1、第二章 圆锥曲线与方程2.4 抛物线2.4.2 抛物线的简单几何性质第1课时 抛物线的简单几何性质A级基础巩固一、选择题1抛物线y28x的焦点到准线的距离是()A1B2C4D8解析：y28x的焦点到准线的距离p4.答案：C2以抛物线y22px(p0)的焦半径|PF|为直径的圆与y轴位置关系是()A相交 B相切C相离 D以上三种均有可能答案：B3过抛物线y22px的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则A1FB1()A90 B45 C30 D60答案：A4抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A. B. C. D0解析：抛物线y4x2的
2、准线方程是y，设M(x，y)是图象上任一点，由抛物线定义知，y1，所以y.答案：B5已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A. B1 C. D.解析：由抛物线的定义知|AD|BC|AF|BF|3，所以|MN|，又由于准线l的方程为x，所以线段AB中点到y轴的距离为.答案：C二、填空题6抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_答案：67设抛物线y28x的焦点为F，准线为1，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么|PF|_解析：如图，由直线AF的斜率
3、为得AFH60，FAH30，所以PAF60.又由抛物线的定义知|PA|PF|，所以PAF为等边三角形，由|HF|4得|AF|8，所以|PF|8.答案：88设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是_解析：根据x28y，所以F(0，2)，准线y2，所以F到准线的距离为4，当以F为圆心、以|FM|为半径的圆与准线相切时，|MF|4，即M到准线的距离为4，此时y02，所以显然当以F为圆心，以|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交时，y0(2，)答案：(2，)三、解答题9已知过抛物线y22px(p0)的焦点F
4、的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则称AB为抛物线的焦点弦求证：(1)y1y2p2；x1x2；(2).证明：(1)如图所示抛物线y22px(p0)的焦点F，准线方程：x.设直线AB的方程为xky，把它代入y22px，化简，得y22pkyp20.所以y1y2p2，所以x1x2.(2)根据抛物线定义知PAAA1x1，FBBB1x2，所以.10已知P为抛物线y24x上的动点，过P分别作y轴与直线xy40的垂线，垂足分别为A，B，求|PA|PB|的最小值解：如图，延长PA交准线l于A，焦点F(1，0)，1.|PA|PB|PA|1|PB|PF|PB|1当F，P，B共线时，
5、|PA|PB|最小，即转化为F到xy40的距离减去1.此时d，所以|PA|PB|的最小值为1.综上所述，|PA|PB|最小值为1.B级能力提升1如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线方程为()Ay29x By26xCy23x Dy2x答案：C2已知AB为抛物线yx2上的动弦，且|AB|a(a为常数且a1)，则弦AB的中点M离x轴的最近距离为_解析：如图所示，设A，M，B点的纵坐标分别为y1，y2，y3，A，M，B三点在抛物线准线上的射影分别为A，M，B.由抛物线的定义，|AF|AA|y1，|BF|BB|
6、y3.所以y1|AF|，y3|BF|.又M是线段AB的中点，所以y2(y1y3)(2a1)等号成立的条件是A，F，B三点共线，即AB为焦点弦又|AB|a1，所以AB可以取为焦点弦，即等号可以成立，所以中点M到x轴的最近距离为(2a1)答案：(2a1)3在抛物线y4x2上求一点，使这点到直线y4x5的距离最短解：法一：设抛物线上任意一点坐标为P(x，4x2)，则点P到直线y4x5的距离是：d，所以当x时，d取最小值此时y4x241，所以所求点的坐标.法二：由数形结合可知，所求点应为与直线y4x5平行且与抛物线y4x2相切时的切点设平行于直线y4x5的切线为y4xb.由消去y得，4x24xb0.因为直线与抛物线相切，所以(4)244(b)0，解得b1.所以当b1时，x1x2，代入y4x2得y1.所以所求点的坐标为.