1、第六节对数与对数函数 考纲传真1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点.3.知道对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a0，且a1)1对数的概念如果abN(a0且a1)，那么b叫作以a为底N的对数，记作logaNb，其中a叫作对数的底数，N叫作真数2对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：alogaNN；logaabb(a0，且a1)(2)换底公式：logab(a，c均大于0且不等于1，b0)(
2、3)对数的运算性质：如果a0，且a1，M0，N0，那么：loga(MN)logaMlogaN；logaMnnlogaM(nR)；logalogaMlogaN.3对数函数的定义、图像与性质4.反函数指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们的图像关于直线yx对称1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)log2x22log2x.()(2)当x1时，logax0.()(3)函数ylg(x3)lg(x3)与ylg(x3)(x3)的定义域相同()(4)对数函数ylogax(a0且a1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，函数图像不在
3、第二、三象限()答案(1)(2)(3)(4)2已知a2，blog2，clog，则()AabcBacbCcba DcabD0a2201，blog2log210，cloglog1，cab.图2613已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，a1)的图像如图261，则下列结论成立的是()Aa1，c1Ba1,0c1C0a1，c1D0a1,0c1D由图像可知yloga(xc)的图像是由ylogax的图像向左平移c个单位得到的，其中0c1.再根据单调性可知0a1.4(教材改编)若loga1(a0，且a1)，则实数a的取值范围是()【导学号：66482059】A. B(1，)C.(1，) DC当0
4、a1时，logalogaa1，0a；当a1时，logalogaa1，a1.即实数a的取值范围是(1，)5(2017杭州二次质检)计算：2log510log5_，2log43_.【导学号：66482060】 22log510log5log52，因为log43log23log2，所以2log432log2.对数的运算(1)设2a5bm，且2，则m等于()A.B10C20D100(2)计算：100_.(1)A(2)20(1)2a5bm，alog2m，blog5m，logm2logm5logm102，m.(2)原式(lg 22lg 52)10010(lg 102)1021020.规律方法1.在对数运算
5、中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并2先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算3abNblogaN(a0，且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化变式训练1(1)(2017东城区综合练习(二)已知函数f (x)则f (2log23)的值为()A24 B16 C12 D8(2)(2015浙江高考)计算：log2_，2log23log43_.(1)A(2)3(1)32log234，f (2log23)f (3log23)23log238324，
6、故选A.(2)log2log2log221；2log23log432log232log4332log4332log23.对数函数的图像及应用(1)(2016河南焦作一模)若函数ya|x|(a0，且a1)的值域为y|y1，则函数yloga|x|的图像大致是()A BC D(2)(2017衡水调研)已知函数f (x)且关于x的方程f (x)xa0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是_.【导学号：66482061】(1)B(2)(1，)(1)若函数ya|x|(a0，且a1)的值域为y|y1，则a1，故函数yloga|x|的大致图像如图所示故选B.(2)如图，在同一坐标系中分别作出yf (x)与yx
7、a的图像，其中a表示直线在y轴上截距，由图可知，当a1时，直线yxa与ylog2x只有一个交点规律方法1.在识别函数图像时，要善于利用已知函数的性质、函数图像上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项2一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解变式训练2(2017西城区二模)如图262，点A，B在函数ylog2x2的图像上，点C在函数ylog2x的图像上，若ABC为等边三角形，且直线BCy轴，设点A的坐标为(m，n)，则m()A2 B3C. D图262D由题意知等边ABC的边长为2，则由点A的坐标(m，n)可得点B的坐标为(m，n1)又A，
8、B两点均在函数ylog2x2的图像上，故有解得m，故选D.对数函数的性质及应用角度1比较对数值的大小(2016全国卷)若ab0,0c1，则()Alogaclogbc BlogcalogcbCacbc DcacbB0c1，当ab1时，logaclogbc，A项错误；0c1，ylogcx在(0，)上递减，又ab0，logcalogcb，B项正确；0c1，函数yxc在(0，)上递增，又ab0，acbc，C项错误；0c1，ycx在(0，)上递减，又ab0，cacb，D项错误角度2解简单的对数不等式(2016浙江高考)已知a，b0且a1，b1，若logab1，则()【导学号：66482062】A(a1)
9、(b1)0C(b1)(ba)0D法一：logab1logaa，当a1时，ba1；当0a1时，0ba1.只有D正确法二：取a2，b3，排除A，B，C，故选D.角度3探究对数型函数的性质已知函数f (x)loga(3ax)，是否存在这样的实数a，使得函数f (x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由解假设存在满足条件的实数a.a0，且a1，u3ax在1,2上是关于x的减函数. 3分又f (x)loga(3ax)在1,2上是关于x的减函数，函数ylogau是关于u的增函数，a1，x1,2时，u最小值为32a，7分f (x)最大值为f (1)loga(
10、3a)，即10分故不存在这样的实数a，使得函数f (x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1. 12分规律方法利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的 思想与方法1对数值取正、负值的规律当a1且b1或0a1且0b1时，logab0；当a1且0b1或0a1且b1时，logab0.2利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决3比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性4多个对数函数图像比较底数大小的问题，可通过比较图像与直线y1交点的横坐标进行判定易错与防范1在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数ylogax的定义域应为(0，)对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0a1与a1两种情况讨论2在运算性质logaMlogaM中，要特别注意条件，在无M0的条件下应为logaMloga|M|(N*，且为偶数)3解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围