1、第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域AxByC0直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线AxByC0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.线性规划中的相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数解析式，如z2x3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值
2、问题1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)不等式AxByC0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方()(2)线性目标函数的最优解可能不唯一()(3)目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距()(4)不等式x2y20表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)不等式组表示的平面区域是()Cx3y60表示直线x3y60左上方的平面区域，xy20表示直线xy20及其右下方的平面区域，故选C.3若x，y满足约束条件则zxy的最大值为_不等式组表示的平面
3、区域如图中阴影部分由得A.当直线zxy过点A时，zmax1.4(2017绍兴调研)在平面直角坐标系xOy中，若点P(m,1)到直线4x3y10的距离为4，且点P(m,1)在不等式2xy3表示的平面区域内，则m_.6由题意得4及2m13，解得m6.5在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是_1不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，由x1，xy0得A(1，1)，由x1，xy40得B(1，3)，由xy0，xy40得C(2，2)，|AB|2，SABC211.二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)(2016浙江高考)若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值
4、是()A.B.C.D.(2)(2017宁波中学调研)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()Aa5 Ba7C5a7Da0)的最大值为1，则m的值是()AB1C2D5B作出可行域，如图所示的阴影部分m0，当zymx经过点A时，z取最大值，由解得即A(1,2)，2m1，解得m1.故选B.规律方法1.求目标函数的最值的一般步骤为：一作图、二平移、三求值其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义2常见的目标函数有：(1)截距型：形如zaxby.求这类目标函数的最值时常将函数zaxby转化为直线的斜截式：yx，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值(2)距离型：形如z(xa)2(yb)
5、2.(3)斜率型：形如z.易错警示：注意转化的等价性及几何意义.线性规划的实际应用某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料ABC甲483乙5510现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨在此基础上生产甲、乙两种肥料已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润解(
6、1)由已知，x，y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分.7分(2)设利润为z万元，则目标函数为z2x3y.考虑z2x3y，将它变形为yx，它的图象是斜率为，随z变化的一族平行直线，为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大根据x，y满足的约束条件，由图可知，当直线z2x3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大.11分解方程组得点M的坐标为(20,24)，所以zmax220324112.答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.15分规律方法1.解线性规划应用题的步骤(1)转化设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题
7、转化为线性规划问题；(2)求解解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答将数学问题的答案还原为实际问题的答案2解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题变式训练2某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为() 【导学号：51062186】甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元B16万元C17万元D18万元D设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润
8、为z万元，则有z3x4y，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z3x4y经过点A(2,3)时，z取最大值，最大值为324318.思想与方法1确定二元一次不等式表示的平面区域的方法是“直线定界，特殊点定域”(1)直线定界：即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线(2)特殊点定域：当C0时，常把原点作为测试点；当C0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点2利用线性规划求最值的步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；(4)求最
9、值：将最优解代入目标函数求最值易错与防范1画平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化2求二元一次函数zaxby(ab0)的最值，利用其几何意义，通过求yx的截距的最值间接求出z的最值，要注意：当b0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值当b0的情形恰好相反课时分层训练(三十一)二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1已知点(3，1)和点(4，6)在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围为()A(24,7)B(7,24)C(，7)(24，)D(，24)(7，)B根据题意知(92a)(1212a)0，即(a7)(
10、a24)0，解得7a24.2不等式组所表示的平面区域的面积等于()A.B.C.D.C平面区域如图中阴影部分所示解得A(1,1)，易得B(0,4)，C，|BC|4，SABC1.3若x，y满足则2xy的最大值为()A0B3C4D5C根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y2x，当直线平移到虚线处时，目标函数取得最大值，由可得A(1,2)，此时2xy取最大值为2124.4不等式组的解集记为D，若(a，b)D，则z2a3b的最大值是() 【导学号：51062187】A1B4C1D4A由题意得a，b满足约束条件以a为横轴，b为纵轴建立平面直角坐标系，则不等式组表示的平面区域为以(2,0)，(1，1
11、)，(2,2)为顶点的三角形区域(包含边界)，由图易得当目标函数z2a3b经过平面区域内的点(1，1)时，z2a3b取得最大值zmax2(1)3(1)1，故选A.5(2017杭州适应性考试(二)若函数ykx的图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数k的最大值为()A1B2C.D.B约束条件对应的平面区域是以点(1,2)，(1，1)和(3,0)为顶点的三角形，当直线ykx经过点(1,2)时，k取得最大值2，故选B.二、填空题6设变量x，y满足约束条件则目标函数z3xy的最大值为_4根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，z3xy，y3xz，当该直线经过点A(2,2)时，z取得最大值，即zma
12、x3224.7已知实数x，y满足则x2y2的取值范围是_根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x，y)为阴影区域内的动点d可以看做坐标原点O与可行域内的点(x，y)之间的距离数形结合，知d的最大值是OA的长，d的最小值是点O到直线2xy20的距离由可得A(2,3)，所以dmax，dmin，所以d2的最小值为，最大值为13，所以x2y2的取值范围是.8(2017浙江嘉兴第一中学能力测试)设z2xy，实数x，y满足若z的最大值是0，则实数k_，z的最小值是_44作出不等式组表示的平面区域如图所示，由图知当直线z2xy经过点A时，z取得最大值，即20，解得k4.当直线z2xy经过点B(
13、2，k4)时，z取得最小值，所以zmin2204.三、解答题9若直线xmym0与以P(1，1)，Q(2,3)为端点的线段不相交，求m的取值范围. 【导学号：51062188】解直线xmym0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ与直线xmym0不相交，5分则点P，Q在同一区域内，于是或所以m的取值范围是m.14分10若x，y满足约束条件(1)求目标函数zxy的最值；(2)若目标函数zax2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围解(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0).2分平移初始直线xy0，过A(3,4)取最小值2，过C(1,0)取最大值1，所以z的最大值为1
14、，最小值为2.8分(2)直线ax2yz仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知12，解得4a2.13分故所求a的取值范围为(4,2).14分B组能力提升(建议用时：15分钟)1若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为()A3B1C.D3B作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A，B，C，D的坐标分别为A(2,0)，B(1m,1m)，C，D(2m,0)SABCSADBSADC|AD|yByC|(22m)(1m)，解得m1或m3(舍去)2(2017浙江宁波十校联考)已知点A(3，)，O为坐标原点，点P(x，y)满足则满足条件的点P所形成的平面区域的面积为_，的最大值是_不等式组表示
15、的可行域是以B(2,0)，O(0,0)，C(1，)为顶点的三角形区域(含边界)图略，其面积为2.设向量与的夹角为，易知AOC30，AOB150，30150.又|cos ，要使取到最大值，则3090，此时0cos ，1|2，且cos 取到最大值时，|也取到最大值2，故的最大值为2.3某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 【导学号：51062189】解(1)依题意每天生产的伞兵个数为100xy，所以利润5x6y3(100xy)2x3y300.5分(2)约束条件为整理得8分目标函数为2x3y300，作出可行域，如图所示，作初始直线l0：2x3y0，平移l0，当l0经过点A时，有最大值，由得所以最优解为A(50,50)，此时max550元故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元.15分