1、 考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性一、选择题1.(2013福建高考文科T5)函数的图像大致是()【解题指南】f(x)的定义域为R,通过奇偶性,单调性进行筛选或带特殊点计算.【解析】选A. ,所以的图象关于y轴对称,又x(0,+)时, 是增函数.且过点(0,0).2.（2013辽宁高考理科11）【备注：（2013辽宁高考文科12）与此题干相同，选项顺序不同】已知函数设（表示中的较大值，表示中的较小值）记的最小值为, 的最大值为,则（ ）【解题指南】 搞清楚的确切含义。数形结合解决问题。【解析】选B.由解得而函数的图像的对称轴恰好分别为可见二者图像的交点正好在它们的顶点处。如图1所
2、示，结合可知的图像分别如图2，图3所示（图中实线部分）图1 可见，从而3. （2013湖南高考文科4）已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（1）+g（1）=2，f（1）+g（1）=4，则g（1）等于（ ）A.4 B.3 C.2 D.1【解题指南】结合函数的奇偶性定义即可。【解析】选B， 因为，代入条件等式再相加，得4.（2013北京高考文科3）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+ )上单调递减的是( )A.y= B.y=e-x C.y=-x2+1 D.y=lgx【解析】选C. 根据在区间(0,+)上单调递减排除D,根据奇偶性排除A,B. 5.（2013广东高考理科2）定义域为R的四个
3、函数中，奇函数的个数是（ ）A. 4B.3C. 2D.1【解题指南】四个函数的定义域关于原点对称，因此按照定义逐一验证奇偶性即可.【解析】选C. 是奇函数，是偶函数，是非奇非偶函数.6. （2013湖北高考文科8）x为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为( )A奇函数 B偶函数 C增函数 D 周期函数【解题指南】画出图象求解.【解析】选D. 由图象可知选D.7. （2013湖北高考文科10）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是( )A B C D【解题指南】利用导数求极值,转化为两个函数交点的问题.【解析】选B.令=lnx-2ax+1=0,则lnx=2ax-1有两解,即函数y=lnx与
4、y=2ax-1有两个交点,直线是曲线y=lnx的割线;y=2ax-1恒过点A(0,-1),设过A(0,-1)点的直线与y=lnx的切点为M,则k=,y-lnx0=,-1-lnx0=,所以x0=1,k=1,所以02a1,0a0时, f(x) =x2+ ,则f(-1)= ( )A.-2 B.0 C.1 D.2【解题指南】本题可利用函数为奇函数f(-1)=- f(1)，再利用当x0时, f(x) =x2+即可求得结果.【解析】选A. 因为函数f(x)为奇函数，所以f(-1)=- f(1)，又因为当x0时, f(x) =x2+，所以=2，f(-1)=- f(1)=-2. 9. （2013天津高考文科7
5、）已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数a满足, 则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【解题指南】根据对数的运算性质和函数的奇偶性，将条件化为，再结合单调性转化为求解.【解析】选C. 根据对数的运算性质和函数的奇偶性可知，因此可化为，又因为函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增，故，解得10.（2013重庆高考文科9）已知函数，则A. B. C. D.【解题指南】根据函数的奇偶性求解.【解析】选C.因为 所以所以.二、填空题11. （2013大纲版全国卷高考文科13），则 .【解题指南】根据函数周期为，得，从而将的函数值转化为求的值.【解析】因为，则，又，因
6、为时，所以.【答案】12.（2013北京高考文科13）函数f（x）=的值域为_.【解题指南】分别求出每段的值域，再取并集。【解析】当时，；当时，.因此，值域为。【答案】13. （2013四川高考理科14）已知是定义域为的偶函数，当时，那么，不等式的解集是_ 【解析】依据已知条件求出y=f(x),xR的解析式,再借助y=f(x)的图象求解.设x0.当x0时,f(x)=x2-4x,所以f(-x)=(-x)2-4(-x).因为f(x)是定义在R上的偶函数,得f(-x)=f(x),所以f(x)=x2+4x(x0),故由f(x)=5得，得x=5或x=-5.观察图象可知由f(x)5,得-5x5.所以由f(
7、x+2)5,得-5x+25,所以-7x3.故不等式f(x+2)5的解集是x|-7x3.【答案】x|-7x314.（2013上海高考理科T12）设为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，若对一切成立，则的取值范围为_【解析】，故；当时，即，又，故【答案】三、解答题15.（2013江西高考理科21）已知函数，a为常数且a0.（1）证明：函数f（x）的图像关于直线对称；（2）若x0满足f（f（x0）= x0，但f（x0）x0，则x0称为函数f（x）的二阶周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；（3）对于（2）中的x1，x2，和a，设x3为函数f（f（x）的最大值点，A（x1
8、，f（f（x1），B（x2，f（f（x2），C（x3，0），记ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性.【解题指南】（1）要证函数f（x）的图像关于直线对称，只需证明即可.（2）分、三种情况求的解析式，根据函数f（x）的二阶周期点的定义求解；（3）求x3，由（2）求出的x1，x2可得S（a），借助导数研究函数的单调性.【解析】（1）因为，即.所以函数的图像关于直线对称.(2)当时，有所以只有一个解x=0，又故0不是二阶周期点.当时，有所以x有解集，又当时，f（x）=x，故中的所有点都不是二阶周期点.当时，有所以x有四个解0，又，故只有是的二阶周期点.综上所述，所求a的范围为（3）由（2）得，因为为函数的最大值点，所以或.当时，因为，所以当时，单调递增，当时，单调递减；当时，求导得：，因为，从而有，所以当时，单调递增.