1、第3讲 圆锥曲线的综合问题 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 证明问题等价转化，直击目标 考点一 证明问题等价转化，直击目标 圆锥曲线中证明问题的两种常见类型 圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上，某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)例 1 2022全国乙卷已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，2)，B(32，1)两点(1)求E的方程；(2)设过点P(1，2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MTTH.证明：
2、直线HN过定点 归纳总结 圆锥曲线中证明题的求解策略 处理圆锥曲线中的证明问题常采用直接法证明，证明时常借助于等价转化思想，化几何关系为数量关系，然后借助函数方程思想、数形结合思想解决 对点训练2023全国乙卷已知椭圆C：y2a2 x2b2 1(ab0)的离心率是 53，点A(2，0)在 C 上(1)求 C 的方程；(2)过点(2，3)的直线交 C 于 P，Q 两点，直线 AP，AQ 与 y 轴的交点分别为 M，N，证明：线段 MN 的中点为定点考点二 定点问题 目标等式寻定点 考点二 定点问题目标等式寻定点 解析几何中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆(其他曲线过定点太复杂，高中阶段
3、一般不涉及)过定点的问题，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动，这类问题的求解一般分为以下三步：一选：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变量(有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一)二求：求出定点坐标所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程 三定点：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标 例 2 2023河南省商丘市高三三模如图，椭圆 C：x2a2 y2b2 1(ab0)的左、右顶点分别为 A，B.左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 22，点 M
4、(2，1)在椭圆 C上(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知 P，Q 是椭圆 C 上两动点，记直线 AP 的斜率为 k1，直线 BQ 的斜率为 k2，k12k2.过点 B 作直线 PQ 的垂线，垂足为 H.问：在平面内是否存在定点 T，使得|TH|为定值，若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，试说明理由归纳总结 直线过定点问题的解题策略 对点训练2023新课标卷已知双曲线 C 的中心为坐标原点，左焦点为(2 5，0)，离心率为 5.(1)求 C 的方程；(2)记 C 的左、右顶点分别为 A1，A2，过点(4，0)的直线与 C 的左支交于M，N 两点，M 在第二象限，直线 MA1 与 NA2 交于
5、点 P.证明：点 P 在定直线上考点三 定值问题巧妙消元寻定值 考点三 定值问题巧妙消元寻定值 定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题，其求解步骤一般为：一选：选择变量，一般为点的坐标、直线的斜率等 二化：把要求解的定值表示成含上述变量的式子，并利用其他辅助条件来减少变量的个数，使其只含有一个变量(或者有多个变量，若是能整体约分也可以)三定值：化简式子得到定值由题目的结论可知要证明为定值的量必与变量的值无关，故求出的式子必能化为一个常数，所以只需对上述式子进行必要的化简即可得到定值 例 3 2023江西省智学联
6、盟体高三联考已知双曲线 C：x2a2 y2b2 1(a0，b0)，渐近线方程为 yx2 0，点 A(2，0)在 C 上(1)求双曲线 C 的方程；(2)过点 A 的两条直线 AP，AQ 分别与双曲线 C 交于 P，Q 两点(不与 A 点重合)，且两条直线的斜率 k1，k2 满足 k1k21，直线 PQ 与直线 x2，y 轴分别交于 M，N 两点，求证：AMN 的面积为定值归纳总结 求解圆锥曲线中定值问题常用的方法(1)引出变量法解题流程为：(2)特殊法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(3)直接法直接推理，在计算过程中消去变量，从而得到定值 对点训练2023河南省 TOP 二十名校高
7、三调研在椭圆 C：x2a2 y2b2 1(ab0)中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：x2y2a2b2 上，称此圆为椭圆的蒙日圆椭圆 C过 P(1，22)，Q(62，12).(1)求椭圆 C 的方程；(2)过椭圆 C 的蒙日圆上一点 M，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点 N，若 kOM，kON 存在，证明：kOMkON 为定值考点四 圆锥曲线中的最值、范围问题 巧设变量，引参搭桥 考点四 圆锥曲线中的最值、范围问题巧设变量，引参搭桥 圆锥曲线中的最值(1)椭圆中的最值 F1，F2为椭圆x2a2+y2b21(ab0)的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有：
8、|OP|_；|PF1|_；PF1|PF2|_；F1PF2F1BF2.(2)双曲线中的最值 F1，F2为双曲线x2a2 y2b21(a0，b0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有：|OP|_；|PF1|_ b，a ac，ac b2，a2 a ca(3)抛物线中的最值 点P为抛物线y22px(p0)上的任一点，F为焦点，则有：|PF|_；A(m，n)为一定点，则|PA|PF|有最小值；点N(a，0)是抛物线的对称轴上一点，则|PN|min a a p，2pa p2 ap p2 例 4 2023全国甲卷已知直线 x2y10 与抛物线 C：y22px(p0)交于 A，B 两点，|A
9、B|4 15.(1)求 p；(2)设 F 为 C 的焦点，M，N 为 C 上两点，且FM FN 0，求MFN 面积的最小值归纳总结 1圆锥曲线中的最值问题的求解方法(1)几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何性质来解决，特别要注意用圆锥曲线的定义和平面几何有关结论来求最值(2)代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则考虑先建立目标函数(通常为二次函数)，再求这个函数的最值求函数的最值常见的方法有配方法、基本不等式法、单调性法、三角换元法等 2圆锥曲线中的取值范围问题的5种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系从而确定参数的取值范围(2)利用已知参数的范围
10、，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围对点训练 2021全国乙卷已知抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，且F与圆M：x2(y4)21上点的距离的最小值为4.(1)求p；(2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求PAB面积的最大值 高考5个大题 解题研诀窍(五)解析几何类解答题 思维流程圆锥曲线问题重在“设”与“算”技法指导迁移搭桥 数学思想是问
11、题的主线，方法是解题的手段，审视方法，选择适当的解题方法，往往使问题的解决事半功倍，审题的过程还是一个解题方法的抉择过程，开拓的解题思路能使我们心涌如潮，适宜的解题方法则帮助我们事半功倍典例 已知圆(x 3)2y216的圆心为M，点P是圆M上的动点，点N(3，0)，点G在线段MP上，且满足(GN+GP)(GN GP)(1)求点G的轨迹C的方程；(2)过点T(4，0)作斜率不为0的直线l与轨迹C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D，连接BD交x轴于点Q，求ABQ面积的最大值快审题求什么 想什么 求轨迹方程，想到求轨迹方程的方法 求三角形面积的最值，想到表示出三角形面积的式子 给什么 用什么
12、给出向量垂直关系，用数量积转化为线段相等 给出直线l的条件，应设出直线方程，与C的方程联立方程组 差什么 找什么 差三角形的高，应先找Q点的坐标，即求出BD的直线方程 稳解题(1)因为(GN+GP)(GN GP)，所以(GN+GP)(GN GP)0，即GN2GP20，所以|GP|GN|，所以|GM|GN|GM|GP|MP|42 3|MN|，所以点G在以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆上，设椭圆的方程为x2a2+y2b21(ab0)，则2a4，2c2 3，即a2，c 3，所以b2a2c21，所以点G的轨迹C的方程为x24 y21.(2)依题意可设直线l：xmy4.由 x=my+4，x24+y2=1
13、 消去x，得(m24)y28my120.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由64m2412(m24)16(m212)0，得m212.且y1y28mm2+4，y1y212m2+4.因为点A关于x轴的对称点为D，所以D(x1，y1)，可设Q(x0，0)，所以kBDy2+y1x2x1y2+y1m y2y1，所以BD所在直线的方程为yy2y2+y1m y2y1(xmy24)令y0，得x02my1y2+4 y1+y2y1+y2.将代入，得x024m32m8m1，所以点Q的坐标为(1，0)因为SABQ|STBQSTAQ|12|QT|y2y1|32 y1+y2 2 4y1y26 m212m2+4，令tm24，结合得t16，所以SABQ6 t16t 6 16t2+1t6 161t 1322+164.当且仅当t32，即m2 7时，(SABQ)max34.所以ABQ面积的最大值为34.题后悟道 解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤
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