kkQMk1，解得m，把代入得34k2，整理得16k48k230，即(4k21)(4k23)0，解得k或k，故k的取值范围为.求解范围问题的常见方法(1)利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围(2)
10、利用已知参数的取值范围，求新参数的取值范围，解决这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系 (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围(4)利用基本不等式求出参数的取值范围(5)利用函数的值域求范围问题的关键是建立关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标变量的取值范围在建立函数的过程中，要根据题目的其他已知条件把要求的量都用已知变量表示出来，同时要注意变量的取值范围对点训练(2019洛阳模拟)已知A，B是x轴正半轴上两点(A在B的左侧)，且|AB|a(a0)，过A，B分别作x轴的垂线，与抛物线y22px(p0)在第一象限分别交于D，C两点(1)若ap，点A与抛
11、物线y22px的焦点重合，求直线CD的斜率；(2)若O为坐标原点，记OCD的面积为S1，梯形ABCD的面积为S2，求的取值范围解：(1)由题意知A，则B，D，则C，又ap，所以kCD1.(2)设直线CD的方程为ykxb(k0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，由，得ky22py2pb0，所以4p28pkb0，得kb0，y1y20，可知k0，b0，因为|CD|x1x2|a，点O到直线CD的距离d，所以S1aab.又S2(y1y2)|x1x2|a，所以，因为0kb，所以0.证明问题代数转化法：圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明，比如涉及线段或角相等以及位置关系等等证明时，常把几何量用坐标表
12、示，建立某个变量的函数，用代数方法证明高考真题思维方法(2018高考全国卷)设椭圆C：y21的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0).(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：OMAOMB.(2)证明：当l与x轴重合时，OMAOMB0.(1)略【关键1：分类讨论(l与x轴重合)，证明OMAOMB】当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB.【关键2：分类讨论(l与x轴垂直)，证明OMAOMB】当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，【关键3：设出直线方程及直线与椭圆
13、交点的坐标】则x1，x20).(1)证明：kb0)上，O为坐标原点，直线l：1的斜率与直线OA的斜率乘积为.(1)求椭圆C的方程；(2)不经过点A的直线yxt(t0且tR)与椭圆C交于P，Q两点，P关于原点的对称点为R(与点A不重合)，直线AQ，AR与y轴分别交于两点M，N，求证：|AM|AN|.【解】(1)由题意知，kOAkl，即a24b2，又1，所以联立，解得，所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则R(x1，y1)，由，得x2txt210，所以4t20，即2tb0)的离心率为，右焦点为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线xy0相切(1
14、)求椭圆C的方程；(2)如图，过定点P(2，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，连接AF并延长交C于M，求证：PFMPFB.解：(1)依题意可设圆O的方程为x2y2b2，因为圆O与直线xy0相切，所以b1，所以a2c21，又，所以a，所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：依题意可知直线l的斜率存在，设l的方程为yk(x2)由得(12k2)x28k2x8k220，因为l与椭圆有两个交点，所以0，即2k21b0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆上一动点(异于左、右顶点)，AF1F2的周长为42，且面积的最大值为.(1)求椭圆C的方程；(2)设B是椭圆上一动点，线段AB的中点为P，OA，OB(O
15、为坐标原点)的斜率分别为k1，k2，且k1k2，求|OP|的取值范围解：(1)由椭圆的定义及AF1F2的周长为42，可得2(ac)42，所以ac2.当A在上(或下)顶点时，AF1F2的面积取得最大值，即bc，由及a2c2b2，得a2，b1，c，所以椭圆C的方程为y21.(2)当直线AB的斜率不存在时，k1k2，因为k1k2，所以k1，不妨取k1，则直线OA的方程为yx，不妨取点A，则B，P(，0)，所以|OP|.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得(14k2)x28kmx4m240，64k2m24(4k21)(4m24)16(4k21m
16、2)0，所以x1x2，x1x2.因为k1k2，所以4y1y2x1x20，所以4(kx1m)(kx2m)x1x2(4k21)x1x24km(x1x2)4m24m244m20，化简得2m214k2(满足式)，所以m2.设P(x0，y0)，则x0，y0kx0m.所以|OP|2xy2，所以|OP|.综上，|OP|的取值范围为.3(2019济南模拟)已知椭圆D：1(ab0)的离心率为e，点(，1)在椭圆D上(1)求椭圆D的方程；(2)过椭圆D内一点P(0，t)的直线l的斜率为k，且与椭圆D交于M，N两点，设直线OM，ON(O为坐标原点)的斜率分别为k1，k2，若对任意k，存在实数，使得k1k2k，求实数
17、的取值范围解：(1)椭圆D的离心率e，所以ab，又点(，1)在椭圆D上，所以1，得a2，b，所以椭圆D的方程为1.(2)由题意得，直线l的方程为ykxt.由，消元可得(2k21)x24ktx2t240.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，x1x2，k1k22k2kt.由k1k2k，得k，因为此等式对任意的k都成立，所以，即t22.因为点P(0，t)在椭圆内，所以0t22，即02b0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为.不经过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分(1)求椭圆C的方程；(2)求ABP的面积取最大值时，直线l的方程解：(1)依题意知
18、，e，左焦点(c，0)到点P(2，1)的距离d0，得a24，c21，所以b23，故椭圆C的方程为1.(2)易得直线OP的方程为yx，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点R(x0，y0)(y00)，其中y0x0.因为A，B在椭圆C上，所以1，1，两式相减得0，即0，故kAB.由题意可设直线l的方程为yxm(m0)，代入1中，消去y并整理得3x23mxm230，由(3m)243(m23)3(12m2)0，得2m2且m0.由根与系数的关系，得x1x2m，x1x2，所以|AB|x1x2|.又点P(2，1)到直线l的距离d，所以ABP的面积SABP|AB|d，其中2m2且m0.令f(m)(4m)2(12m2)(2m2且m0)，则f(m)4(m4)(m22m6)4(m4)(m1)(m1)，令f(m)0，得m1(4和1不满足2m0，当m(1，2)且m0时，f(m)0，所以当m1时，SABP取得最大值，此时直线l的方程为3x2y220.
