1、3.2 平面向量基本定理一、教材分析本节内容是北师大版高中数学必修4第二章第三节第1课时。学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，即“数”的运算处理“形”的问题完美结合，使向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用。二、学情分析学生此前已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加减法、数乘运算及共线定理等，另外，学生对向量的物理背景也有一个初步的认识。三、教学方法与教学手段本节课为新授课。根据班级的实际情况，在教学中积极践行新课程理念，倡导
2、合作学习；注重学生动手操作能力与自主探究能力；在教学活动中始终以教师为主线、学生为主体，让学生经历动手操作、合作交流、观察发现、归纳总结等一系列的学习活动。教学方法是综合法，教学手段采用多媒体与学案结合的方式。四、教学三维目标（一）知识与技能1.了解平面向量基本定理及其意义，会选择基底来表示平面中的任一向量。2.能用平面向量基本定理进行简单的应用。（二）过程与方法1.通过定理的合作探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培养其观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力；2.通过定理的应用，增强学生向量的应用意识，让学生进一步体会向量使处理几何问题强有力的工具之一。（三）情感态度与价值观1.
3、用生活实例激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神，发展学生的数学应用意识；2.经历定理的产生过程，让学生体验由特殊到一半的数学思想方法，在探究活动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。四、教学重难点教学重点：平面向量基本定理的探究过程和利用平面向量基本定理进行向量的分解。教学难点：平面向量的分解及对这种分解唯一性的理解。五、教学过程：（一）情境导入1.情境一：我们在小的时候都玩过“溜滑梯”，滑梯越高、滑行速度越快，越舒服，那感觉就像“风一样”.2.情境二：播放SpaceX的猎鹰重型火箭发射飞行动画火箭在飞行过程中的某一时刻速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个速度。在力的分解的平行
4、四边形过程中，我们看到一个力可以分解为两个不共线方向的力之和。那么平面内的任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢？（二）新课讲授1.问题导引（时间5分钟）问题1：定平面内任意两个向量e1,e2请做出3e1+2e2和2e1-e2（学生利用网格纸作图，之后板演，教师点评并在多媒体上展示详细解答。）e1e2【设计意图】利用向量的加减法和数乘向量，利用平行四边形法则可以表示某个向量，为向量的线性表示打下基础。问题2：以向量a为平行四边形的一条对角线，作平行四边形，这样的四边形唯一吗？【设计意图】通过平行四边形说明同一个向量表示的不唯一性，即多种表示方法。问题3：已知向量e1,e2,仍以向量a为平行
5、四边形的对角线，且相邻所在直线平行于e1，e2，这样的平行四边形唯一吗？【设计意图】在基底确定的情况下，由向量共线定理说明表示的唯一性，即平行四边形的确定性。2.动态展示 通过动态的分解过程，思考：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，那么如何用表示a？【设计意图】通过三个问题的设置解决，引申到平面中任一向量a如何用基底来表示，在“观察、分析、归纳、概括”的教学活动中培养学生的抽象思维，形成定理的直观感受。3.合作交流，构建概念尝试将上述图形语言转化为文字语言：如果e1、e2是同 一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、
6、2，使得a=1e1+1e2.我们称之为：平面向量基本定理。其中把不共线的向量e1、e2叫向量a 的一组基底。4.定理点拨、加深理解请同学们勾画出概念中的关键词，并思考几个问题：（1）e1 ,e2 满足什么条件才能做一组基底？（2）基底e1 ,e2是否具有可选择性？（3）定理中1,2的值是否唯一？（4）平面基本定理的实质是什么？5.例题讲解例1. 设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( )A.e1、e2一定平行 B.e1、e2的模相等C.同一平面内的任一向量 a 都有a=1e1+1e2 D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a=1e1+2e2变式1.e1和e2是表示平面内所有向
7、量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为一组基底的是() Ae1与e1e2 Be12e2与e2+2e1Ce12e2与4e22e1 De1e2与e1e2【设计意图】加深学生对定理的理解，明确基底的特征，并且为向量的几何应用打下基础，以此培养学生观察问题、分析问题的能力。A B C D M例2. 平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点M，=a，=b，试用a，b表示.解：ab因为平行四边形的对角线互相平分，所以 ab所以 ab， （） ab， ba变式2.在平行四边形ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点，已知=c，=d，试用c，d表示和.例3.如图,OA,OB不共线,AP=tAB(tR),
8、用OA,OB表示OP. 解:变式3.不共线,点P在O、A、B所在的平面内,且(tR),求证：A、B、P三点共线六、感悟定理，小结反思（1）通过定理，学习到平面内任一向量a都可以表示为两个不共线向量的线性组合,体验了由特殊到一般的归纳概括方法;（2）通过定理掌握了基底一定，向量表示唯一的辩证统一思想，有序实数对1、2与向量a一一对应思想体现数学的简洁美，为后继课程学习打下了基础。七、分层作业1.必做题：课本87页第1、2、5、6题.2.选作题：用向量法证明三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.八、板书设计2.3.2平面向量基本定理问题引入平面向量基本定理定理说明例1例2 例3变式训练小结九、教学反思在引入上完全是学生在动手做，通过复习向量的加法法则和数乘运算让学生回忆旧知并为新知识做好铺垫，并且网格纸的功能一直贯穿整节课的学习，也让学生从直观上得到平面向量基本定理的内容作准备。真正实现了以学生为主体，教师为主导的新课改教学理念，并且注重培养了学生的核心素养。时间的把控上，为了避免学生初识定理更容易入手，做到不拖堂，真实教学过程中我省略了一道变式题，导致课时内容提前结束，学生多余时间做了学案作业。实际证明，孩子们有这能力、课堂上也有时间处理该变式，下次可在观察学生在教学活动中的反应后再做临时调整。