1、等腰直角三角形 1、（2013衢州）将一个有 45角的三角板的直角顶点放在一张宽为 3cm 的纸带边沿上另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30角，如图，则三角板的最大边的长为（）A 3cm B 6cm C cm D cm 考点：含 30 度角的直角三角形；等腰直角三角形 分析：过另一个顶点 C 作垂线 CD 如图，可得直角三角形，根据直角三角形中 30角所对的边等于斜边的一半，可求出有 45角的三角板的直角直角边，再由等腰直角三角形求出最大边 解答：解：过点 C 作 CDAD，CD=3，在直角三角形 ADC 中，CAD=30，AC=2CD=23=6，又三角
2、板是有 45角的三角板，AB=AC=6，BC2=AB2+AC2=62+62=72，BC=6，故选：D 点评：此题考查的知识点是含 30角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先由求得直角边，再由勾股定理求出最大边 2、（2013内江）已知，如图，ABC 和ECD 都是等腰直角三角形，ACD=DCE=90，D为 AB 边上一点求证：BD=AE 考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形 专题：证明题 分析：根据等腰直角三角形的性质可得 AC=BC，CD=CE，再根据同角的余角相等求出ACE=BCD，然后利用“边角边”证明ACE 和BCD 全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明 解答：证明
3、：ABC 和ECD 都是等腰直角三角形，AC=BC，CD=CE，ACD=DCE=90，ACE+ACD=BCD+ACD，ACE=BCD，在ACE 和BCD 中，ACEBCD（SAS），BD=AE 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及等角的余角相等的性质，熟记各性质是解题的关键 3、（2013常德压轴题）已知两个共一个顶点的等腰 RtABC，RtCEF，ABC=CEF=90，连接 AF，M 是 AF 的中点，连接 MB、ME（1）如图 1，当 CB 与 CE 在同一直线上时，求证：MBCF；（2）如图 1，若 CB=a，CE=2a，求 BM，ME 的长；（3）如图 2
4、，当BCE=45时，求证：BM=ME 考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形3718684 分析：（1）证法一：如答图 1a 所示，延长 AB 交 CF 于点 D，证明 BM 为ADF 的中位线即可；证法二：如答图 1b 所示，延长 BM 交 EF 于 D，根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得 ABEF，再根据两直线平行，内错角相等可得BAM=DFM，根据中点定义可得 AM=MF，然后利用“角边角”证明ABM 和FDM 全等，再根据全等三角形对应边相等可得 AB=DF，然后求出 BE=DE，从而得到BDE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出E
5、BM=45，从而得到EBM=ECF，再根据同位角相等，两直线平行证明 MBCF 即可，（2）解法一：如答图 2a 所示，作辅助线，推出 BM、ME 是两条中位线；解法二：先求出 BE 的长，再根据全等三角形对应边相等可得 BM=DM，根据等腰三角形三线合一的性质可得 EMBD，求出BEM 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；（3）证法一：如答图 3a 所示，作辅助线，推出 BM、ME 是两条中位线：BM=DF，ME=AG；然后证明ACGDCF，得到 DF=AG，从而证明 BM=ME；证法二：如答图 3b 所示，延长 BM 交 CF 于 D，连接 BE、DE，利用同旁内角互补，两
6、直线平行求出 ABCF，再根据两直线平行，内错角相等求出BAM=DFM，根据中点定义可得 AM=MF，然后利用“角边角”证明ABM 和FDM 全等，再根据全等三角形对应边相等可得 AB=DF，BM=DM，再根据“边角边”证明BCE 和DFE 全等，根据全等三角形对应边相等可得 BE=DE，全等三角形对应角相等可得BEC=DEF，然后求出BED=CEF=90，再根据等腰直角三角形的性质证明即可 解答：（1）证法一：如答图 1a，延长 AB 交 CF 于点 D，则易知ABC 与BCD 均为等腰直角三角形，AB=BC=BD，点 B 为线段 AD 的中点，又点 M 为线段 AF 的中点，BM 为ADF
7、 的中位线，BMCF 证法二：如答图 1b，延长 BM 交 EF 于 D，ABC=CEF=90，ABCE，EFCE，ABEF，BAM=DFM，M 是 AF 的中点，AM=MF，在ABM 和FDM 中，ABMFDM（ASA），AB=DF，BE=CEBC，DE=EFDF，BE=DE，BDE 是等腰直角三角形，EBM=45，在等腰直角CEF 中，ECF=45，EBM=ECF，MBCF；（2）解法一：如答图 2a 所示，延长 AB 交 CF 于点 D，则易知BCD 与ABC 为等腰直角三角形，AB=BC=BD=a，AC=AD=a，点 B 为 AD 中点，又点 M 为 AF 中点，BM=DF 分别延长
8、FE 与 CA 交于点 G，则易知CEF 与CEG 均为等腰直角三角形，CE=EF=GE=2a，CG=CF=a，点 E 为 FG 中点，又点 M 为 AF 中点，ME=AG CG=CF=a，CA=CD=a，AG=DF=a，BM=ME=a=a 解法二：CB=a，CE=2a，BE=CECB=2aa=a，ABMFDM，BM=DM，又BED 是等腰直角三角形，BEM 是等腰直角三角形，BM=ME=BE=a；（3）证法一：如答图 3a，延长 AB 交 CE 于点 D，连接 DF，则易知ABC 与BCD 均为等腰直角三角形，AB=BC=BD，AC=CD，点 B 为 AD 中点，又点 M 为 AF 中点，B
9、M=DF 延长 FE 与 CB 交于点 G，连接 AG，则易知CEF 与CEG 均为等腰直角三角形，CE=EF=EG，CF=CG，点 E 为 FG 中点，又点 M 为 AF 中点，ME=AG 在ACG 与DCF 中，ACGDCF（SAS），DF=AG，BM=ME 证法二：如答图 3b，延长 BM 交 CF 于 D，连接 BE、DE，BCE=45，ACD=452+45=135 BAC+ACF=45+135=180，ABCF，BAM=DFM，M 是 AF 的中点，AM=FM，在ABM 和FDM 中，ABMFDM（ASA），AB=DF，BM=DM，AB=BC=DF，在BCE 和DFE 中，BCEDF
10、E（SAS），BE=DE，BEC=DEF，BED=BEC+CED=DEF+CED=CEF=90，BDE 是等腰直角三角形，又BM=DM，BM=ME=BD，故 BM=ME 点评：本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点 4、（2013湖州）一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在 RtABC 中，AB=BC，ABC=90，BOAC，于点 O，点 PD 分别在 AO 和 BC 上，PB=PD，DEAC 于点 E，求证：BPOPDE （1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可
11、用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程（2）特殊位置，证明结论 若 PB 平分ABO，其余条件不变求证：AP=CD（3）知识迁移，探索新知 若点 P 是一个动点，点 P 运动到 OC 的中点 P时，满足题中条件的点 D 也随之在直线 BC 上运动到点 D，请直接写出 CD与 AP的数量关系（不必写解答过程）考点：全等三角形的判定与性质 分析：（1）求出3=4，BOP=PED=90，根据 AAS 证BPOPDE 即可；（2）求出ABP=4，求出ABPCPD，即可得出答案；（3）设 OP=CP=x，求出 AP=3x，CD=x，即可得出答案 解答：（1）证明：PB=PD，2=PB
12、D，AB=BC，ABC=90，C=45，BOAC，1=45，1=C=45，3=PBO1，4=2C，3=4，BOAC，DEAC，BOP=PED=90，在BPO 和PDE 中 BPOPDE（AAS）；（2）证明：由（1）可得：3=4，BP 平分ABO，ABP=3，ABP=4，在ABP 和CPD 中 ABPCPD（AAS），AP=CD （3）解：CD与 AP的数量关系是 CD=AP 理由是：设 OP=PC=x，则 AO=OC=2x=BO，则 AP=2x+x=3x，由（2）知 BO=PE，PE=2x，CE=2xx=x，E=90，ECD=ACB=45，DE=x，由勾股定理得：CD=x，即 AP=3x，CD=x，CD与 AP的数量关系是 CD=AP 点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，等腰三角形性质等知识点的综合应用，主要考查学生的推理和计算能力
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