1、热点探究训练(一)导数应用中的高考热点问题1(2015重庆高考)设函数f (x)(aR)(1)若f (x)在x0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线yf (x)在点(1，f (1)处的切线方程；(2)若f (x)在3，)上为减函数，求a的取值范围解(1)对f (x)求导得f (x). 2分因为f (x)在x0处取得极值，所以f (0)0，即a0.当a0时，f (x)，f (x)，故f (1)，f (1)，从而f (x)在点(1，f (1)处的切线方程为y(x1)，化简得3xey0. 5分(2)由(1)知f (x)，令g(x)3x2(6a)xa，由g(x)0解得x1，x2. 7分当xx1时，g(
2、x)0，即f (x)0，故f (x)为减函数；当x1x0，即f (x)0，故f (x)为增函数；当xx2时，g(x)0，即f (x)0，故f (x)为减函数. 9分由f (x)在3，)上为减函数，知x23，解得a.故a的取值范围为. 12分2已知函数f (x)ex(x2axa)，其中a是常数(1)当a1时，求曲线yf (x)在点(1，f (1)处的切线方程；(2)若存在实数k，使得关于x的方程f (x)k在0，)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围 【导学号：66482129】解(1)由f (x)ex(x2axa)可得f (x)exx2(a2)x. 2分当a1时，f (1)e，f (1)4e
3、.所以曲线yf (x)在点(1，f (1)处的切线方程为：ye4e(x1)，即y4ex3e. 5分(2)令f (x)exx2(a2)x0，解得x(a2)或x0. 6分当(a2)0，即a2时，在区间0，)上，f (x)0，所以f (x)是0，)上的增函数，所以方程f (x)k在0，)上不可能有两个不相等的实数根. 8分当(a2)0，即a2时，f (x)，f (x)随x的变化情况如下表：x0(0，(a2)(a2)(a2)，)f (x)00f (x)a由上表可知函数f (x)在0，)上的最小值为f (a2).因为函数f (x)是(0，(a2)上的减函数，是(a2)，)上的增函数，且当xa时，有f (
4、x)ea(a)a，又f (0)a.所以要使方程f (x)k在0，)上有两个不相等的实数根，则k的取值范围是. 12分3(2016全国卷)已知函数f (x)(x2)exa(x1)2.(1)讨论f (x)的单调性；(2)若f (x)有两个零点，求a的取值范围解(1)f (x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a). 1分()设a0，则当x(，1)时，f (x)0；当x(1，)时，f (x)0.所以f (x)在(，1)上递减，在(1，)上递增. 3分()设a0，由f (x)0得x1或xln(2a)若a，则f (x)(x1)(exe)，所以f (x)在(，)上递增若a，则ln(2a)1，故当x(
5、，ln(2a)(1，)时，f (x)0；当x(ln(2a)，1)时，f (x)0.所以f (x)在(，ln(2a)，(1，)上递增，在(ln(2a)，1)上递减. 5分若a，则ln(2a)1，故当x(，1)(ln(2a)，)时，f (x)0；当x(1，ln(2a)时，f (x)0.所以f (x)在(，1)，(ln(2a)，)上递增，在(1，ln(2a)上递减. 7分(2)()设a0，则由(1)知，f (x)在(，1)上递减，在(1，)上递增又f (1)e，f (2)a，取b满足b0且bln，则f (b)(b2)a(b1)2a0，所以f (x)有两个零点. 9分()设a0，则f (x)(x2)e
6、x，所以f (x)只有一个零点()设a0，若a，则由(1)知，f (x)在(1，)上递增又当x1时f (x)0，故f (x)不存在两个零点；若a，则由(1)知，f (x)在(1，ln(2a)上递减，在(ln(2a)，)上递增又当x1时，f (x)0，故f (x)不存在两个零点综上，a的取值范围为(0，). 12分4(2017郑州二次质量预测)已知函数f (x).(1)讨论函数yf (x)在x(m，)上的单调性；(2)若m，则当xm，m1时，函数yf (x)的图像是否总在函数g(x)x2x图像上方？请写出判断过程.【导学号：66482130】解(1)f (x)，2分当x(m，m1)时，f (x)
7、0；当x(m1，)时，f (x)0，所以函数f (x)在(m，m1)上递减，在(m1，)上递增. 4分(2)由(1)知f (x)在(m，m1)上递减，所以其最小值为f (m1)em1. 5分因为m，g(x)在xm，m1最大值为(m1)2m1.所以下面判断f (m1)与(m1)2m1的大小，即判断ex与(1x)x的大小，其中xm1.令m(x)ex(1x)x，m(x)ex2x1，令h(x)m(x)，则h(x)ex2，因为xm1，所以h(x)ex20，m(x)递增. 8分所以m(1)e30，me40，故存在x0，使得m(x0)ex02x010，所以m(x)在(1，x0)上递减，在上递增，所以m(x)m(x0)ex0xx02x01xx0xx01，所以当x0时，m(x0)xx010，即ex(1x)x，也即f (m1)(m1)2m1，所以函数yf (x)的图像总在函数g(x)x2x图像上方. 12分