1、2015-2016学年海南省海南中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1集合A=y|y=，B=x|x2x20，则AB=（）A2，+）B0，1C1，2D0，22如果散点图中的所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，R2是相关指数，则（）AR2=1BR2=0C0R21DR213已知a0，b0，则“ab1”是“a+b2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D即不充分也不必要条件4如果XB（1，p），则D（X）（）A有最大值B有最大值C有最小值D有最小值5如果XN（，2），设m=P（X=a）（aR），则（）Am=1Bm=0C0m1D0
2、m16在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则X的最大值是（）AMBnCminM，nDmaxM，n7已知随机变量X的分布列如下表，则E（2X+5）=（）X213P0.160.440.40A1.32B2.64C6.32D7.648在4次独立试验中，事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率是，则事件A 在一次试验中出现的概率是（）ABCD9口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出的球的最大号码，则E的值是（）A4B4.5C4.75D510如表是一个22列联表：则表中a，b的值分别为（）y1y2合计x1a2173x2222547合计b46120A9
3、4，72B52，50C52，74D74，5211已知离散型随机变量X的分布列如表：X1012Pabc若E（X）=0，D（X）=1，则a，b的值分别为（）A，B，C，D，12已知集合M是满足下列条件的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意xR，有f（x+T）=Tf（x）成立给出如下函数：f（x）=x；f（x）=2x；f（x）=；f（x）=x2；则属于集合M的函数个数为（）A1B2C3D4二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13具有线性相关的两个随机变量x，y可用线性回归模型y=bx+a+e表示，通常e是随机变量，称为随机误差，它的均值E（e）=_14已知函数f（x）=，则f
4、（x）的值域是_15已知函数f（x）=ax3+4，（a0，b0），则f（2）+f（2）=_16设p为非负实数，随机变量的分布列为：012Ppp则D（）的最大值为_三.解答题：（本大题共6个小题，共70分）17语文老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，某学生只能背诵其中的6篇，求：（ I）抽到他能背诵的课文的数量的分布列；（ II）他能及格的概率18已知正态分布密度函数为f（x）=，xR（I）判断f（x）的奇偶性并求出最大值；正态分布常用数据：P（X+）=0.6826P（2X+2）=0.9544P（3X+3）=0.9974（II）如果XN（3，1），求P（X0）的值19设甲、乙、丙三人进行围
5、棋比赛，每局两人参加，没有平局在一局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为比赛顺序为：首先由甲和乙进行第一局的比赛，再由获胜者与未参加比赛的选手进行第二局的比赛，依此类推，在比赛中，有选手获胜满两局就取得比赛的胜利，比赛结束（1）求只进行了三局比赛，比赛就结束的概率；（2）记从比赛开始到比赛结束所需比赛的局数为，求的概率分布列和数学期望E20海南省椰树集团引进德国净水设备的使用年限（年）和所需要的维修费用y（千元）的几组统计数据如表：x23456y2.23.85.56.57.0（）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于x的线性回归方程=x+；（）我们把中（）的线性回归方程记
6、作模型一，观察散点图发现该组数据也可以用函数模型=c1ln（c2x）拟合，记作模型二经计算模型二的相关指数R2=0.64，请说明R2=0.64这一数据在线性回归模型中的实际意义计算模型一中的R2的值（精确到0.01），通过数据说明，两种模型中哪种模型的拟合效果好参考公式和数值：用最小工乘法求线性回归方程系数公式=， =R2=1， =0.651，（22.2+33.8+45.5+56.5+67.0=112.3）21海南中学对高二学生进行心理障碍测试得到如下列联表：焦虑说谎懒惰总计女生5101530男生20105080总计252065110试说明在这三种心理障碍中哪一种与性别关系最大？参考数据：K2
7、=P（K2k）0.50.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.5357.87910.828请考生在下面三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲22如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2（ I）求AEF与CDF的周长比；（ II）如果AEF的面积等于6cm2，求CDF的面积选修4-4：坐标系与参数方程23O1和O2的极坐标方程分别为=4cos，=4sin（1）O1和O2的极
8、坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过O1和O2交点的直线的直角坐标方程选修4-5；不等式选讲24设函数f（x）=|2x+1|x4|（1）求不等式f（x）2的解集；（2）求函数f（x）的最小值2015-2016学年海南省海南中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1集合A=y|y=，B=x|x2x20，则AB=（）A2，+）B0，1C1，2D0，2【考点】交集及其运算【分析】求出A中y的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可【解答】解：由A中y=0，得到A=0，+），由B中不等式变形得：（x2）（x+
9、1）0，解得：1x2，即B=1，2，则AB=0，2，故选：D2如果散点图中的所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，R2是相关指数，则（）AR2=1BR2=0C0R21DR21【考点】相关系数【分析】根据残差与残差平方和以及相关指数的定义和散点之间的关系即可得出结论【解答】解：当散点图的所有点都在一条斜率为非0的直线上时，它的残差为0，残差的平方和为0，它的相关指数为1即R2=1，故选：A3已知a0，b0，则“ab1”是“a+b2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D即不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的
10、性质进行判断即可【解答】解：若a=3，b=，满足a+b2，但ab1不成立，a2+b22ab，（a+b）24ab，ab1，（a+b）24，a+b2，故a0，b0，则“ab1”是“a+b2”的充分不必要条件，故选：A4如果XB（1，p），则D（X）（）A有最大值B有最大值C有最小值D有最小值【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型【分析】根据随机变量符合二项分布，由二项分布的方差公式，列出等式，利用基本不等式即可求出答案【解答】解：随机变量X服从二项分布XB（1，p），D（X）=p（1p）=，当且仅当p=1p，即p=时，D（X）有最大值故选：B5如果XN（，2），设m=P（X=a）（aR），则（）
11、Am=1Bm=0C0m1D0m1【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】利用概率的意义，即可得出结论【解答】解：因为P（xa）=P（xa）+P（x=a），而根据连续性随机变量的性质又有，P（xa）=P（xa），所以P（x=a）=0所以m=0故选：B6在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则X的最大值是（）AMBnCminM，nDmaxM，n【考点】随机事件【分析】直接根据离散型随机变量的分布列的定义即可求出【解答】解：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则X的最大值是minM，n，故选：C7已知随机变量X的分布列如下表，则E（2X+5）=（）X
12、213P0.160.440.40A1.32B2.64C6.32D7.64【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】利用期望公式，先计算E（X），再计算E（2X+5）【解答】解：由题意，E（X）=20.16+10.44+30.40=1.32，E（2X+5）=2E（X）+5=2.64+5=7.64故选D8在4次独立试验中，事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率是，则事件A 在一次试验中出现的概率是（）ABCD【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率【分析】根据n次独立重复试验事件A恰好发生k次的概率公式P（x=k）=Cnkpk（1p）nk，“事件A至少发生1次的对立事件”为“在4次独
13、立试验中，事件A一次也没有发生”，解方程即可求得结果【解答】解事件A在一次试验中发生的概率为p，事件A在一次试验中不发生的概率为1p，事件A至少发生1次的概率是，它的对立事件是“在4次独立试验中，事件A一次也没有发生”由条件知C44（1p）4=1=，解得p=，故选A9口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出的球的最大号码，则E的值是（）A4B4.5C4.75D5【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率【分析】因为在编号为1，2，3，4，5的球中，同时取3只，可知取出的球的最大号码可以是3，4，5，进而可确定等于3，4，5时的所有可能数，利用古典概型的概率公
14、式求出相应的概率，从而求出期望【解答】解：由题意，的取值可以是3，4，5=3时，概率是=4时，概率是（最大的是4 其它两个从1、2、3里面随机取）=5时，概率是（最大的是5，其它两个从1、2、3、4里面随机取）期望E=故选B10如表是一个22列联表：则表中a，b的值分别为（）y1y2合计x1a2173x2222547合计b46120A94，72B52，50C52，74D74，52【考点】独立性检验【分析】由列联表中数据的关系求得【解答】解：a=7321=52，b=a+22=52+22=74故选C11已知离散型随机变量X的分布列如表：X1012Pabc若E（X）=0，D（X）=1，则a，b的值分
15、别为（）A，B，C，D，【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【分析】根据E（X）=0，D（X）=1，由离散型随机变量X的分布列的性质能求出结果【解答】解：E（X）=0，D（X）=1，由离散型随机变量X的分布列的性质知：，解得a=，b=，c=，故选：B12已知集合M是满足下列条件的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意xR，有f（x+T）=Tf（x）成立给出如下函数：f（x）=x；f（x）=2x；f（x）=；f（x）=x2；则属于集合M的函数个数为（）A1B2C3D4【考点】抽象函数及其应用【分析】根据条件定义分别验证有f（x+T）=Tf（x）是否恒成立即可【解答】解
16、：若f（x）=x，则f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx，x+T=Tx，不可能成立，不存在非零常数T，使f（x+T）=Tf（x）成立，则不属于集合M的函数；f（x）=2x；则f（x+T）=2x+T=2T2x，由f（x+T）=Tf（x）得2T2x=T2x，即2T=T，作出函数y=2x和y=x的图象，由图象知两个函数没有交点，即方程2T=T无解，不存在非零常数T，使f（x+T）=Tf（x）成立，则不属于集合M的函数；若f（x）=，则f（x+T）=（）x+T=（）T（）x，由f（x+T）=Tf（x）得（）T（）x=T（）x，即（）T=T，作出函数y=（）x和y=x的图象，由图象知两个函数有1个交点
17、，即方程（）T=T有一个解，存在非零常数T，使f（x+T）=Tf（x）成立，则属于集合M的函数；f（x）=x2；则f（x+T）=（x+T）2，由f（x+T）=Tf（x）得（x+T）2=Tx2，即x2+2xT+T2=Tx2，则方程x2+2xT+T2=Tx2，不可能恒成立，不存在非零常数T，使f（x+T）=Tf（x）成立，则不属于集合M的函数故选：A二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13具有线性相关的两个随机变量x，y可用线性回归模型y=bx+a+e表示，通常e是随机变量，称为随机误差，它的均值E（e）=0【考点】线性回归方程【分析】根据随机误差的意义，可得E（e）=0【解答】
18、解：由题意e为随机变量，e称为随机误差 根据随机误差的意义，可得E（e）=0故答案为：014已知函数f（x）=，则f（x）的值域是（，0）1，+）【考点】函数的值域【分析】配方即可求出2xx20，或02xx21，从而便可得出的范围，即得出f（x）的值域【解答】解：2xx2=（x1）2+1；2xx20，或02xx21；，或；f（x）的值域为（，0）1，+）故答案为：（，0）1，+）15已知函数f（x）=ax3+4，（a0，b0），则f（2）+f（2）=8【考点】函数奇偶性的性质；函数的值【分析】根据f（x）=ax3+4可构造g（x）=f（x）4=ax3+，则易得g（x）为奇函数再根据奇函数的性质
19、可得g（2）=g（2）就可求得f（2）+f（2）【解答】解：f（x）=ax3+4令g（x）=f（x）4=ax3+，则由于定义域为R关于原点对称且g（x）=（ax3+）=g（x）g（x）为奇函数g（2）=g（2）f（2）4=（f（2）4）f（2）+f（2）=8故答案为：816设p为非负实数，随机变量的分布列为：012Ppp则D（）的最大值为1【考点】离散型随机变量及其分布列【分析】根据所给的分布列的性质，即每一个概率都在0，1）之间，写出关于概率P的不等式组，解出P的范围，写出期望和方差的表示式，根据P的范围，求出最值【解答】解：由随机变量的分布列的性质，得：，解得0p，E=p+1，D=（0p1
20、）2+（1p1）2p+（2p1）2=p2p+1=（p+）2+当P=0时，D取最大值（D）max=1故答案为：1三.解答题：（本大题共6个小题，共70分）17语文老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，某学生只能背诵其中的6篇，求：（ I）抽到他能背诵的课文的数量的分布列；（ II）他能及格的概率【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（）随机抽出的3篇课文中该学生能背诵的篇数为X，则X是一个随机变量，它的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列（ II）该学生能及格表示他能背出2或3篇，由此能求出他能及格的概率【解答】解：（）随机抽出的3
21、篇课文中该学生能背诵的篇数为X，则X是一个随机变量，它的可能取值为0，1，2，3，且X服从超几何分布，P（X=0）=P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，X的分布列为：X0123P（ II）该学生能及格表示他能背出2或3篇，故他能及格的概率为P（X2）=P（X=2）+P（X=3）=18已知正态分布密度函数为f（x）=，xR（I）判断f（x）的奇偶性并求出最大值；正态分布常用数据：P（X+）=0.6826P（2X+2）=0.9544P（3X+3）=0.9974（II）如果XN（3，1），求P（X0）的值【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】（I）分类讨论，即可得出结论；（
22、II）如果XN（3，1），=3，=1，利用3原则可得结论【解答】解：（I）当=0时，f（x）为偶函数；当0时，f（x）为既不是奇函数也不是偶函数；当x=时，f（x）取得最大值为；（ II）19设甲、乙、丙三人进行围棋比赛，每局两人参加，没有平局在一局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为比赛顺序为：首先由甲和乙进行第一局的比赛，再由获胜者与未参加比赛的选手进行第二局的比赛，依此类推，在比赛中，有选手获胜满两局就取得比赛的胜利，比赛结束（1）求只进行了三局比赛，比赛就结束的概率；（2）记从比赛开始到比赛结束所需比赛的局数为，求的概率分布列和数学期望E【考点】离散型随机变量及其分布
23、列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）只进行三局比赛，即丙获胜比赛就结束，由互斥，独立事件的概率公式可得；（2）由题意可得=2，3，4，分别可得其概率，可得分布列，可得期望【解答】解：（1）由题意只进行三局比赛，即丙获胜比赛就结束，故可得所求的概率为（2）由题意可得=2，3，4，且，故的分布列为：234P故数学期望20海南省椰树集团引进德国净水设备的使用年限（年）和所需要的维修费用y（千元）的几组统计数据如表：x23456y2.23.85.56.57.0（）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于x的线性回归方程=x+；（）我们把中（）的线性回归方程记作模型一
24、，观察散点图发现该组数据也可以用函数模型=c1ln（c2x）拟合，记作模型二经计算模型二的相关指数R2=0.64，请说明R2=0.64这一数据在线性回归模型中的实际意义计算模型一中的R2的值（精确到0.01），通过数据说明，两种模型中哪种模型的拟合效果好参考公式和数值：用最小工乘法求线性回归方程系数公式=， =R2=1， =0.651，（22.2+33.8+45.5+56.5+67.0=112.3）【考点】线性回归方程【分析】（）先做出两组数据的平均数，把平均数和条件中所给的两组数据代入求解b的公式，做出b的值，再求出a的值，写出回归直线的方程（） R2=0.64表明“净水设备的使用年限解释了
25、64%的维修费用的变化”，或者说“净水设备的维修费用的差异有64%是由净水设备的使用年限引起的”R2取值越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好【解答】解：（），且，回归直线为（） R2=0.64表明“净水设备的使用年限解释了64%的维修费用的变化”，或者说“净水设备的维修费用的差异有64%是由净水设备的使用年限引起的”， =0.96R2取值越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好由于模型一中的相关指数R2=0.96大于0.64，说明模型一的拟合效果好21海南中学对高二学生进行心理障碍测试得到如下列联表：焦虑说谎懒惰总计女生5101530男生20105080总计25
26、2065110试说明在这三种心理障碍中哪一种与性别关系最大？参考数据：K2=P（K2k）0.50.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.5357.87910.828【考点】独立性检验的应用【分析】由表中数据，将表分解为焦虑，说谎和懒惰三个表格，分别求得观测值k12，k22，k32，同题目所提供观测值表进行检验，比较大小，即可判断在这三种心理障碍中说谎与性别关系最大【解答】解：由题设表格可得三个新的表格如下：关于是否得到焦虑的结论：焦虑不焦虑总计男生52530女生206080总计25
27、85110关于是否说谎的结论：说谎不说谎总计男生102030女生107080总计2090110关于是否懒惰的结论：懒惰不懒惰总计男生151530女生503080总计6545110对于三种心理障碍分别构造三个随机变量k1，k2，k3，由表中数据可得，有97.5%的把握认为说谎与性别有关，没有充分数据显示焦虑和懒惰与性别有关，这说明在这三种心理障碍中说谎与性别关系最大请考生在下面三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲22如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2（ I）求AEF与CDF的周
28、长比；（ II）如果AEF的面积等于6cm2，求CDF的面积【考点】相似三角形的性质【分析】（ I）根据平行四边形对边平行，得到两个三角形相似，根据两个三角形相似，得到AEF与CDF的周长比等于对应边长之比，做出两个三角形的边长之比，可得AEF与CDF的周长比；（ II）利用两个三角形的面积之比等于边长之比的平方，利用两个三角形的边长之比，根据AEF的面积等于6cm2，得到要求的三角形的面积【解答】解：（ I）平行四边形ABCD中，有AEFCDF，AEF与CDF的周长比等于对应边长之比，AE：EB=1：2，AE：CD=1：3，AEF与CDF的周长比为1：3；（ II）AEF与CDF的面积之比等
29、于对应边长之比的平方，AEF的面积等于6cm2，CDF的面积等于54cm2选修4-4：坐标系与参数方程23O1和O2的极坐标方程分别为=4cos，=4sin（1）O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过O1和O2交点的直线的直角坐标方程【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（1）先利用三角函数的差角公式展开曲线C的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得（2）先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可【解答】解：（1）x=cos，y=sin，ks*5u由=4cos得
30、2=4cos，x2+y2=4x，即x2+y24x=0为O1的直角坐标系方程同理y=x为O2的直角坐标方程（2）由解得即O1、O2交于点（0，0）和（2，2）过交点的直线的直角坐标方为y=x选修4-5；不等式选讲24设函数f（x）=|2x+1|x4|（1）求不等式f（x）2的解集；（2）求函数f（x）的最小值【考点】绝对值不等式的解法；函数单调性的性质【分析】根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x+1|x4|中的绝对值符号，求解不等式f（x）2，画出函数函数f（x）的图象，根据图象求得函数f（x）的最小值【解答】解：f（x）=（1）由，解得x7；，解得x4；，解得x4；综上可知不等式的解集为x|x7或x（2）如图可知f（x）min=2016年9月24日
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