1、四川省泸县第二中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 文（含解析）一选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列表示正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由空集的定义，结合集合与集合的关系及元素与集合的关系逐一判断即可得解.【详解】解：对于选项A，由空集的定义可得：空集是任意集合的子集，即，即A正确，对于选项B，即B错误，对于选项C，即C错误，对于选项D，即D错误，故选：A.【点睛】本题考查了空集的定义，重点考查了集合与集合的关系及元素与集合的关系，属基础题.2. 已知，为虚数单位，且，则的值为A
2、. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：复数相等，只需实部与实部相等，虚部与虚部相等，由于，则，选考点：1.复数相等；2.复数运算；3. 命题“，”的否定为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】分析：根据含有量词的命题的否定为：将任意改为存在，结论否定，即可写出命题的否定详解：由命题“，”，其否定为：， .故选C.点睛：本题的考点是命题的否定，主要考查含量词的命题的否定形式：将任意与存在互换，结论否定即可4. 已知，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据对数函数和指数函数单调性，利用临界值和可得到所处的大致范围，从而得到结果.【详解】 本题正确
3、选项：【点睛】本题考查根据指数函数和对数函数单调性比较大小的问题，关键是能够确定临界值，利用临界值确定所求式子所处的大致区间.5. 某车间加工零件的数量与加工时间的统计数据如表：零件数/个1223 31加工时间/分153045现已求得上表数据回归方程中的值为1.6，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为（ ）A. 155分钟B. 156分钟C. 157分钟D. 158分钟【答案】A【解析】【分析】先求出样本中心点，然后代入求出，从而求出回归方程及可作出预测.【详解】由题意得：，回归直线过样本中心点，故有，故，当时，故选：A.【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解及应用，其
4、中回归直线过样本中心点是解题的关键，属常规考题.6. 如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成的角为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】以为原点，为轴、为轴、为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成的角大小.【详解】以为原点，为轴、为轴、为轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为，则，异面直线与所成的角为，故选D.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两
5、直线成的角，再利用平面几何性质求解.7. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则是异面直线D. 若，则【答案】A【解析】【分析】利用线面垂直的判定，线面平行的判定，线线的位置关系及面面平行的性质逐一判断即可.【详解】对于A，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故A正确.对于B，若，则或，故B错误.对于C，若，则位置关系为平行或相交或异面，故C错误.对于D，若，则位置关系为平行或异面，故D错误.故选：A【点睛】本题主要考查了线面垂直的性质，线面平行的判定和面面平行的性质，属于简单题.8. 已知命题对，成立，则在上为增函数；命题，则下列命
6、题为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的性质分别判断命题的真假再判断各选项的真假即可.【详解】命题当时,因为故；当时,因为故；故随的增大而增大.故命题为真.命题,因.故命题为假命题.故为真命题.故选：B【点睛】本题主要考查了命题真假的判定与函数的性质运用,属于基础题.9. 如图所示，输出的n为（）A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】D【解析】【分析】运行程序，直到时，退出循环结构，输出的值.【详解】运行程序，判断否，判断否，依次类推， ，判断否，判断否，判断否，判断是，退出循环，输出，故选D.【点睛】本小题主要考查程序框图，考查循环结构输出结
7、果，只要根据程序的运行，退出循环之后可 输出的结果，属于基础题.本小题还考查数数列的求和方法，通过观察的变化可知，分母每次都增加，故到后面，正的项和负的项恰好约掉，由此可判断出变为正数时的值的大小.10. 已知是双曲线上的三个点，经过原点,经过右焦点,若且,则该双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】做出如图因为经过原点,经过右焦点,可得为矩形，设AF=a,则根据双曲线定义可知，在得得点睛：根据题意画出草图，分析出为矩形时解题关键，然后根据垂直和已知边长关系及双曲线定义写出每条线段长度，最后借助勾股定理形成等式求解离心率即可11. 已知三棱锥内接于球，平面，则球的表面积
8、为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先得出为等边三角形，设其中心为，可得知，由正弦定理求出，利用公式可计算出球的半径，然后利用球体的表面积公式可计算出球的表面积.【详解】如图，因为，所以是等边三角形，设其中心为，则平面，因为平面，所以.由正弦定理得，则，所以外接球的半径，球的表面积为.故选：C.【点睛】本题考查球体表面积的计算，同时也考查了多面体的外接球问题，解题的关键就是要利用几何关系计算出外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.12. 若函数满足：在定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“1的饱和函数”.给出下列四个函数：；.其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为（
9、 ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】合理利用“1的饱和函数”的定义构造方程，判断方程是否有解，可得结论【详解】，若是“1的饱和函数”，则存在非零实数，使得，即，因为此方程无实数解，所以函数不是“1的饱和函数”；，则存在实数，使得，解得，因为此方程有实数解，所以函数是“1的饱和函数”；，若存在，使，则，即，故方程无解，即不是“1的饱和函数”，存在，使得，即是“1的饱和函数”符合题意的有，故选：B.【点睛】本题主要考查“1的饱和函数”的判断，涉及新函数定义，方程有无实根的判断，属于中档题.二填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数在处的切线斜率为_.【答案】【解析
10、】【分析】首先求得的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率.【详解】因为函数的导数为，所以可得在处的切线斜率，故答案为：【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用已知切点横坐标求斜率，属于容易题.14. 设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则_.【答案】【解析】 为定义在上的奇函数，当时， ，即 当时， ，故答案为15. 双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于3,那么点到另一个焦点的距离等于_【答案】或【解析】【分析】先将双曲线化简成标准形式,得出,设点到另一个焦点的距离为,则根据双曲线的定义,即可解得得值.【详解】解:因为双曲线,化简成标准形式,得出,即,设点到另一个焦点的距离为,则根据双曲
11、线的定义,或.故答案为:或【点睛】本题考查双曲线的定义,根据定义解方程即可得出答案.16. 设函数（1）记集合，则所对应的的零点的取值集合为_（2）若 .（写出所有正确结论的序号）若【答案】（1）；（2）；【解析】（1）因为a=b，所以，即，此时令，做出图像可知，当且仅当时取到；（2）对于，在上为减函数，所以，对于，不妨令，此时，其不等构成三角形的三条边；对于，因为钝角三角形，所以，所以，故正确三解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题，考生根据要求作答.17. 已知函数.（1）求函数在点处的切线方程；（2）求函
12、数的单调区间和极值.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义即可求函数在处的切线斜率，即可求出切线方程；（2）求函数导数，根据导函数的零点的大小关系分类讨论，列表即可求出函数的单调区间及极值.【详解】（1），所以函数在点处的切线方程为；（2）函数的定义域为，令，得解得：或，当时，列表：极大极小可知的单调减区间是，增区间是和，故极大值为，极小值为；当时，列表：极大极小可知的单调减区间是，增区间是和；故极大值为，极小值为；当时，可知函数在上单调递增，无极值.【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论的数学思想，属
13、中档题.18. 某科技公司新研制生产一种特殊疫苗，为确保疫苗质量，定期进行质量检验某次检验中，从产品中随机抽取100件作为样本，测量产品质量体系中某项指标值，根据测量结果得到如下频率分布直方图：(1)求频率分布直方图中的值；(2)技术分析人员认为，本次测量的该产品的质量指标值X服从正态分布，若同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，计算，并计算测量数据落在(187.8，212.2)内的概率；(3)设生产成本为y元，质量指标值为，生产成本与质量指标值之间满足函数关系假设同组中的每个数据用该组区间的中间值代替，试计算生产该疫苗的平均成本参考数据：,【答案】（1）（2）测量数据落在内的概率约为（3）
14、生产该疫苗的平均成本为75.04【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1可求得a；（2）利用频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和求得平均数，再利用正态分布中的得解；（3）根据分段函数的解析式，将每组区间的中间值代入相应的解析式所得的值乘以每组小矩形的面积的积再求和可得解.【详解】（1）由，解得.（2）依题意，故所以故测量数据落在内的概率约为.（3）根据题意得故生产该疫苗的平均成本为75.04.【点睛】本题考查补全频率直方图，计算平均数，正态分布和平均成本的估计，属于基础题.19. 如图，在四棱锥中底面是菱形，是边长为的正三角形，为线段的
15、中点求证：平面平面；是否存在满足的点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】证明见解析；2.【解析】【分析】利用面面垂直的判定定理证明即可；由，知，所以可得出，因此，的充要条件是，继而得出的值.【详解】解：证明：因为是正三角形，为线段的中点，所以因为是菱形，所以因为，所以是正三角形，所以，而，所以平面又，所以平面因为平面，所以平面平面由，知所以，因此，的充要条件是，所以，即存在满足的点，使得，此时【点睛】本题主要考查平面与平面垂直的判定、三棱锥的体积等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、函数与方程等数学思想，属于难题20. 椭圆的离心
16、率为，其左焦点到点的距离为，不过原点O的直线与C交于A,B两点，且线段AB被直线OP平分.（1）求椭圆C的方程；（2）求k的值；（3）求面积取最大值时直线l的方程.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用两点间距离公式以及离心率求出，再由，即可求解.（2）设，由，消元利用韦达定理求得线段的中点，再根据线段的中点在上，可求出解.（3）由（2）求出，到直线的距离，即可求得的面积，从而问题得解.【详解】（1）由题意可得，解得，椭圆C的方程. （2）设，由直线不过原点，可得.由 ，消元可得,线段的中点，在上，易知直线的解析式为，.（3）由（2），将化为，又直线与椭圆相交，又到直线的距
17、离，的面积，令，则，取得最大值，即取得最大值，所求直线的方程为.【点睛】本题考查了由离心率求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系以及直线与椭圆中围成三角形面积范围问题，考查了学生的计算能力，综合性比较强，属于难题.21. 设函数 （1）若函数在上递增，在上递减，求实数的值.（2）讨论在上的单调性；（3）若方程有两个不等实数根，求实数的取值范围，并证明. 【答案】（1）.（2）答案见解析.（3），证明见解析【解析】【分析】(1) 通过求导来判断极值点，以此求出a的值;（2）求导后对分类讨论，分，且三种情况，讨论函数的单调性即可；（3）构造函数，通过导数研究的大致图象，数形结合可得的取值范围，要证
18、明，即证，即证，做差转化为利用导数研究函数的最小值即可证明.【详解】（1）由于函数在上递增，在上递减，由单调性知是函数的极大值点，无极小值点，所以，故，此时满足是极大值点，所以；（2），当时，在上单调递增.当，即或时，在上单调递减.当且时，由 得.令得；令得.在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上递增；当或时，上递减；当且时，在上递增，在上递减. （3）令，当时，单调递减；当时，单调递增；故在处取得最小值为，又当，所以函数大致图象为：由图象知：.不妨设，则有，要证，只需证即可，令，则在上单调递增，故即，.【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性、极值、最值等问题.分类讨论、转化化归思想以
19、及函数思想贯穿解答的整个过程;还用到了极限思想，综合性较强，属于难题.22. 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的普通方程为，曲线C2参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）求C1的参数方程和的直角坐标方程；（2）已知P是C2上参数对应的点，Q为C1上的点，求PQ中点M到直线的距离取得最大值时，点Q的直角坐标.【答案】（1）（为参数）；（2）.【解析】【分析】（1）由椭圆的参数方程的形式得到曲线C1的参数方程，又由直线l的极坐标方程可知直线l过原点，斜率为1，则可求出的直角坐标方程（2）由题意写出P，Q的坐标，可
20、得M的坐标，利用点到直线距离求解Q坐标即可【详解】（1）的参数方程为（为参数）；的直角坐标方程为.（2）由题设，由（1）可设，于是.到直线距离，当时，取最大值，此时点的直角坐标为.【点睛】本题考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化，考查运用参数解决问题的能力，是基础题23. 已知函数.（1）解不等式；（2）若正数，满足，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）去绝对值，根据分段函数的解析式即可求出不等式的解集；（2）由题意得，再根据基本不等式即可求出.【详解】（1）因为所以当时，由，解得当时，由，解得又，所以当时，不满足，此时不等式无解综上，不等式的解集为（2）由题意得所以=当且仅当时等号成立，所以的最小值为.【点睛】本题考查解绝对值不等式和利用基本不等式的简单证明，注意利用基本不等式证明时要强调等号成立的条件！