1、第二章 函 数-2-2.1 函数及其表示-4-知识梳理 双基自测 1.函数的概念 内 容 函 数 两个集合A,B设 A,B 是两个非空 对应关系f:AB如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的 一个 ,在集合 B 中 的 和它对应 名 称 那么称 f:AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 记 法 y=f(x)(xA,yB)数集任意数x 都有唯一确定数f(x)-5-知识梳理 双基自测 2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域 在函数y=f(x),xA中,x叫做自变量,叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,_叫做函数的值域,显然,值域是集合B的子集.(2)函数的三要
2、素:、和 .(3)相等函数:如果两个函数的 相同,并且 完全一致,那么我们就称这两个函数相等.x的取值范围A 函数值的集合f(x)|xA 定义域值域对应关系定义域对应关系 -6-知识梳理 双基自测 3.函数的表示方法 表示函数的常用方法有 、和 .解析法图象法列表法4.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因 不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ,其值域等于各段函数的值域的 ,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.对应关系并集并集 -7-知识梳理 双基自测 5.函数定义域的求法 类 型 x 满足的条件 f(x),nN*f(
3、x)0 1()与f(x)0 f(x)0 logaf(x)f(x)0 四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集 实际问题 使实际问题有意义 2-8-知识梳理 双基自测 34151.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)对于函数f:AB,其值域是集合B.()(2)函数y=f(x)的图象与直线x=1有两个交点.()(3)定义域相同,值域也相同的函数一定是相等函数.()(4)二次函数y=x2-1的值域可以表示为y|y=x2-1,xR,即为y|y-1.()(5)分段函数是由两个或两个以上的函数组成的.()-9-知识梳理 双基自测 234152.函数 f(x)=2-2+1-2的定义域为()A.1,2)
4、B.(2,+)C.1,2)(2,+)D.(-,2)(2,+)C解析 由题意得 2-2 0,-2 0,解得 x1,且 x2.-10-知识梳理 双基自测 234153.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(1)+f(3)=()A.3B.0C.1D.2 A解析 由题中函数f(x)的图象可得,f(1)=2,f(3)=1,故f(1)+f(3)=3,故选A.-11-知识梳理 双基自测 234154.设 f(x)=1,0,0,=0,1,0,g(x)=1,为有理数,0,为无理数,则 f(g()的值为()A.1B.0C.-1 D.B解析 g(
5、)=0,f(g()=f(0)=0.-12-知识梳理 双基自测 234155.函数 f(x)=log2-1的定义域为 .2,+)解析 要使函数f(x)有意义,则需log2x-10,解得x2,即函数f(x)的定义域为2,+).-13-考点1 考点2 考点3 考点4 考点 1 函数的基本概念 例1以下给出的同组函数中,表示相等函数的有 .(只填序号)f1:y=;f2:y=1.f1:y=1,1,2,1 2,3,2;f2:x x1 1x 0,解得-30,解得0 x0,解得x1或x0,即log2x1或log2x2 或 0 x0,t1,且 x=2-1.f(t)=lg2-1,f(x)=lg2-1(x1).(2
6、)设 f(x)=ax2+bx+c(a0),由 f(0)=2,得 c=2.又 f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=x-1,即 2ax+a+b=x-1,2=1,+=-1,即 =12,=-32.f(x)=12x2-32x+2.-22-考点1 考点2 考点3 考点4(3)f(x)+2f 1=x,f 1+2f(x)=1.解方程组()+2 1=,1+2()=1,得 f(x)=23 3(x0).(4)由 f(x)+2f(-x)=x2-x,得 f(-x)+2f(x)=x2+x,-2,得 f(x)=13x2+x.-23-考点1 考点2 考点3 考点4 解题心得求函数解析式的方法:
7、(1)待定系数法.若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法.(2)换元法.已知复合函数f(g(x)的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(3)方程法.已知关于f(x)与或f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).提醒:因为两个函数的解析式相同,定义域不同,所以为不相等的函数,因此求函数的解析式时,如果函数的定义域不是R,那么一定要注明函数的定义域.f 1 -24-考点1 考点2 考点3 考点4 对点训练 3(1)若 f 1=1-,则当 x0,且 x1 时,f(x)等于()A.1B.1-1C.11-D.1-1(2)已知f
8、(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)=.(3)已知 f(x)满足 2f(x)+f 1=3x,则 f(x)=.B2x+7 2x-1(x0)-25-考点1 考点2 考点3 考点4 解析(1)令 t=1,得 x=1,f(t)=11-1=1-1.f(x)=1-1.(2)设 f(x)=ax+b(a0),则 3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+5a+b,即 ax+5a+b=2x+17 不论 x 为何值都成立,=2,+5=17,解得 =2,=7,f(x)=2x+7.(3)2f(x)+f 1=3x,把中的 x 换成1,得 2f
9、 1+f(x)=3.2-,得 3f(x)=6x-3,f(x)=2x-1(x0).-26-考点1 考点2 考点3 考点4 考点 4 分段函数(多考向)考向一 求分段函数的函数值 思考求分段函数的函数值时,如何选取函数的解析式?例4已知f(x)=-lg,0,+,0,且f(0)=2,f(-1)=4,则f(f(-2)=()A.-1B.2C.3D.-3A解析 f(x)=-lg,0,+,0,且 f(0)=2,f(-1)=4,(0)=0+=2,(-1)=-1+=4,解得 =13,=1.f(x)=-lg,0,13+1,0.f(-2)=13-2+1=10,f(f(-2)=f(10)=-lg 10=-1.故选 A
10、.-27-考点1 考点2 考点3 考点4 考向二 已知分段函数的等式求参数的值 例 5 已知函数 f(x)=2,0,+1,0.若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值为()A.-3B.-1C.1D.3思考由分段函数的等式求分段函数中的参数的值时应该如何选取函数的解析式?A解析 因为f(1)=2,所以f(a)=-f(1)=-2.当a0时,f(a)=2a=-2,无解;当a0时,f(a)=a+1=-2,所以a=-3.综上,a=-3,故选A.-28-考点1 考点2 考点3 考点4 考向三 已知函数值的范围求其自变量的范围 例 6 设函数 f(x)=+1,0,2,0,则满足 f(x)+f-12 1
11、的 x 的取值范围是 .思考如何选取分段函数不等式中的解析式?-14,+-29-考点1 考点2 考点3 考点4 解析:f(x)=+1,0,2,0,由 f(x)+f-12 1,得 f-12 1-f(x).在同一平面直角坐标系中画出 y=f-12 与 y=1-f(x)的图象,如图所示.由数形结合可知,满足 f-12 1-f(x)的 x 的取值范围为-14,+.-30-考点1 考点2 考点3 考点4 解题心得分段函数问题的求解策略:(1)分段函数的求值问题,首先确定自变量的值属于哪个区间,然后选定相应的解析式代入求解.(2)对求含有参数的自变量的函数值,如果不能确定自变量的取值范围,那么应采取分类讨
12、论.(3)解由分段函数构成的不等式,一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论.-31-考点1 考点2 考点3 考点4 对点训练 4(1)已知函数 f(x)=log12,1,2+36,1,则 f 12 =()A.3B.4C.-3D.38(2)已知函数 f(x)=2+,0,则使 f(x)-1 成立的 x 的取值范围是 .CD-4,2-32-考点1 考点2 考点3 考点4 解析(1)f 12=2+3612=2+6=8,f 12 =f(8)=log128=-3.(2)因为 f 34=234+n=32+n,当32+n1,即 n 0,-(-1)2 -1,解得-4x0 或 0 x2,故 x 的取值范围是
13、-4,2.-33-数学抽象抽象函数的定义域问题 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性,得到数学研究对象的思维过程.主要包括:从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并且用数学符号或者数学术语予以表述.在数学抽象核心素养的形成过程中,积累从具体到抽象的活动经验.抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数,其有关问题对同学们来说具有一定难度,特别是求其定义域时,许多同学解答起来总感觉棘手,在高考中一般不会单独考查,但从提升能力方面考虑,还应有所涉及.-34-典例若函数y=f(x)的定义域是1,2 020,则函数g(x)=的定义域是()A
14、.0,2 019 B.0,1)(1,2 019 C.(1,2 020D.-1,1)(1,2 019 点拨 利用换元法求出函数f(x+1)的定义域,而函数g(x)的定义域为f(x+1)的定义域与不等式x-10的解集的交集.答案 B 解析 要使函数f(x+1)有意义,则有1x+12 020,解得0 x2 019,故函数f(x+1)的定义域为0,2 019.故使函数g(x)有意义的条件是 解得0 x1或1x2 019.故函数g(x)的定义域为0,1)(1,2 019.故选B.(+1)-1 0 2 019,-1 0,-35-反思提升函数的定义域是函数解析式中自变量的取值范围,即f(x)与f(g(x)的定义域都是自变量x的取值范围,常见有如下两种类型:(1)已知函数f(x)的定义域为D,则函数f(g(x)的定义域就是不等式g(x)D的解集;(2)已知函数f(g(x)的定义域为D,则函数f(x)的定义域就是函数y=g(x)(xD)的值域.
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