（人教通用）2014届数学（理）一轮复习知识点逐个击破专题讲座：等比数列 WORD版含解析.doc

1、【名师面对面】2014 届数学一轮知识点讲座：考点 23 等比数列（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用 一.考纲目标 等比数列的定义、通项公式、前 n 项和及等比数列的基本性质；等比数列的应用.二.知识梳理 1.等比数列的概念：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示（0q）2.等比中项：如果在与b 之间插入一个数G，使，G，b 成等比数列，那么G 叫做与b 的等比中项，也就是，如果是的等比中项，那么GbaG，即abG2 3.等比数列的判定方法：定义法：对于数列

2、 na，若)0(1qqaann，则数列 na是等比数列 等比中项：对于数列 na，若212 nnnaaa，则数列 na是等比数列 4等比数列的通项公式：如果等比数列 na的首项是1a，公比是，则等比数列的通项为11nnqaa或着n mnmaa q 5等比数列的前 n 项和：1)1(1)1(1qqqaSnn 2)1(11qqqaaSnn 3 当1q时，1naSn 当1q 时，前 n 项和必须具备形式(1),(0)nnSA qA 6等比数列的性质：等比数列任意两项间的关系：如果na 是等比数列的第项，ma 是等差数列的第项，且nm，公比为，则有mnmnqaa 对于等比数列 na，若vumn，则vu

3、mnaaaa 也就是：23121nnnaaaaaa 如图所示：nnaanaannaaaaaa112,12321 若数列 na是等比数列，nS 是其前 n 项的和，*Nk，那么只有当公比1q 且 k 为偶数时,kS，kkSS2，kkSS23 不成等比数列如下图所示：kkkkkSSSkkSSkkkaaaaaaaa3232k31221S321 三、考点逐个突破 1.等比数列的概念与通项公式 例 1.(1)已知等比数列na的公比为正数，且3a 9a=225a，2a=1，则1a=A.21 B.22 C.2 D.2 【答案】B【解析】设公比为,由已知得22841112a qa qa q,即22q,又因为等

4、比数列na的公比为正数，所以2q,故211222aaq,选 B（2）已知等比数列na满足0,1,2,nan，且25252(3)nnaan，则当1n 时，2123221logloglognaaa A.(21)nn B.2(1)n C.2n D.2(1)n 【解析】由25252(3)nnaan得nna222，0na，则nna2，3212loglogaa 2122)12(31lognna n，选 C.（3）设等比数列na 的前 n 项和为ns.若3614,1ssa，则4a=答案：3 解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由3614,1ssa得 q3=3 故 a4=a1q3=3.（4）等比数列na中

5、，已知142,16aa （I）求数列na的通项公式；（）若35,a a 分别为等差数列 nb的第 3 项和第 5 项，试求数列 nb的通项公式及前项和nS.解：（I）设na的公比为 由已知得3162q，解得2q （）由（I）得28a，532a，则38b，532b 设 nb的公差为d，则有1128432bdbd解得11612bd 从而16 12(1)1228nbnn 所以数列 nb的前项和2(16 1228)6222nnnSnn 2.等比数列的前 n 项和公式 例 2.(1)等比数列na 的公比0q,已知2a=1，216nnnaaa，则na 的前 4 项和 4S=【答案】152【解析】由216n

6、nnaaa得：116nnnqqq，即062 qq，0q，解得：q2，又2a=1，所以，112a，21)21(2144S152.(2)等比数列na 的前 n 项和为ns，已知1S,3S,2S 成等差数列 （1）求na 的公比 q；（2）求1a 3a 3，求ns 解：（）依题意有 )(2)(2111111qaqaaqaaa，由于01 a，故022 qq 又0q，从而21q （）由已知可得321211）（aa 故41 a 从而）（）（）（nnn211382112114S 3.等比数列的性质 例 3.（1）等比数列na中，各项均为正数，且610354841,4a aa aa a，求84aa 解：设等比

7、数列首项为1a，公比为 q，则 749)(441842732110216211421aaqqaqaqaqa 另法：2261035844141a aa aaa，4848428aaaa 将两式相加得248()41 849aa 又因为数列na中，各项均为正数，所以84aa 7.（2）在 n1 和1n之间插入 n 个正数，使这2n个数依次成等比数列，求所插入的 n 个数之积；解法 1：设插入的 n 个数为nxxx,21，且公比为 q 则,2,1,1),1(,1111nkqnxnnqqnnkknn 22)1(21221)1(11111nnnnnnnnnnnqnqnqnqnqnxxxT解法 2：设插入的

8、n 个数为nxxx,21，1,110nxnxn nnxxxxxxnnn112110 nnxxxT21 nnnnnnnxxxxxxT)1()()()(11212 2)1(nnnnT 说明：第一种解法利用等比数列的基本量qa,1，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁；第二种解法利用等比数列的性质，与“首末项等距”的两项积相等，这在解题中常用到；4.等比数列的判断与证明 例 4.等比数列na 的前 n 项和为nS，已知对任意的 nN ，点(,)nn S，均在函数(0 xybr b且1,bb r均为常数)的图像上.（1）求 r 的值；（1

9、1）当 b=2 时，记 22(log1)()nnbanN 证明：对任意的nN ，不等式12121111nnbbbnbbb成立 解:因为对任意的 nN,点(,)nn S，均在函数(0 xybr b且1,bb r均为常数的图像上.所以得nnSbr,当1n 时,11aSbr,当2n 时,1111()(1)nnnnnnnnaSSbrbrbbbb,又因为na 为等比数列,所以1r ,公比为b,1(1)nnabb （2）当 b=2 时，11(1)2nnnabb,1222(log1)2(log 21)2nnnban 则1212nnbnbn,所以12121113 5 7212 4 62nnbbbnbbbn 下面用数学归纳法证明不等式12121113 5 72112 4 62nnbbbnnbbbn成立.当1n 时,左边=32,右边=2,因为 322,所以不等式成立.假设当 nk时不等式成立,即12121113 5 72112 4 62kkbbbkkbbbk成立.则当1nk 时,左边=11212111113 5 721 232 4 6222kkkkbbbbkkbbbbkk 2223(23)4(1)4(1)111(1)1(1)1224(1)4(1)4(1)kkkkkkkkkkk 所以当1nk 时,不等式也成立.由、可得不等式恒成立.