1、第三节 几 何 概 型 1.几何概型（1）定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 _成比例,则称这样的概率模型为几何概率 模型,简称几何概型.（2）特点：无限性：试验中所有可能出现的结果（基本事件）有 _个；等可能性：试验结果在每一个区域内均匀分布.长度(面积或体积)无限多 2.几何概型的概率公式 P(A)=.A构成事件 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.()(2)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的.()(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某
2、个特定的几何区域 内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.()(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图 形.()【解析】(1)正确.由随机模拟方法及几何概型可知，该说法正确.(2)错误.虽然环境相同，但是因为随机模拟得到的是某一次的频率，所以结果不一定相等.(3)正确.由几何概型的定义知，该说法正确.(4)正确.由几何概型的定义知，该说法正确.答案：(1)(2)(3)(4)1有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小水杯从水中 取0.1升水，则此小水杯中含有这个细菌的概率是()(A)0.01 (B)0.02 (C)0.05 (D)0.1【解析】选C.试验的全部结果构成
3、的区域体积为2升，所求事 件的区域体积为0.1升，故所求概率为 0.11P0.05.2202.在区间-1,2上随机取一个数x，则|x|1的概率为 _.【解析】在区间-1,2上随机取一个数x，则|x|1的 区间长度为2，|x|1的概率为 答案：2.3233.有一根长为1米的细绳子，随机从中间将细绳剪断，则使两 截的长度都大于 米的概率为_.【解析】如图，将细绳八等分，C,D分别是第一个和最后一个 等分点，则在线段CD的任意位置剪断得到的两截细绳长度都 大于 米.由几何概型的计算公式，两截的长度都大于 米的 概率为 答案：181818638P.14 344.在集合Am|关于x的方程x2mx 10无
4、实根中随机地取一元素m，恰使式子lg m有意义的概率为_.【解析】由于 得1m0.在数轴上表示为 ，故所求概率为 答案：3 m423m4(m 1)04，4.545考向 1 与长度(角度)有关的几何概型【典例1】(1)（2012辽宁高考）在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为()(A)(B)(C)(D)（2）在等腰RtABC中，过直角顶点C在ACB内作一条射线CD与线段AB交于点D，则ADAC的概率为_.16132345【思路点拨】(1)本题与长度有关，利用几何概型求概率.(2)过点C在ACB内作射线CD与角度有
5、关，利用几何概型的 概率公式求解.【规范解答】(1)选C.设其中一段AC长为x cm，则另一段长 为(12-x)cm，其中0 x12，由题意x(12-x)32得，0 x 4或8x0的概率为_.【解析】根据已知条件，我们把a,b分 别作为横坐标和纵坐标，然后在直角 坐标系内作图，利用面积比来求几何 概型的概率值.如图所示，a,b满足的 范围就是边长为4的正方形，而f(1)0即a+b3，表示的是 直线的右上方，即阴影部分的区域.故所求的概率为 答案：13 32321.4 432 2332 生活中的几何概型问题【典例】(1)假设车站每隔10分钟发一班车，若某乘客随机到达车站，则其等车时间不超过3分钟
6、的概率为_.(2)(2013西安模拟)甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.【思路点拨】(1)本题为实际问题，可将其转化为一数学模型，由于发车时间长度为10分钟，等车时间不超过3分钟，且时间是连续的，乘客何时到达是随机的、等可能的，因此为几何概型.(2)要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上.【规范解答】(1)要使得等车的 时间不超过3分钟，即到达的时 刻应该是图中A包含的时间点 故所求概率 答案：0.3 A
7、3P0.3.S10的长度的长度(2)这是一个几何概型问题.设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，A为“两船都不需要等待码头空出”，则0 x24,0y24,要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上,即yx1或xy2.故所求事件构成集合A=(x,y)|yx1或 xy2,x0,24,y0,24.A为图中阴影部分，全部结果构成 集合为边长是24的正方形及其 内部.所求概率为 P(A)=A的面积的面积2221124 12422224506.51 013.5761 152【拓展提升】生活中的几何概型度量区域的构造 将实际问题转化为几何概型中的长度、角度、面积
8、、体积等常见几何概型的求解问题，构造出随机事件A对应的几何图形，利用几何图形的度量来求随机事件的概率，根据实际问题的具体情况，合理设置参数，建立适当的坐标系，在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的点，便可构造出度量区域.【提醒】当基本事件受两个连续变量控制时，一般是把两个连续变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决.【变式训练】甲、乙两人因工作需要每天都要上网查资料，已知他们每天上网的时间都不超过2小时，则在某一天内，甲上网的时间不足乙上网的时间的一半的概率是()(A)(B)(C)(D)12131423【解析】选C.由题意知本题是
9、一个几何 概型，设甲、乙两人每天上网时间分别 为x小时、y小时.试验包含的所有事件=(x,y)|0 x2,0y2，事件对应的集合表示的面积是 S正方形=4，满足条件的事件是A=(x,y)|0 x2,0y0成立的概率是_.【解析】f(1)-1+a-b0,即a-b1,满足条件的区域如图中的ABC.又A(1,0),B(4,0),C(4,3),答案：ABCABC9S992S,P.2S4 432正方形9321.在圆心角为90的扇形中，以圆心O为起点 作射线OC交 于点C，如图，则使得AOC 和BOC都不小于30的概率为_【解析】设事件A是“作射线OC，使AOC和BOC都不小于30”由几何概型的计算公式得 P(A)答案：AB9030301.903132.在区间0,9上随机取一实数x，则该实数x满足不等式1log2x2的概率为_【解析】由不等式1log2x2，可得2x4，所以所求概率为 答案：422.909293.如图，在一个边长为a(a0)的正方形 内画一个半圆，其半径为 向该正方形内随机投一点，则所投的点 落在半圆内部的概率为_ ar(0r)2，【解析】记A所投的点落在半圆内部因为S正方形a2，所以 故所投的点落在半圆内部的概率是 答案：221rSr22半圆，2222rr2P A.a2a22r.2a22r2a