1、第1讲 等差数列、等比数列 考点一 考点二 考点三 考点四 考点一 等差、等比数列的基本运算 考点一 等差、等比数列的基本运算结合问题找各量，对应公式建关系 1通项公式 等差数列：an_；等比数列：an_ 2求和公式 等差数列：Sn_；等比数列：Sn _=_q 1na1（q=1）.a1（n1）d a1qn1 n(1+)2 na1n(1)2d 1(1 )1 1 q1 例 1(1)2023全国甲卷(文)记Sn为等差数列an的前n项和若a2a610，a4a845，则S5()A25 B22 C20 D15 答案：C 解析：（1）方法一 由 a2a610，可得 2a410，所以 a45，又 a4a845
2、，所以 a89.设等差数列an的公差为 d，则 da8a4849541，又 a45，所以 a12，所以 S55a1542d20，故选 C.方法二 设等差数列an的公差为 d，则由 a2a610，可得 a13d5，由 a4a845，可得（a13d）（a17d）45，由可得 a12，d1，所以 S55a1542d20，故选 C.答案：C(2)2023全国甲卷(理)设等比数列an的各项均为正数，前 n 项和为 Sn，若a11，S55S34，则 S4()A158B658C15 D40解析：方法一 若该数列的公比 q1，代入 S55S34 中，有 5534，不成立，所以 q1.由1q51q 51q31q
3、 4，化简得 q45q240，所以 q21（舍）或q24，由于此数列各项均为正数，所以 q2，所以 S41q41q 15.故选 C.方法二 由已知得 1qq2q3q45（1qq2）4，整理得（1q）（q34q）0，由于此数列各项均为正数，所以 q2，所以 S41qq2q3124815.故选 C.归纳总结 等差(比)数列基本运算的解题思路(1)设基本量a1和公差d(公比q)(2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量 对点训练 1.2023新课标卷记Sn为等比数列an的前n项和，若S45，S621S2，则S8()A120B85C85D120
4、 答案：C 22023全国甲卷(文)记Sn为等比数列an的前n项和若8S67S3，则an的公比为_ 12 解析：由 8S67S3，可知数列an的公比 q1，所以 8a1（1q6）1q7a1（1q3）1q，即 8（1q6）7（1q3），即 8（1q3）7，所以 q12.2 32023全国乙卷(理)已知an 为等比数列，a2a4a5a3a6，a9a108，则 a7_解析：方法一 设数列an的公比为 q，则由 a2a4a5a3a6，得 a1qa1q3a1q4a1q2a1q5.又 a10，且 q0，所以可得 a1q1.又 a9a10a1q8a1q9a21 q178，所以由可得 q158，q52，所以
5、a7a1q6a1qq52.方法二 设数列an的公比为 q.因为 a4a5a3a60，所以 a21.又 a9a10a2q7a2q8q158，于是 q52，所以 a7a2q52.考点二 等差、等比数列的性质及应用 考点二 等差、等比数列的性质及应用分清条件，类比性质 等差数列 等比数列 性质(1)若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq；(2)anam(nm)d；(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差数列(1)若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq；(2)anamqnm；(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等比数列(q1)例 2(1)2023河南省郑州市等3
6、地高三冲刺卷在等差数列an中，已知a10，且S8S17，则当Sn取最大值时，n()A10 B11 C12或13 D13 答案：C 解析：（1）因为在等差数列an中，S17S80，所以a9a10a11a12a13a14a15a16a17（a9a17）（a10a16）（a11a15）（a12a14）a139a130，所以a130，又因为a10，所以可知等差数列为递减数列，且前12项为正，第13项以后均为负，所以当Sn取最大值时，n12或13.故选C.(2)2023贵州省高三考前备考指导解压卷已知等比数列an的公比q0且q1，前n项积为Tn，若T10T6，则下列结论正确的是()Aa6a71Ba7a8
7、1Ca8a91Da9a101 答案：C 解析：因为 T10T6，所以T10T6 a7a8a9a10（a8a9）21，由 q0 且 q1 可知 a8，a9 同号，所以 a8a91.故选 C.(3)2023湖南省益阳市模拟已知Sn为等差数列an的前n项和若S120，则当Sn取最大值时，n的值为_ 6 解析：因为 S1212（a1a12）26（a1a12）6（a6a7）0，所以 a6a70，所以 a60，所以 a70，则（Sn）maxS6.归纳总结 与数列性质有关问题的求解策略抓关系 抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解 用性质 数列是一种特殊的函数，具有函
8、数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题 对点训练 1.2023四川省自贡市诊断性考试等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，若S100，则下列四个命题正确的个数为()S5为Sn的最小值a60 a10S6为Sn的最小值 A1 B2 C3 D4 答案：C 解析：等差数列an中，S11（a1a11）11211a60，则 a60，故正确；又 S10（a1a10）1025（a1a10）5（a5a6）0，所以 a50，则 a1a54d0，其为递增数列，则 a1a2a3a4a50，所以 S5 为 Sn 的最小值，故正确，不正确；则四个命题正确个数为 3.故选 C.答案：B 22023河南省郑
9、州市等 2 地高三冲刺在等比数列an中，公比 q2，且1a9 1a10 1a11 1a12 6a210，则 a9a10a11a12()A3 B12 C18 D24解析：1a9 1a10 1a11 1a12（1a9 1a12）（1a10 1a11）a9a12a9a12a10a11a10a11a9a10a11a12a10a11a9a10a11a122a210，1a9 1a10 1a11 1a12 6a210，6a210a9a10a11a122a210，a9a10a11a1212.故选 B.32023三晋名校联盟高三联考已知等比数列an满足a1a2a3a42，a3a4a5a64，则a11a12a13
10、a14()A32B64C96D128 答案：B 解析：设等比数列an的公比为q，则a3a4a5a6q2（a1a2a3a4），得q22，所以a11a12a13a14（a1a2a3a4）q10（a1a2a3a4）2564.故选B.考点三 等差、等比数列的判定与证明考点三 等差、等比数列的判定与证明用定义，巧构造 等差数列 等比数列 定义法 an1and 通项法 ana1(n1)d ana1qn1 中项法 前n项和法 Snan2bn(a，b为常数)Snkqnk(k0，q0，1)证明数列为等差(比)数列一般使用定义法 例 3 2022全国甲卷记Sn为数列an的前n项和已知2Snn n2an1.(1)证
11、明：an是等差数列；(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值 归纳总结 判断或证明等差(比)数列常用的方法(1)定义法；(2)等差(比)中项法；(3)通项公式法；(4)前n项和公式法 提醒(1)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，只需判断存在连续三项不成等差(等比)数列即可.2 an2 an1an1(n2，nN*)是an为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.对点训练 2021全国乙卷记Sn为数列an的前n项和，bn为数列Sn的前n项积，已知2Sn+1bn2.(1)证明：数列bn是等差数列；(2)求an的通项公式 考点四 数列与新定义相交汇问题
12、 例 4 2023山东济宁模拟对于数列an，定义Hna1+2a2+2n1ann为an的“优值”，已知数列an的“优值”Hn2n1，记数列an20的前n项和为Sn，则Sn最小值为()A70B72 C64D68 答案：B 归纳总结 数列新定义型创新题的一般解题思路(1)阅读审清“新定义”(2)结合常规的等差数列、等比数列的相关知识，化归、转化到“新定义”的相关知识(3)利用“新定义”及常规的数列知识，求解证明相关结论 对点训练 意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即F(1)F(2)1，F(n)F(n1)F(n2)(n3，nN*)此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用若此数列被2除后的余数构成一个新数列an，则数列an的前2 023项的和为()A673B674 C1 349D2 023 答案：C
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