1、第三节函数的奇偶性与周期性 考纲传真1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性1奇函数、偶函数的概念图像关于原点对称的函数叫作奇函数图像关于y轴对称的函数叫作偶函数2奇(偶)函数的性质(1)对于函数f (x)，f (x)为奇函数f (x)f (x)；f (x)为偶函数f (x)f (x)(2)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性(3)如果奇函数yf (x)在原点有定义，则f (0)0.3函数的周期性(1)对于函数f (x)，如果存在
2、非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f (xT)f (x)，则f (x)为周期函数(2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期(3)若T是函数yf (x)的一个周期，则nT(nZ，且n0)也是函数yf (x)的一个周期1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点()(2)若函数yf (xa)是偶函数，则函数yf (x)关于直线xa对称()(3)若函数yf (xb)是奇函数，则函数yf (x)关于点(b,0)中心对称()(4)函数f (x)在定义域
3、上满足f (xa)f (x)，则f (x)是周期为2a(a0)的周期函数()答案(1)(2)(3)(4)2已知f (x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是()【导学号：66482035】ABCDB依题意b0，且2a(a1)，b0且a，则ab.3(2015广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()Ayxsin2x Byx2cosxCy2x Dyx2sinxDA项，定义域为R，f (x)xsin2xf (x)，为奇函数，故不符合题意；B项，定义域为R，f (x)x2cosxf (x)，为偶函数，故不符合题意；C项，定义域为R，f (x)2x2xf (x)，为偶函数
4、，故不符合题意；D项，定义域为R，f (x)x2sinx，f (x)x2sinx，因为f (x)f (x)，且f (x)f (x)，故为非奇非偶函数4(2016四川高考)若函数f (x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f (x)4x，则f f (2)_.2f (x)是周期为2的奇函数，f f f 42，f (2)f (0)0，f f (2)202.5(教材改编)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f (x)x(1x)，则x0时，f (x)_.x(1x)当x0时，则x0，f (x)(x)(1x)又f (x)为奇函数，f (x)f (x)(x)(1x)， f (x)x(1
5、x)函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性：(1)f (x)x32x；(2)f (x)(x1)；(3)f (x)解(1)定义域为R，关于原点对称，又f (x)(x)32(x)x32x(x32x)f (x)该函数为奇函数. 4分(2)由0可得函数的定义域为(1,1函数定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数. 8分(3)易知函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称，又当x0时，f (x)x2x，则当x0时，x0，故f (x)x2xf (x)；当x0时，f (x)x2x，则当x0时，x0，故f (x)x2xf (x)，故原函数是偶函数. 12分规律方法1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：2判断分段
6、函数的奇偶性应分段分别证明f (x)与f (x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性；也可以利用函数的图像进行判断变式训练1(1)(2014全国卷)设函数f (x)，g(x)的定义域都为R，且f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af (x)g(x)是偶函数B|f (x)|g(x)是奇函数Cf (x)|g(x)|是奇函数 D|f (x)g(x)|是奇函数(2)判断函数f (x)的奇偶性(1)CA：令h(x)f (x)g(x)，则h(x)f (x)g(x)f (x)g(x)h(x)，h(x)是奇函数，A错B：令h(x)|f (x)|g(x)，则h(
7、x)|f (x)|g(x)|f (x)|g(x)|f (x)|g(x)h(x)，h(x)是偶函数，B错C：令h(x)f (x)|g(x)|，则h(x)f (x)|g(x)|f (x)|g(x)|h(x)，h(x)是奇函数，C正确D：令h(x)|f (x)g(x)|，则h(x)|f (x)g(x)|f (x)g(x)|f (x)g(x)|h(x)，h(x)是偶函数，D错(2)由得x23，x，3分即函数f (x)的定义域为，从而f (x)0. 8分因此f (x)f (x)且f (x)f (x)，函数f (x)既是奇函数又是偶函数. 12分函数奇偶性的应用(1)(2015全国卷)若函数f (x)xl
8、n(x)为偶函数，则a_.(2)已知f (x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f (x)x24x，则f (x)_. (1)1(2)(1)f (x)为偶函数，f (x)f (x)0恒成立，xln(x)xln(x)0恒成立，xln a0恒成立，ln a0，即a1.(2)f (x)是定义在R上的奇函数，f (0)0.又当x0时，x0，f (x)x24x.又f (x)为奇函数，f (x)f (x)，即f (x)x24x(x0)，f (x)规律方法1.已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f (x)f (x)0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值
9、；2已知函数的奇偶性求函数值或解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出关于f (x)的方程(组)，从而可得f (x)的值或解析式变式训练2设f (x)为定义在R上的奇函数当x0时，f (x)2x2xb(b为常数)，则f (1)()A3B1C1D3A因为f (x)为定义在R上的奇函数，所以有f (0)2020b0，解得b1，所以当x0时，f (x)2x2x1，所以f (1)f (1)(21211)3.函数的周期性及其应用设定义在R上的函数f (x)满足f (x2)f (x)，且当x0,2)时，f (x)2xx2，则f (0)f (1)f (2)f (2
10、 017)_.【导学号：66482036】1 009f (x2)f (x)，函数f (x)的周期T2.又当x0,2)时，f (x)2xx2，f (0)0，f (1)1，f (0)f (1)1.f (0)f (1)f (2)f (3)f (4)f (5)f (2 016)f (2 017)1，f (0)f (1)f (2)f (2 017)1 009.迁移探究1若将本例中“f (x2)f (x)”改为“f (x1)f (x)”，则结论如何？解f (x1)f (x)，f (x2)f (x1)1f (x1)f (x). 5分故函数f (x)的周期为2. 8分由本例可知，f (0)f (1)f (2)
11、f (2 017)1 009. 12分迁移探究2若将本例中“f (x2)f (x)”改为“f (x1)”，则结论如何？解f (x1)，f (x2)f (x1)1f (x). 5分故函数f (x)的周期为2. 8分由本例可知，f (0)f (1)f (2)f (2 017)1 009. 12分规律方法1.判断函数的周期只需证明f (xT)f (x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质2函数周期性的三个常用结论：(1)若f (xa)f (x)，则T2a，(2)若f (xa)，则T2a，(3)若f (xa)，则T2a(a0)变式训练3(
12、2017长沙模拟(一)已知定义在R上的函数f (x)满足f (x1)f (x)，且f (x)则下列函数值为1的是()Af (2.5) Bf (f (2.5)Cf (f (1.5) Df (2)D由f (x1)f (x)知f (x2)f (x1)f (x)，于是f (x)是以2为周期的周期函数，从而f (2.5)f (0.5)1，f (f (2.5)f (1)f (1)1，f (f (1.5)f (f (0.5)f (1)1，f (2)f (0)1，故选D. 思想与方法1函数奇偶性的三个常用性质(1)若奇函数f (x)在x0处有定义，则f (0)0.(2)若f (x)为偶函数，则f (|x|)f
13、 (x)(3)设f (x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇2利用函数奇偶性可以解决以下问题(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图像，确定函数单调性3在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期”的应用易错与防范1判断函数的奇偶性，应首先判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2f (0)0既不是f (x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件应用时要注意函数的定义域并进行检验3判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不能用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性