1、金山中学高二年级数学学科学习水平检查 一.填空题（1-6 每小题 4 分，7-12 每小题 5 分，共 54 分）1.正方体中，异面直线与所成的角的大小为_【答案】【解析】异面直线与所成的角为异面直线与所成的角,即为 2.过两两相交的三条直线中的每两条直线作一个平面，这样可作平面的个数是_【答案】1 或 3【解析】若三条直线交于一点，则可作 3 个平面；若三条直线交于三点，则可作 1 个平面；3.在复数集中分解因式：_【答案】【解析】4.直线，则直线 与 的夹角为_【答案】【解析】中，而平行 y 轴，所以直线 与的夹角为5.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于_【答案】【解析】双曲线的顶点到其渐近
2、线 的距离为 6.若直线经过椭圆的右焦点，则实数_【答案】【解析】椭圆的右焦点为，所以7.已知复数，则的取值范围为_【答案】【解析】8.已知是空间四点，命题甲：四点不共面，命题乙：直线和不相交，则甲是乙成立的_条件【答案】充分不必要【解析】若四点不共面，则直线和异面，所以直线和不相交，若直线和不相交，则直线和可平行，即四点可共面，因此甲是乙成立的充分不必要条件 点睛：充分、必要条件的三种判断方法 1定义法：直接判断“若 则”、“若 则”的真假并注意和图示相结合，例如“”为真，则 是 的充分条件 2等价法：利用 与非 非，与非 非，与非 非 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价
3、法 3集合法：若，则 是 的充分条件或 是 的必要条件；若 ，则 是 的充要条件 9.四边形为正方形，且平面，则点 到直线的距离为_【答案】【解析】因为平面，即点 到直线的距离为10.圆关于直线对称的圆的方程为_【答案】点睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法.若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D、E、F 的方程组，进而求出 D、E、F 的值 11.如图，二面角的大小是 60，线段 AB,，与所成的角为 30.则与平面 所成的角的大小是_.【答案】【解析】试题分析：点 A 作平面 的垂线
4、，垂足为 C，在 内过 C 作 l 的垂线.垂足为 D，连结 AD，有三垂线定理可知 ADl，故ADC 为二面角的平面角为 60，又由已知ABD30，连结 CB，则ABC 为与平面 所成的角设 AD2，则 AC，CD1w_w w.c o*m，AB4，sinABC，故填w_w w.c o*m考点：本题考查了线面角的求法点评：12.如图，已知半圆的直径，为半圆外一直线，且与 BA 的延长线交于点T，|AT|=4，半圆上相异两点 M、N 与直线的距离、满足条件，则|AM|+|AN|的值为_.【答案】20【解析】以 AT 中点为坐标原点，AT 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，则 M,N 在以 A为焦
5、点的抛物线上，方程为，半圆方程为，联立方程组得解得，因此点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理 2若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB 的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到 二.选择题（每小题 5 分，共 20 分）13.下面是关于复数的四个命题：；的共轭复数为；的虚部为其中正确的命题（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，的虚部为所以选，选 C.14.设点,直线、平面，则下列命题中正确的是 ()A.若，在 外，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则【答案】D【解
6、析】若，在 外，则 或；若，则可以在平面 内 若，则或在 外；若，则，选 D.15.点是正方体的两棱与的中点，是正方形的中心，则与平面的位置关系是（）A.平行 B.相交 C.平面 D.以上都可以【答案】A【解析】平面=平面，因为平面，所以平面，选A.16.在长方体中，若棱上存在一点，使得，则棱的长的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】连接 AP，则因为平面,，所以，选 D.点睛：存在性问题通常用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在
7、；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.三.解答题（12 分14 分16 分16 分18 分，共 76 分）17.已知复数 满足，（1）求复数；（2）若复数 是实系数一元二次方程的一个根，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据复数模的定义以及复数相等条件得方程组，解方程组可得复数（2）根据实系数一元二次方程虚数根特点可得为方程两根，利用韦达定理可求 b,c，即得的值 试题解析：解：设，18.如图所示，在长方体中，为棱上一点，（1）若，求异面直线和所成角的正切值；（2）若，求证平面.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）线线角找平行，因为，所以（或其补角）是异面
8、直线和所成角，解三角形可得（2）先根据勾股数得，再结合面可得，最后根据线面垂直判定定理可得平面.试题解析：解:（1），所以（或其补角）是异面直线和所成角 长方体中 面，得（2）由题意，即 又由面可得故平面.点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.19.如图,设 P 是圆上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的投影，M 为线段 PD 上一点,且，(1)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被轨迹 C
9、 所截线段的长度.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（）由题意 P 是圆上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的射影，M 为 PD 上一点，且，利用相关点法即可求轨迹；（）由题意写出直线方程与曲线 C 的方程进行联立，利用根与系数的关系得到线段长度试题解析：（）设 M 的坐标为（x,y）P 的坐标为（xp,yp）由已知 xp=x,P 在圆上，即 C 的方程为（）过点（3，0）且斜率为 的直线方程为，设直线与 C 的交点为将直线方程代入 C 的方程，得即线段 AB 的长度为考点：1轨迹方程；2直线与圆相交的性质20.如图，已知椭圆的上、下顶点分别为 A,B，点 P 在椭圆上，且异于点 A,B
10、，直线 AP,BP 与直线分别交于点 M,N，（1）设直线 AP,BP 的斜率分别为，求证：为定值；（2）求线段 MN 的长的最小值；（3）当点 P 运动时，以 MN 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论【答案】（1）见解析（2）（3）恒过定点或【解析】试题分析：（）随点 运动而变化，故设点表示，进而化简整体消去变量；（）点的位置由直线，生成，所以可用两直线方程解出交点坐标，求出，它必是的函数，利用基本不等式求出最小值；（）利用的坐标求出圆的方程，方程必含有参数，消去一个后，利用等式恒成立方法求出圆所过定点坐标.试题解析：（），令，则由题设可知，直线的斜率，的斜率，又点 在椭圆上，所以，（
11、），从而有.（）由题设可以得到直线的方程为，直线的方程为，由，由，直线与直线的交点，直线与直线的交点.又，等号当且仅当即时取到，故线段长的最小值是.（）设点是以为直径的圆上的任意一点，则，故有，又，所以以为直径的圆的方程为，令解得，以为直径的圆是否经过定点和.考点：直线的交点，圆的方程，圆过定点问题，基本不等式的应用.21.已知空间四边形，分别在上，(1)若，异面直线与所成的角的大小为，求和所成的角的大小；(2)当四边形是平面四边形时，试判断与三条直线的位置关系，并选择其中一种位置关系说明理由；(3)已知当，异面直线所成角为，当四边形是平行四边形时，试判断点在什么位置时，四边形的面积最大，试求
12、出最大面积并说明理由。【答案】（1）或（2）或者相交，（3）分别为中点时，四边形的面积最大，【解析】试题分析：（1）根据题意可得四边形为菱形，而菱形对角线平分对角可得和所成的角大小（2）先定位置：或者相交，再分情况证明：当时，利用线面平行性质与判定定理可得；当相交时，可得相交（3）先根据线线角得四边形一内角为，利用平行四边形面积公式可得，再根据相似比得，最后根据基本不等式求最值 试题解析：解：（1）或（2）共面或者相交，设交点为 (以下理由只要求写出一种即对)时 且 又且 即三条直线互相平行 时 又又即三条直线交于一点（3）在中，在中，时取得最大值，即分别为中点时，四边形的面积最大，点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.