1、第1课时 正弦函数、余弦函数的图象与性质第7章2021内容索引0102课前篇 自主预习课堂篇 探究学习课标阐释思维脉络1.能利用单位圆和三角函数的定义画y=sin x,y=cos x的图象.(数学抽象、直观想象)2.掌握“五点法”画正弦曲线与余弦曲线的步骤和方法,能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦图象.(直观想象)3.初步掌握正弦、余弦函数的基本性质,并理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.(数学运算、逻辑推理)课前篇 自主预习情境导入将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简易单摆.在漏斗下方放一块纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置,放
2、手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫作“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.知识点拨一、“五点”法作图及正弦函数、余弦函数的图象函数正弦函数y=sin x余弦函数y=cos x图象图象画法“五点法”关键五点(0,0),(,0),(2,0)(0,1),(,-1),(2,1)微判断(1)函数y=sin x与y=cos(+x)的图象完全相同.()(2)直线y=与函数y=sin x,x0,2的图象有两个交点.()答案(1)(2)微练习函数y=sin(-x),x0,2的简图是
3、()答案 B解析 y=sin(-x)=-sin x,故图象与y=sin x的图象关于x轴对称,故选B.二、正弦函数、余弦函数的性质函数正弦函数y=sin x余弦函数 y=cos x定义域 RR值域-1,1-1,1周期性 22单调性在每一个闭区间 2k-,2k+(kZ)上都是增函数,其值由-1增大到1;在每一个闭区间2k+,2k+(kZ)上都是减函数,其值由1减小到-1在每一个闭区间 2k-,2k(kZ)上都是增函数,其值由-1增大到1;在每一个闭区间2k,2k+(kZ)上都是减函数,其值由1减小到-1函数正弦函数y=sin x余弦函数 y=cos x最值当且仅当x=+2k(kZ)时,取得最大值
4、1;当且仅当x=-+2k(kZ)时,取得最小值-1当且仅当x=2k(kZ)时,取得最大值1;当且仅当x=2k+(kZ)时,取得最小值-1奇偶性 奇函数偶函数对称轴 x=k+,kZx=k,kZ对称中心(k,0),kZ,kZ名师点析(1)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点,即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值.(2)正弦曲线有无数个对称中心,它们为点(k,0)(kZ);也有无数条轴对称图形,其对称轴的方程为x=k+(kZ).(3)余弦曲线既是中心对称图形,又是轴对称图形.对称中心的坐标为(kZ),对称轴方程为x=k(kZ).微判断(1)函数y=sin x的图
5、象向右平移个单位得到函数y=cos x的图象.()(2)存在实数x,使得cos x=.()(3)函数y=sin x,x(0,)是奇函数.()(4)函数y=sin x的增区间恰好是y=sin(-x)的减区间.()答案(1)(2)(3)(4)微练习 1 答案 A 微练习 2函数y=2sin2x+2cos x-3的最大值是()A.-1B.1C.-D.-5答案 C 课堂篇 探究学习探究一用“五点法”作函数的图象例1用“五点法”作出下列函数的简图:(1)y=+sin x,x0,2;(2)y=1-cos x,x0,2.解(1)选用“五点法”画一个周期的图象,列表:描点画图,然后由周期性得整个图象.(2)选
6、用“五点法”画一个周期的图象,列表:描点画图,然后由周期性得出整个图象.反思感悟用“五点法”画函数y=Asin x+b(A0)(或y=Acos x+b(A0)在区间0,2上的简图的步骤(1)列表:(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来.变式训练1函数y=2-sin x,x0,2的简图是()答案 A 解析 列表:观察各图象发现A项符合.探究二三角函数的奇偶性例2判断下列函数的奇偶性.(2)f(x)=sin(cos x).(2)函数的定义域为R,且f(-x)=sincos(-x)=sin(cos x)=f(x),所以函数f(x)=sin(cos x)是偶函数.反思感悟利用定义判断函数奇偶性
7、的三个步骤若函数f(x)的定义域不关于原点对称,无论f(-x)与f(x)有何关系,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.变式训练2判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=|sin x|+cos x;(2)f(x)=cos(2-x)-x3sin x.解(1)函数的定义域为R,又f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin x|+cos x=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(2)函数的定义域为R,关于原点对称,因为f(x)=cos x-x3sin x,所以f(-x)=cos(-x)-(-x)3sin(-x)=cos x-x3sin x=f(x),所以函数f(x)为偶函数.探究三正弦函数
8、、余弦函数的单调性例3求下列函数的减区间:反思感悟求正弦、余弦函数的单调区间的策略(1)结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间.(2)在求形如y=Asin(x+)(A0,0)的函数的单调区间时,应采用“换元法”整体代换,将“x+”看作一个整体“z”,即通过求y=Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y=Acos(x+)(A0,0)的函数的单调区间同上.变式训练3已知函数f(x)=sin x(其中0)的图象过(,-1)点,且在区间上为增函数,则的值为.例4比较下列各组数的大小:(1)sin 250与sin 260;解(1)函数y=sin x在90到270上是减函数,且9025
9、0260sin 260.反思感悟比较三角函数值大小的方法(1)比较两个同名三角函数值的大小,先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角,再利用函数的单调性比较.(2)比较两个不同名的三角函数值的大小,一般应先化为同名的三角函数,后面步骤同上.变式训练4比较下列各组数的大小.(2)sin 194=sin(90+104)=cos 104,而0104160cos 160,即sin 194cos 160.探究四三角函数的最值例5求下列函数的最值.反思感悟与三角函数有关的函数的值域(或最值)的求解思路1.求形如y=asin x+b的函数的最值或值域时,可利用正弦函数的有界性(-1sin x1)求解.2
10、.对于形如y=Asin(x+)+k(A0)的函数,当定义域为R时,值域为-|A|+k,|A|+k;当定义域为某个给定的区间时,需确定x+的范围,再结合函数的单调性确定值域.3.求形如y=asin2x+bsin x+c,a0,xR的函数的值域或最值时,可以通过换元,令t=sin x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值,求解过程中要注意正弦函数的有界性.4.求形如y=,ac0的函数的值域,可以用分离常量法求解;也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y.素养形成利用数形结合思想解决解的个数问题典例 方程lg x=sin x的解的个数为()A.0B.1C.2D.3审题视
11、角该方程无法用求根公式求解,且只要求得到方程根的个数,而函数y=sin x和y=lg x是基本初等函数,其图象容易画出,因此可采用数形结合的方法:在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象,观察它们交点的个数,即得方程根的个数.解析 在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=lg x与y=sin x的图象,如图无交点.如图所示,由图知有三个交点,故方程有三个解.答案 D 方法点睛数形结合思想是一种重要的数学思想,在研究方程的根以及根的个数问题时,若方程中涉及的函数是基本初等函数,其图象容易作出,这时可以将方程的根转化为函数图象的交点,通过数形结合解决问题,使抽象的代数问题获得直观形象地解决.变式训练
12、(1)方程2x=cos x的解的个数为()A.0B.1C.2D.无穷多个(2)在区间(0,2)内,使sin xcos x成立的x的取值范围是()答案(1)D(2)C 解析(1)画出函数y=2x和y=cos x的图象,如图所示,由图知,两函数图象的交点有无数个,故选D.(2)在同一坐标系中画出函数y=sin x,x(0,2),y=cos x,x(0,2)的图象,当堂检测1.用“五点法”作函数y=cos 2x,xR的图象时,首先应描出的五个点的横坐标是()答案 B 答案 B 3.函数y=cos 2x在下列哪个区间上是减函数()答案 C 解析 若函数y=cos 2x是减函数,应有2k2x+2k,kZ,即kx +k,kZ,令k=0,可得0 x .答案 B 5.下列关系式中正确的是()A.sin 11cos 10sin 168B.sin 168sin 11cos 10C.sin 11sin 168cos 10D.sin 168cos 10sin 11答案 C解析 sin 168=sin(180-12)=sin 12,cos 10=sin(90-10)=sin 80.由正弦函数的单调性得sin 11sin 12sin 80,即sin 11sin 168cos 10.本 课 结 束
