（江苏专用）2023高考数学总复习 第三篇 导数及其应用《第14讲　用导数研究函数的单调性与极值》课件 理 苏教版.ppt

1、第14讲 用导数研究函数的单调性与极值基础梳理 1函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0f(x)在(a，b)为；f(x)0f(x)在(a，b)为增函数减函数2函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极小值f(x)0 f(x)0(2)求可导函数极值的步骤求f(x)；求方程f(x)0的根；检查f(x)在方程f(x)0的根左右值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得；如果左负

2、右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点极大值一个防范求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念两个条件(1)f(x)0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件(2)对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件双基自测1(教材改编题)f(x)3xx3的单调减区间为_解析 由f(x)33x20，得x1或x1.即f(x)的单调减区间为(，1)和(1，)答案(，1)和(1，)2(2011镇江模拟)函数y2x33x21

3、2x5在0,3上的极小值为_解析 由y6x26x120，得x1(舍去)或2，当x0,2)时，y0，当x(2,3时，y0，故f(x)极小值f(2)15.答案 153函数y3x26lnx的单调增区间为_，单调减区间为_解析 y6x6x6x26x.定义域为(0，)，由y0，得x1，增区间为(1，)；由y0，得0 x1，减区间为(0,1)答案(1，)(0,1)4若函数f(x)ax33x2x恰有3个单调区间，则实数a的取值范围是_解析 由题意f(x)3ax26x10有两个不相等的实数根，故6243a0a0a3且a0.答案(3,0)(0，)5已知a0，函数f(x)x3ax在1，)上是单调递增函数，则a的取

4、值范围是_解析 f(x)3x2a，由f(x)在1，)上单调递增函数，得f(x)0在区间1，)上恒成立，即3x2a0，x1，)恒成立，故实数a3x2在1，)上的最小值，即a3.答案(，3 考向一 利用导数解决函数的单调性问题【例1】已知f(x)exax1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围审题视点(1)通过f(x)0求单调递增区间；(2)转化为恒成解(1)f(x)exax1，f(x)exa.令f(x)0，得exa，当a0时，有f(x)0在R上恒成立；当a0时，有xln a.综上，当a0时，f(x)的单调增区间为(，)；当a0时，f(x)的单调增区间

5、为ln a，)(2)f(x)exax1，f(x)exa.f(x)在R上单调递增，f(x)exa0恒成立，即aex，xR恒成立xR时，ex(0，)，a0.当a0时，f(x)ex在R上，f(x)0恒成立故当a0时，f(x)在定义域R内单调递增函数在指定区间上单调递增(递减)，函数在这个区间上的导数大于或等于零(小于或等于零)，只要不在一段连续的区间上恒等于零即可，求函数的单调区间解f(x)0(或0)即可【训练1】(2011南京学情调查)已知函数f(x)12x2(am)xaln x，且f(1)0，其中a，mR.(1)求m的值；(2)求函数f(x)的单调增区间解(1)由题设知，函数f(x)的定义域为(

6、0，)，f(x)x(am)ax，由f(1)0得1(am)a0，解得m1.(2)由(1)得f(x)x(a1)axxax1x，当a1时，由f(x)0，得xa或0 x1，此时f(x)的单调增区间为(a，)，(0,1)；当a1时，f(x)的单调增区间为(0，)；当0a1时，由f(x)0得x1或0 xa，此时f(x)的单调增区间为(1，)，(0，a)；当a0时，由f(x)0得x1，此时f(x)的单调增区间为(1，)综上所述，当a1时，f(x)的单调增区间为(a，)，(0,1)；当a1时，f(x)的单调增区间为(0，)；当0a1时，f(x)的单调增区间为(1，)，(0，a)；当a0时，f(x)的单调增区间

7、为(1，)考向二 利用导数解决函数的极值问题【例2】已知函数f(x)xln x(x0，x1)(1)求函数f(x)的极值；(2)若不等式exax对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围审题视点(1)由f(x)0求得极值点后再列表讨论(2)对e xax两边取自然对数，得xaln x，然后再求解解(1)函数f(x)xln x 的定义域为(0,1)(1，)，f(x)ln x1ln x2.令f(x)0，解得xe，列表如下：x(0,1)(1，e)e(e，)f(x)0f(x)单调递减单调递减极小值f(e)单调递增由表得函数f(x)的单调减区间为(0,1)及(1，e)，单调增区间为(e，)所以存在极小值为f(e

8、)e，无极大值(2)当x0时，对任意a0，不等式恒成立当x0时，在exax两边取自然对数，得xaln x.当0 x1时，ln x0，当a0，不等式恒成立；如果a0，ln x0，aln x0，不等式等价于a xln x，由(1)得，此时 xln x(，0)，不等式不恒成立当x1时，ln x0，则a0，不等式等价于a xln x，由(1)得，此时 xln x的最小值为e，得0ae.综上，a的取值范围是(0，e)求函数f(x)的极值，先要由f(x)0求出极值点，再列表讨论【训练2】(2011泰州学情调查)已知函数f(x)x33ax29a2xa3.(1)设a1，求函数f(x)的极值；(2)若a14，且

9、当x1,4a时，|f(x)|12a恒成立，试确定a的取值范围解(1)当a1时，对函数f(x)求导，得f(x)3x26x9.令f(x)0，解得x11，x23.列表讨论f(x)，f(x)的变化情况：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)单调递增极大单调递减极小单调递增所以f(x)的极大值是f(1)6，极小值是f(3)26.(2)f(x)3x26ax9a2的图象是一条开口向上的抛物线，关于xa对称若 14 a1，则f(x)在1,4a上是增函数，从而f(x)在1,4a上的最小值是f(1)36a9a2，最大值是f(4a)15a2.由|f(x)|12a，得12a3x26ax9a212a，于是

10、有f(1)36a9a212a，且f(4a)15a212a.由f(1)12a，得13a1.由f(4a)12a，得0a45.所以a14，1 13，1 0，45，即a14，45.若a1，则|f(a)|12a212a.故当x1,4a时，|f(x)|12a不恒成立所以使|f(x)|12a(x1,4a)恒成立的a的取值范围是14，45.考向三 利用导数求参数的取值范围问题【例3】(2011安徽卷)设f(x)ex1ax2，其中a为正实数(1)当a43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围审题视点(1)即求方程f(x)0的根；(2)由f(x)0(0)恒成立，求a的取值范围解

11、对f(x)求导，得f(x)ex1ax22ax1ax22.(1)当a 43 时，由f(x)0，得4x28x30，解得x1 32，x212.结合，可知x，121212，323232，f(x)00f(x)极大值极小值所以x132是极小值点，x212是极大值点(2)若f(x)为R上的单调函数，则f(x)在R上不变号，结合与条件a0，知ax22ax10在R上恒成立，因此4a24a4a(a1)0(a0)，解得0a1.所以a的取值范围为(0,1若f(x)在区间D上单调增(减)，则对任意的xD，恒有f(x)0(f(x)0)，由此可求出含参数的取值范围，另外，还可由af(x)(af(x)恒成立af(x)min(

12、af(x)max)，由f(x)单调性求出f(x)的最大(小)值，从而可确定参数a的取值范围【训练3】(2011江西)设f(x)13x312x22ax.(1)若f(x)在23，上存在单调增区间，求a的取值范围；(2)当0a2时，f(x)在1,4上的最小值为 163，求f(x)在该区间上的最大值解(1)由f(x)x2x2a x122 14 2a，知当x23，时，f(x)的最大值f23 292a.令292a0，得a19.所以，当a19时，f(x)在23，上存在单调递增区间规范解答3函数的单调性及其应用【问题研究】由于函数的单调性可以用来求最值、解不等式和求解恒成立问题，所以要灵活应用单调性解题.,【

13、解决方案】要善于将有关问题转化成单调性问题求解，比如分离参数，构造函数等.【示例】(本题满分14分)(2011陕西卷改编)设函数f(x)定义在(0，)上，f(1)0，导函数f(x)1x，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g1x 的大小关系；比较大小问题，可以转化为求最值，再利用单调性求解解答示范(1)由题设易知f(x)ln x，g(x)ln x1x，所以g(x)x1x2，令g(x)0得x1，(2分)当x(0,1)时，g(x)0，故(0,1)是g(x)的单调减区间，当x(1，)时，g(x)0，故(1，)是g(x)的单调增区间，(4分)因此，x1是g(

14、x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)1.(6分)(2)g1x ln xx，(7分)设h(x)g(x)g1x 2ln xx1x，则h(x)x12x2，(9分)当x1时，h(1)0，即g(x)g1x，当x(0,1)(1，)时，h(x)0，h(1)0，因此，h(x)在(0，)内单调递减，当0 x1时，h(x)h(1)0，即g(x)g1x，当x1时，h(x)h(1)0，即g(x)g1x.(14分)本题主要考查导数的应用，即如何利用导数求函数的单调性和最值【试一试】(2011浙江卷)设函数f(x)a2ln xx2ax，a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)求实数a，使e1f(x)e2对x1，e恒成立注：e为自然对数的底数尝试解答(1)因为f(x)a2ln xx2ax，其中x0，所以f(x)a2x 2xaxa2xax.由于a0，所以f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，)(2)由题意得，f(1)a1e1，即ae.由(1)知f(x)在1，e内单调递增，要使e1f(x)e2对x1，e恒成立，只要f1a1e1，fea2e2aee2.解得ae.