1、【名师面对面】2014 届数学一轮知识点讲座：考点 50 几何证明选讲（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用 一.考纲目标 平行线截线段成比例定理和相似三角形的判定定理；圆的几何性质和直线与圆的位置关系.二.知识梳理 1平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 论 1：经过三角形一边的中心与另一边平行的直线必平分第三边 推论 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰 2平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线
2、段成比例 3相似三角形的判定(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似(3)判定定理 1：两角对应相等，两三角形相似(4)判定定理 2：两边对应对应成比例且夹角相等，两三角形相似(5)判定定理 3：三边对应成比例，两三角形相似 4直角三角形相似的判定 定理 1：如果两个直角三角形有一个锐角角对应相等，那么它们相似 定理 2：如果两个直角三角形的两条直角边边对应成比例，那么它们相似 定理 3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那
3、么这两个直角三角形相似 5相似三角形的性质(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比(2)相似三角形周长的比等于相似比(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方(4)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方 6直角三角形的射影定理 定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项 7圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 8圆心角定理 圆心角的度数等于它所对弧的度数 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 推论 2：半
4、圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径 9圆内接四边形的性质与判定(1)性质定理 1：圆的内接四边形的对角互补(2)性质定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内对角(3)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆(4)判定定理的推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆 10圆的切线的性质与判定(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径(2)推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点(3)推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心(4)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 11弦切角定理 弦
5、切角等于它所夹的弧所对的圆周角 12与圆有关的比例线段(1)相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如上图，弦 AB 与 CD 相交于 P 点，则 PAPBPCPD 文字叙述 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 图形表示 如图，O 的割线 PAB 与 PCD，则有：PAPBPCPD.(2)切割线定理 文字叙述 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 图形表示 如上图，O 的切线 PA，切点为 A，割线 PBC，则有 PA2PBPC.(3)切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的长度相等，圆心和
6、这一点的连线平分两条切线的夹角 三精选例题 例 1.如图 18，O 和O相交于 A，B 两点，过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C，D 两点，连结 DB 并延长交O 于点 E.证明：(1)ACBDADAB；(2)ACAE.图 18 证明：(1)由 AC 与O相切于 A，得CABADB，同理ACBDAB，所以ACBDAB.从而ACADABBD，即 ACBDADAB.(2)由 AD 与O 相切于 A，得AEDBAD，又ADEBDA，得EADABD.从而AEABADBD，即 AEBDADAB.结合(1)的结论，得 ACAE.例 2.如图 17，AB 是圆 O 的直径，D，E 为圆 O 上位于 AB
7、异侧的两点，连结 BD 并延长至点 C，使 BDDC，连结 AC，AE，DE.求证：EC.图 17 证明：如图，连结 OD，因为 BDDC，O 为 AB 的中点，所以 ODAC，于是ODBC.因为 OBOD，所以ODBB.于是BC.因为点 A，E，B，D 都在圆 O 上，且 D，E 为圆 O 上位于 AB 异侧的两点，所以E 和B 为同弧所对的圆周角，故EB.所以EC.例 3.如图 16 所示，点 D 在O 的弦 AB 上移动，AB4，连结 OD，过点 D 作 OD 的垂线交O于点 C，则 CD 的最大值为_ 图 16 解析 因为 CD OC2OD2，且 OC 为O 的半径，是定值，所以当 O
8、D 取最小值时，CD 取最大值显然当 ODAB 时，OD 取最小值，故此时 CD12AB2，即为所求的最大值 例 4.正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，AEBF37.动点 P 从 E 出发沿直线向 F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点 P 第一次碰到 E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为()A16 B14 C12 D10 解析 取单位长度为 7 的正方形，(1)直接作出图形可得到结果，如图所示，(2)建立坐标系，取正方形边长为 7 分单位，计算 7 次可得第 7 次时该点的横坐标与 E 点相同，根据对称性应选择 14 次
9、 例 5如图 13，ACB90，CDAB 于点 D，以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E，则()ACECBADDB BCECBADAB CADABCD2 DCEEBCD2 解析 本题考查了平面几何圆与三角形，特别是重点考查了射影定理等知识 对于 A，CECBCD2ADDB；对于 B，CECBCD2AC2ADAB；对于 C，CD2ADDBADAB；对于 D，ED2CEEBCD2.例 6.如图 13，过点 P 的直线与O 相交于 A，B 两点若 PA1，AB2，PO3，则O 的半径等于_ 图 13 解析 设圆的半径为 r，由圆的割线定理可得，PAPB(POr)(POr)，把 PA1，PB123
10、，PO3 代入求解得 39r2，r 6.例 7.如图 16，D，E 分别为ABC 边 AB，AC 的中点，直线 DE 交ABC 的外接圆于 F，G 两点若CFAB，证明：(1)CDBC；(2)BCDGBD.证明：(1)因为 D，E 分别为 AB，AC 的中点，所以 DEBC.又已知 CFAB，故四边形 BCFD 是平行四边形，所以 CFBDAD.而 CFAD，连结 AF，所以四边形 ADCF 是平行四边形，故 CDAF.因为 CFAB，所以 BCAF，故 CDBC.(2)因为 FGBC，故 GBCF.由(1)可知 BDCF，所以 GBBD.而DGBEFCDBC，故BCDGBD.例 8.如图 1
11、5，在圆 O 中，直径 AB 与弦 CD 垂直，垂足为 E，EFDB，垂足为 F，若 AB6，AE1，则 DFDB_.图 15 解析 本题考查了射影定理的知识，解题的突破口是找出直角三角形内的射影定理连接 AD，在 RtABD 中，DEAB，所以 DE2AEEB5，在 RtEBD 中，EFDB，所以 DE2DFDB5.例 9.如图 13 所示，已知 AB 和 AC 是圆的两条弦，过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D.过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E，与 AB 相交于点 F，AF3，FB1，EF32，则线段 CD 的长为_ 图 13 解析 本题考查选修 41 几何证明选
12、讲中圆的性质，考查推理论证及运算求解能力，中档题 由相交弦的性质可得|AF|FB|EF|FC|，|FC|AF|FB|EF|31322，又FCBD，ACADFCBDAFAB34，即 BD83，由切割定理得|BD|2|DA|DC|4|DC|2，解之得|DC|43.例 10.如图，D、E 分别是ABC 的边 AB、AC 上的点，DEBC 且ADDB2，那么ADE 与四边形DBCE 的面积比是()A.23 B.25 C.45 D.49 答案 C 解析 DEBC，ADEABC，SADESABCADAB2，ADDB2，ADAB23，SADE49SABC，S 四边形 DEBC59SABC，SADES四边形DBCE45，故选 C.例 11.如图所示，在ABCD 中，BC24，E、F 为 BD 的三等分点，则 BMDN()A6 B3 C2 D4 答案 A 解析 E、F 为 BD 的三等分点，四边形为平行四边形，M 为 BC 的中点，连 CF 交 AD 于 P，则 P 为 AD 的中点，由BCFDPF 及 M 为 BC 中点知，N为 DP 的中点，BMDN1266，故选 A.
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