1、河南省豫北重点中学2016届高三下学期第二次联考数学（文）试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则（ ） A B C D【答案】C考点：集合交集.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.12.若复数，则的虚部为（ ）
2、A-4 B C4 D【答案】D【解析】试题分析：，虚部为.考点：复数运算.3.已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A10 B12 C14 D16【答案】C【解析】试题分析：，考点：等差数列的基本概念.4.下列命题中正确的是（ ）A若，则；B命题：“”的否定是“”C直线与垂直的充要条件为；D“若，则或”的逆否命题为“若或，则”【答案】C【解析】试题分析：C两直线垂直的充要条件是，故C正确.考点：命题与充要条件.5.已知双曲线的一个焦点与圆的圆心重合，且其渐近线的方程为，则该双曲线的标准方程为（ ）A B C D【答案】B考点：双曲线渐近线.6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A8
3、B9 C10 D11【答案】C【解析】试题分析：判断为是，循环，判断为是，循环，判断为是，循环，判断为否，退出循环，输出.考点：算法与程序框图.1117.某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将他们随机编号为1，2，800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18，抽到的40人中，编号落在区间的人做试卷，编号落在的人做试卷，其余的人做试卷，则做试卷的人数为（ ）A10 B12 C18 D28【答案】B考点：系统抽样.8.设实数满足约束条件，则的最小值为（ ）A-5 B-8 C5 D8【答案】A【解析】试题分析：画出可行域如下图
4、所示，由图可知目标函数在点处取得最小值为.考点：线性规划.9.九章算术“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（ ）A升 B升 C升 D1升【答案】A考点：等差数列的基本概念.110.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D【答案】A1111【解析】试题分析：由三视图可知，从左往右为半个圆锥，一个圆柱，一个半圆，故体积为.考点：三视图.11.已知函数的图象的相邻两对称轴间的距离为，则当时，的最大值和单调区间分别为（ ）A1， B1， C， D，【答案】D考点：三角函数图象与性质.【思路
5、点晴】函数的图象的相邻两对称轴间的距离为，也就是半个周期为，周期为，由此求得.的增区间的求法就是代入，解出，令可知增区间为，同时可求得减区间为，故当时，取得最大值为.12.已知函数是上的可导函数，当时，有，则函数的零点个数是（ ）A0 B1 C2 D3【答案】B【解析】试题分析：令.，即当时，为增函数，当时，为减函数，函数在区间上为增函数，故在区间上有一个交点.即的零点个数是.考点：1.函数与导数；2.零点.【思路点晴】零点问题一种解法是变为两个函数图象的交点，如本题中的的零点，可以转化为，也就是左右两个函数图象的交点个数，函数在区间上为增函数，通过已知条件分析,即当时，为增函数，当时，为减函
6、数，由此判断这两个函数在区间上有一个交点.第卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13.已知，则_.【答案】考点：三角恒等变换.11114.已知平面向量满足，则_.【答案】【解析】试题分析：由于，根据向量运算的几何意义，知围成边长为的等边三角形.如下图所示，的几何意义就是，而三角形为直角三角形，故.考点：向量运算.15.已知数列满足，则_.【答案】考点：递推数列.16.已知是周期为2的奇函数，当时，则的值为_.【答案】【解析】试题分析：.考点：函数的周期性与奇偶性.【思路点晴】本题的主要思路就是将要求的中的转换到区间内，因为已知条件是当时，.由于是周期为的周期
7、函数，故也是周期为的周期函数，所以就有，这样就变成了的形式，在根据是奇函数，有即可就得结果.1三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在中，角的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.试题解析：（1）由正弦定理可得，,从而可得，又为三角形的内角，所以，于是，又为三角形内角，因此，.考点：解三角形.18.（本小题满分12分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中随机抽取100名后按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如
8、图所示.（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？111.Com（2）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.【答案】（1）分别为；（2）.【解析】试题分析：（1）组共有人，抽取个，比例为，故应从第组中分别抽取人，人，人；（2）记第组的名志愿者为，第组的名志愿者为，用列举法求得基本事件总数为种，符合题意的有种，故概率为.试题解析：（1）第3组的人数为，第4组的人数为，第5组的人数为，因为第3，4，5组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在6
9、0名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为第3组：；第4组：；第5组：.所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人.考点： 1.分层抽样；2.概率.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为梯形，.（1）试在棱上确定一点，使得平面，并求出此时的值；（2）求证：平面.【答案】（1）；（2）证明见解析.试题解析：（1）连接交于点，在平面中作交于,因为平面，平面，所以平面,因为，所以，因为，所以，此时，.（2）取的中点，连结，则为正方形.连接交于点，连接，因为，,所以和都是等边三角形，所以，又因为，所以，得，同理，所以平面，所以,因为，,所以，得，所以，平面.1考点：立体几何证明
10、平行与垂直.20.（本小题满分12分）椭圆的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为.（1）若一条直径的斜率为，求该直径的共轭直径所在的直线方程；（2）若椭圆的两条共轭直径为和，它们的斜率分别为，证明：四边形的面积为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.（2）椭圆的两条共轭直径为和，它们的斜率分别为，四边形显然为平行四边形，设与平行的弦的端点坐标分别为，则，而，故，由得的坐标分别为，故，同理的坐标分别为，设点到直线的距离为，四边形的面积为,所以，则，为定值.111考点：直线与圆锥曲线位置关系.【方法点晴】涉及直线与椭圆
11、的基本题型有：（1）位置关系的判断；（2）弦长、弦中点问题；（3）轨迹问题；（4）定值、最值及参数范围问题；（5）存在性问题常用思想方法和技巧有：（1）数形结合思想；（2）设而不求；（3）坐标法；（4）根与系数关系. 研究直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往易忽视直线的斜率不存在的情况而导致失解点差法，设而不求是一个很经典的方法.121.（本小题满分12分）已知.（1）若，判断是否存在，使得，并说明理由；（2）设，是否存在实数，当，（，为自然常数）时，函数的最小值为3.【答案】（1）不存在，理由见解析；（2）存在，且.试题解析：（1）不存在，使得；时，定义域为10111极小值可以看出，
12、当时，函数有极小值，此极小值也是最小值，故不存在，使得.（2）因为，所以假设存在实数，使有最小值3，当时，所以在上单调递减，（舍去），当时，考点：函数导数与不等式.【方法点晴】导数的基本问题就是求单调区间、极值和最值.本题第一问若，判断是否存在，使得，我们可以转化为求函数的单调区间，进而求得函数的极值和最值，当时，函数有极小值，此极小值也是最小值，故不存在，使得.本题第二问，要使函数的最小值为，我们可以利用导数这个工具，求得的单调区间，这里需要对进行分类讨论，这属于轴动区间定的题目.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满
13、分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，在中，是的角平分线，的外接圆交线段于点，.（1）求证：；（2）当时，求的长.【答案】（1）证明见解析；（2）.试题解析：（1）证明：因为四边形为圆内接四边形，所以,又，所以，则,在圆内接四边形中，是的平分线，所以，,而，所以，即.（2）解：由（1）得，而，所以，根据割线定理得，所以，,111.Com在圆内接四边形中，由于，所以，,在等腰梯形中，易求得.考点：几何证明选讲.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程1111已知曲线的参数方程为（为参数），当时，曲线上对应的点为，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
14、.（1）求证：曲线的极坐标方程为；（2）设曲线与曲线的公共点为，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.试题解析：（1）证明：因为曲线的参数方程为（为参数），所以曲线的直角坐标方程为.所以曲线的极坐标方程为.1111（2）解：当时，由（1）知，曲线是经过的直线，设它的倾斜角为，则，所以，曲线的参数方程为（为参数），因为，所以，所以曲线的直角坐标方程为，将代入，得,所以.考点：坐标系与参数方程.124.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解关于的不等式；（2）设，试比较与的大小.111【答案】（1）；（2）.试题解析：（1）所以或，或.所以不等式的解集为.（2）由（1）易知，所以，由于，因为，所以，即，所以.考点：不等式选讲.