1、2015-2016学年海南省海南中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.）1不等式x22x+15的解集为（）Ax|5x3Bx|x5Cx|x5或x3Dx|x32若数列an满足an+1=，且a1=1，则a17=（）A12B13C15D163在ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，若=，则ABC是（）A等边三角形B锐角三角形C任意三角形D等腰直角三角形4等差数列an的前n项和为Sn，若a2+a4+a6=12，则S7的值是（）A21B24C28D75已知abc且a+b+c=0，则下列不等式恒成立的是（）Aab
2、bcBacbcCabacDa|b|b|c6在等比数列an中Tn表示前n项的积，若T5=1，则一定有（）Aa1=1Ba3=1Ca4=1Da5=17已知xy0，则x+的最小值是（）A2B3C4D98设Sn是等比数列an的前n项和，则等于（）A B C D9已知等比数列an满足anan+1=4n，则其公比为（）A4B4C2D210ABC各角的对应边分别为a，b，c，满足+1，则角A的范围是（）A（0，B（0，C，）D，）11已知a，b为正实数，且，若a+bc0对于满足条件的a，b恒成立，则c的取值范围为（）A B（，3C（，6D12已知函数f（x）=m（x2m）（x+m+3），g（x）=2x2，若对
3、于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为负数，则实数m的取值范围是（）A（4，1）B（4，0）C（0，）D（4，）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13等比数列，前8项的和为14已知数列an的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn，则数列an的通项公式为15我舰在敌岛A处南偏西50的B处，且A，B距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10的方向以每小时10海里的速度航行若我舰要用2小时追上敌舰，则其速度大小为海里/小时16关于x的不等式ax2|x+1|+3a0的解集为（，+），则实数a的取值范围是三.解答题（本大题共6个小题，共70分）17在ABC中，角A、B，
4、C所对的边为a，b，c，若（1）求角B的值；（2）求ABC的面积18在数列an中，（）设，证明：数列bn是等差数列；（）求数列的前n项和Sn19在ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2bcosC=2ac（1）求角B；（2）若ABC的面积S=，a+c=4，求b的值20阿海准备购买“海马”牌一辆小汽车，其中购车费用12.8万元，每年的保险费、汽油费约为0.95万元，年维修、保养费第一年是0.1万元，以后逐年递增0.1万元请你帮阿海计算一下这种汽车使用多少年，它的年平均费用最少？21已知f（x）=|ax1|（aR），不等式f（x）5的解集为x|x3或x2（1）求a的值；（2）解不
5、等式f（x）f（）222设Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，a5=9（1）求数列an的通项公式；（2）证明： +（nN*）2015-2016学年海南省海南中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.）1不等式x22x+15的解集为（）Ax|5x3Bx|x5Cx|x5或x3Dx|x3【考点】一元二次不等式的解法【分析】把不等式化为（x+5）（x3）0，根据不等式对应方程的实数根为5和3，写出解集即可【解答】解：不等式x22x+15可化为（x+5）（x3）0，
6、且不等式对应方程的两个实数根为5和3，所以该不等式的解集为x|5x3故选：A2若数列an满足an+1=，且a1=1，则a17=（）A12B13C15D16【考点】数列递推式【分析】an+1=，可得an+1an=，利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：an+1=，且a1=1，an+1an=，数列an是等差数列，公差为，则a17=1+16=13故选：B3在ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，若=，则ABC是（）A等边三角形B锐角三角形C任意三角形D等腰直角三角形【考点】正弦定理【分析】根据正弦定理及条件即可得出sinB=cosB，sinC=cosC，于是B=C=，A=【解答】解：由正弦
7、定理得：，又=，sinB=cosB，sinC=cosC，B=C=，A=ABC是等腰直角三角形故选：D4等差数列an的前n项和为Sn，若a2+a4+a6=12，则S7的值是（）A21B24C28D7【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和【分析】根据等差数列的性质由a2+a4+a6=12得到a4=4，然后根据等差数列的前n项和公式，即可得到结论【解答】解：a2+a4+a6=12，a2+a4+a6=12=3a4=12，即a4=4，则S7=，故选：C5已知abc且a+b+c=0，则下列不等式恒成立的是（）AabbcBacbcCabacDa|b|b|c【考点】不等关系与不等式【分析】abc且a+b+
8、c=0，可得a0，c0再利用不等式的基本性质即可得出【解答】解：abc且a+b+c=0，a0，c0abac故选：C6在等比数列an中Tn表示前n项的积，若T5=1，则一定有（）Aa1=1Ba3=1Ca4=1Da5=1【考点】等比数列的性质【分析】由题意知T5=（a1q2）5=1，由此可知a1q2=1，所以一定有a3=1【解答】解：T5=a1a1qa1q2a1q3a1q4=（a1q2）5=1，a1q2=1，a3=1故选B7已知xy0，则x+的最小值是（）A2B3C4D9【考点】基本不等式【分析】由x+=xy+y，利用基本不等式的性质求解即可【解答】解：xy0，x+=xy+y3=3，当且仅当x=2
9、，y=1时取等号，故x+的最小值是3，故选：B8设Sn是等比数列an的前n项和，则等于（）A B C D【考点】等比数列的前n项和；等比数列的性质【分析】根据所给的前三项之和除以前六项之和，利用前n项和公式表示出来，约分整理出公比的结果，把要求的式子也做这种整理，把前面求出的公比代入，得到结果【解答】解：s6=3s33=1+q3=3，=故选B9已知等比数列an满足anan+1=4n，则其公比为（）A4B4C2D2【考点】等比数列的通项公式【分析】由已知得q2=4， =4，由此能求出公比【解答】解：等比数列an满足anan+1=4n，q2=4，=4，q0，q=2故选：D10ABC各角的对应边分别
10、为a，b，c，满足+1，则角A的范围是（）A（0，B（0，C，）D，）【考点】余弦定理【分析】已知不等式去分母后，整理得到关系式，两边除以2bc，利用余弦定理变形求出cosA的范围，即可确定出A的范围【解答】解：由+1得：b（a+b）+c（a+c）（a+c）（a+b），化简得：b2+c2a2bc，同除以2bc得，即cosA，A为三角形内角，0A，故选：A11已知a，b为正实数，且，若a+bc0对于满足条件的a，b恒成立，则c的取值范围为（）A B（，3C（，6D【考点】基本不等式【分析】a+b=（a+b）（）=（3+），利用基本不等式可求出a+b的最小值（a+b）min，要使a+bc0对于满足
11、条件的a，b恒成立，只要值（a+b）minc0即可【解答】解：a，b都是正实数，且a，b满足，则a+b=（a+b）（）=（3+）（3+2）=+，当且仅当即b=a时，等号成立联立解得a=，b=，故a+b的最小值为+，要使a+bc0恒成立，只要+c0，即c+，故c的取值范围为（，+故选A12已知函数f（x）=m（x2m）（x+m+3），g（x）=2x2，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为负数，则实数m的取值范围是（）A（4，1）B（4，0）C（0，）D（4，）【考点】函数的零点与方程根的关系【分析】f（x）与g（x）至少有一个为负数，则f（x）=m（x2m）（x+m+3）0在x1时恒
12、成立，建立关于m的不等式组可得m的范围【解答】解：g（x）=2x2，当x1时，g（x）0，又xR，f（x）与g（x）至少有一个为负数，即f（x）0或g（x）0f（x）=m（x2m）（x+m+3）0在x1时恒成立所以二次函数图象开口只能向下，且与x轴交点都在（1，0）的左侧，即，解得4m0；故选B二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13等比数列，前8项的和为【考点】等比数列的前n项和【分析】利用等比数列的前n项和公式求解【解答】解：等比数列，前8项的和：S8=故答案为：14已知数列an的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn，则数列an的通项公式为【考点】数列的概念及简单
13、表示法【分析】先看n2根据题设条件可知an=2Sn1，两式想减整理得an+1=3an，判断出此时数列an为等比数列，a2=2a1=2，公比为3，求得n2时的通项公式，最后综合可得答案【解答】解：当n2时，an=2Sn1，an+1an=2Sn2Sn1=2an，即an+1=3an，数列an为等比数列，a2=2a1=2，公比为3，an=23n2，当n=1时，a1=1数列an的通项公式为故答案为：15我舰在敌岛A处南偏西50的B处，且A，B距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10的方向以每小时10海里的速度航行若我舰要用2小时追上敌舰，则其速度大小为14海里/小时【考点】解三角形的实际应用【分析】
14、由题意推出BAC=120，利用余弦定理求出BC=28，然后推出我舰的速度【解答】解：依题意，BAC=120，AB=12，AC=102=20，在ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC22ABACcosBAC=122+20221220cos120=784解得BC=28所以渔船甲的速度为=14海里/小时故我舰要用2小时追上敌舰速度大小为：14海里/小时故答案为：1416关于x的不等式ax2|x+1|+3a0的解集为（，+），则实数a的取值范围是，+）【考点】其他不等式的解法【分析】将不等式恒成立进行参数分类得到a，利用换元法将不等式转化为基本不等式的性质，根据基本不等式的性质求出的最大值即可得
15、到结论【解答】解：不等式ax2|x+1|+3a0，则a（x2+3）|x+1|，即a，设t=x+1，则x=t1，则不等式a等价为a=0即a0，设f（t）=，当|t|=0，即x=1时，不等式等价为a+3a=4a0，此时满足条件，当t0，f（t）=，当且仅当t=，即t=2，即x=1时取等号当t0，f（t）=，当且仅当t=，t=2，即x=3时取等号当x=1，即t=2时，fmax（t）=，要使a恒成立，则a，方法2：由不等式ax2|x+1|+3a0，则a（x2+3）|x+1|，要使不等式的解集是（，+），则a0，作出y=a（x2+3）和y=|x+1|的图象，由图象知只要当x1时，直线y|x+1|=x+1
16、与y=a（x2+3）相切或相离即可，此时不等式ax2|x+1|+3a0等价为不等式ax2x1+3a0，对应的判别式=14a（3a1）0，即12a2+4a+10，即12a24a10，（2a1）（6a+1）0，解得a或a（舍），故答案为：，+）三.解答题（本大题共6个小题，共70分）17在ABC中，角A、B，C所对的边为a，b，c，若（1）求角B的值；（2）求ABC的面积【考点】正弦定理【分析】（1）由A的度数求出sinA的值，再由a与b的长，利用正弦定理求出sinB的值，由a小于b，得到A小于B，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由A与B的度数，利用三角形的内角和定理求出C的度数，利
17、用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积【解答】解：（1）a=2，b=6，A=30，由正弦定理=得：sinB=，ab，AB，B=60或B=120；（2）当B=60时，C=1803060=90，SABC=ab=26=6；当B=120时，C=18030120=30，SABC=absinC=26=318在数列an中，（）设，证明：数列bn是等差数列；（）求数列的前n项和Sn【考点】数列的求和；等差关系的确定【分析】（）依题意可求得bn+1=bn+1，由等差数列的定义即可得证数列bn是等差数列；（）可求得=3n1，利用等比数列的求和公式即可求得数列的前n项和Sn【解答】解：（）由已知an+1=3a
18、n+3n得：bn+1=+1=bn+1，又b1=a1=1，因此bn是首项为1，公差为1的等差数列（）由（1）得=n，=3n1，Sn=1+31+32+3n1=19在ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2bcosC=2ac（1）求角B；（2）若ABC的面积S=，a+c=4，求b的值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式变形，根据sinC不为0求出cosB的值，即可确定出B的度数；（2）利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积与sinB的值代入求出ac的值，利用余弦定理列出关系式，将cosB的值代入并利用完全平方公式
19、变形，把a+c与ac的值代入即可求出b的值【解答】解：（1）根据正弦定理化简2bcosC=2ac，得：2sinBcosC=2sinAsinC，即2sinBcosC=2sin（B+C）sinC，整理得2sinCcosB=sinC，sinC0，cosB=，则B=；（2）ABC的面积S=，sinB=，S=acsinB=，即ac=，ac=3，a+c=4，cosB=，由余弦定理得：b2=a2+c22accosB=a2+c2ac=（a+c）23ac=169=7，则b=20阿海准备购买“海马”牌一辆小汽车，其中购车费用12.8万元，每年的保险费、汽油费约为0.95万元，年维修、保养费第一年是0.1万元，以后
20、逐年递增0.1万元请你帮阿海计算一下这种汽车使用多少年，它的年平均费用最少？【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】由题意可得每年维修、保养费依次构成以0.1万元为首项，0.1万元为公差的等差数列，运用等差数列的求和公式，设汽车的年平均费用为y万元，则有y=1+0.05x（x0），再由基本不等式即可得到所求最小值，及等号成立的条件【解答】解：依题意知汽车每年维修、保养费依次构成以0.1万元为首项，0.1万元为公差的等差数列因此汽车使用x年总的维修、保养费用为=0.05x（x+1）万元，设汽车的年平均费用为y万元，则有y=1+0.05x（x0），由x0，可得+0.05x2=1.6，当且仅当，
21、即x=16时等号成立则y2.6，当x=16时，取得最小值2.6答：这种汽车使用16年时，它的年平均费用最少21已知f（x）=|ax1|（aR），不等式f（x）5的解集为x|x3或x2（1）求a的值；（2）解不等式f（x）f（）2【考点】其他不等式的解法【分析】（1）讨论a=0，a0，a0，由题意可得3，2为|ax1|=5的两根，运用绝对值不等式的解法，即可得到a=2：（2）运用绝对值的含义，讨论x的范围可得或或，解不等式即可得到所求解集【解答】解：（1）由|ax1|5，得到ax6或ax4，当a=0时，不等式无解当a0时，或由题意可得3，2为|ax1|=5的两根，则，解得a=2当a0时，或故，此
22、时a无解综上所述，a=2（2）f（x）=|2x1|，f（x）f（）2，即为：|2x+1|x+1|2或或，即2x1或或故原不等式的解集为x|2x222设Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，a5=9（1）求数列an的通项公式；（2）证明： +（nN*）【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】（1）由等比中项可知及等差数列通项公式，即可求得an的首项和公差，即可写出数列an的通项公式；（2）根据等差数列的前n项和公式，当n=1，显然成立，当n2，采用放缩法及裂项法即可证明+=【解答】解：（1）由题意知设an的公差为d，则，解得：an=1+2（n1）=2n1，故数列an的通项公式是an=2n1（2）证明：由（1）知当n=1时，左边=，故原不等式显然成立当n2时，因为，=，=，=，即综上所述，2016年7月20日
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