1、目标导航1会用三角函数线表示一个角的三角函数(重点)2会应用公式一把任意角的三角函数值转化为0,2范围内的角的三角函数值(重点)1 新知识预习探究 知识点一 公式一阅读教材 P14，完成下列问题 sin(2k)cos(2k)tan(2k)其中 kZ.终边相同的角的同一三角函数的值sincostan相等【思考】根据公式一，终边相同的角的同一三角函数的值相等，反过来，同一三角函数值相等时，角是否一定为终边相同的角呢？【提示】不一定如 sin30sin15012.【练习 1】求值：sin810cos360tan1 125_.解析：sin810cos360tan1 125sin(902360)cos(
2、0360)tan(453360)sin90cos0tan451111.答案：1知识点二 三角函数线阅读教材 P15 最后两自然段P17，完成下列问题 下面图中有向线段 MP，OM，AT 分别表示 sin、cos和 tan.(1)(2)(3)(4)【练习 2】如图所示，P 是角 的终边与单位圆的交点，PMx 轴于 M，AT 和 AT均是单位圆的切线，则角 的()A正弦线是 PM，正切线是 ATB正弦线是 MP，正切线是 ATC正弦线是 MP，正切线是 ATD正弦线是 PM，正切线是 AT解析：为第三象限角，故 MPsin，OMcos，ATtan.答案：C2 新视点名师博客 三角函数线的应用三角函
3、数线的应用的实质是数形结合思想的应用，作三角函数线的前提是作单位圆(1)比较三角函数值的大小分三步：角的位置标注清楚；比较三角函数线的有向线段的长度；确定有向线段的正负(2)解三角不等式解形如 f()m 或 f()m(|m|1)的三角不等式时，在直角坐标系及单位圆中，标出满足 f()m 的两个角的终边(若 f()sin，则角的终边是直线 ym 与单位圆的两个交点与原点的连线；若 f()cos，则角的终边是直线 xm 与单位圆的两个交点与原点的连线；若 f()tan，则角的终边与角的终边的反向延长线表示的正切值相同)，根据三角函数值的大小，找出 在 02 内的取值，再加上 k2(kZ)(3)几何
4、法证明三角不等式三角函数线是三角函数的几何特征，利用单位圆中的三角函数线作出直观的图形，往往使有些不等式的证明一目了然，突出数形结合的优势.3 新课堂互动探究 考点一 诱导公式(一)的应用例 1计算下列各式的值：(1)sin(1395)cos1110cos(1020)sin750；(2)sin116 cos125 tan4.分析：将相关角表示为 2k 或 k360(kZ)的形式，进而转化为 0,2)或 0，360)，利用特殊角的三角函数值求解解析：(1)原式sin(436045)cos(336030)cos(336060)sin(236030)sin45cos30cos60sin30 22 3
5、2 1212 64 141 64.(2)原式sin26 cos225 tan(40)sin6cos25 012.点评：利用公式一可将负角或大于 2 的角的三角函数化为 02 之间的角的同名三角函数，实现了“负化正，大化小”变式探究 1 求下列各式的值(1)cos253 tan154 ；(2)sin810tan765cos360.解析：(1)原式cos83 tan44cos3tan412132；(2)原式sin(236090)tan(236045)cos(3600)1111.考点二 利用三角函数线比较大小例 2分别作出23 和45 的正弦线、余弦线和正切线，并比较 sin23 与sin45，co
6、s23 与 cos45，tan23 与 tan45 的大小分析：作三角函数线的关键是画出单位圆和角的终边；比较三角函数值的大小时需依据三角函数线的长度和正负解析：在直角坐标系中作单位圆如图，以 Ox 轴正方向为始边作23 的终边与单位圆交于 P 点，作 PMOx 轴，垂足为 M.由单位圆与 Ox 正方向的交点 A 作 Ox 轴的垂线与 OP 的反向延长线交于 T点，则 sin23 MP，cos23 OM，tan23 AT.同理，可作出45 的正弦线、余弦线和正切线，sin45 MP，cos45 OM，tan45 AT.由图形可知，MPMP，符号相同，则 sin23 sin45；OMOM，符号相
7、同，则 cos23 cos45；ATAT，符号相同，则 tan23 tan45.点评：比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的有向线段的长度；(3)确定有向线段的正负变式探究 2 设42，试比较角 的正弦线、余弦线和正切线的长度如果234，上述长度关系又如何？解析：如图，当42时，角 的正弦线为 MP，余弦线为OM，正切线为 AT，显然在长度上，ATMPOM；当234 时，角 的正弦线为 MP，余弦线为 OM，正切线为 AT，显然在长度上，|AT|MP|OM|.又因为AT，OM为负的，MP为正的，MPOMAT.考点三 利用三角函数线解三角不等式例
8、 3利用单位圆中的三角函数线，分别确定角 的取值范围(1)sin 32；(2)12cos 32.分析：作出三角函数在边界的正弦、余弦线，然后观察角在什么范围内变化，再根据范围区域写出 的取值范围解析：(1)图(1)中阴影部分就是满足条件的角 的范围，即 2k32k23，kZ.(2)图(2)中阴影部分就是满足条件的角 的范围，即 2k232k6或 2k62k23，kZ.(1)(2)点评：用三角函数线求解简单的三角不等式的注意事项：(1)熟悉角 的正弦线、余弦线、正切线；(2)先找到“正值”区间，即 02 间满足条件的角 的范围，然后再加上周期；(3)注意区间是开区间还是闭区间变式探究3 利用单位
9、圆中的三角函数线分别确定角x的取值范围(1)cosx12；(2)32 sinx 32.解析：(1)如图cosx12，x2k3，2k3(kZ)(2)如图 32 sinx 32.x2k3，2k3 2k23，2k43(kZ)即 xk3，k3(kZ).4 新思维随堂自测1.sin256 的值为()A.12 B.32C12D 32答案：A2已知 62k(kZ)，则 cos2 的值为()A.32B.12C12D 32答案：B3已知(02)的正弦线和余弦线相等，且符号相同，那么 的值为()A.34 或4 B.54 或74C.4或54 D.4或74答案：C4sin240的值为()A.32B.12C12D 32
10、解析：sin240sin(18060)sin60 32，故选 D.答案：D5把 sin1、cos1、tan1 按从小到大顺序排列为_解析：如右图，作出 1 rad 的正弦线 MP、余弦线 OM 和正切线AT.比较大小可知：OMMPAT.所以 sin1、cos1、tan1 从小到大排列顺序为 cos1、sin1、tan1.答案：cos1、sin1、tan15 辨错解走出误区易错点：利用三角函数线解题时，忽略正切线的起点而致错【典例】比较 sin47 与 tan47 的大小【错解】在直角坐标系中作出角47 的正弦线与正切线，如图所示，由图易知 sin47 tan47.【错因分析】上述解法在画正切函数线时，将起点画在了点(1,0)，事实上无论角在什么象限，角对应的正切线都是以点(1,0)为起点的【正解】47 的正弦线与正切线的正确作法如图所示，由图易知，sin47 0，tan47 0，sin47 tan47.【反思】一定要灵活掌握各种三角函数线的正确作法，特别要注意正切函数线的作法.