1、湖北省武汉市第二中学2016-2017学年高二下学期期中考试文数试题一、选择题（每小题5分，共60分）1. 下列说法中不正确的是（ ）A. “”是“”的充分不必要条件B. 命题，则C. 命题：“若 都是偶数，则 是偶数”的否命题是“若不是偶数，则 不是偶数”D. 命题所有有理数都是实数，正数的对数都是负数，则为真命题【答案】C【解析】A.正确，B.是全称命题的否定也正确；C.不正确，应改为，“若 不都是偶数，则不是偶数”；D.正确，命题正确，命题不正确，例如 ，那么是真命题.故选C.2. 设函数，若曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处曲线的斜率为（ ）A. 4 B. C. 2 D. 【答案】A
2、考点：求导法则及导数的几何意义点睛：先根据曲线在点处的切线方程为，可得，再利用函数，可知，从而可求曲线在点处切线的斜率3. 如图，直线和圆，当从开始在平面上绕点按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，这个函数的图像大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】直线在绕过圆心前阴影面积增长的越来越快，过圆心后阴影面积增长的越来越慢了，故选D.4. 下列参数方程能与方程表示同一曲线的是（ ）A. 为参数 B. 为参数C. 为参数 D. 为参数【答案】D【解析】A. ；B. ；C. ；D. ，即 ，故选D.5. 椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点，当
3、的周长最大时，的面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】D6. 已知圆，设条件，条件圆上至多有2个点到直线的距离为1，则是的（ ）条件.A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要【答案】C【解析】因为圆心到定直线的距离为，若半径，如上图，则恰有三个点到定直线的距离都是1。由于，故圆上最多有两个点到直线的距离为1；反之也成立，应选答案C.7. 已知函数在上不单调，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A考点：函数的单调性与导数.8. 已知，则与的大小关系为（ ）A. B. C. D. 不确定【答案】B【解析】 ，所以 ，故选B.9. 设函数，则函数（
4、 ）A. 在区间和上都有零点 B. 在区间和上都无零点C. 在区间上有零点，在区间上无零点 D. 在区间上无零点，在区间上有零点【答案】D【解析】 ，当，函数单调递减，当时，函数单调递增， ，所以上无零点， ， ，所以函数在区间有零点，故选D.10. 已知圆，抛物线，与相交与两点，且，则抛物线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C点睛:本题考查了直线与圆，直线与抛物线和圆与抛物线的位置关系，如果直接选择圆与抛物线联立，那不易得到两个交点坐标，所以首先看成直线与圆的位置关系，根据弦心距公式得到直线方程，再让直线与抛物线联立，得到交点的坐标，求出抛物线方程.11. 曲线为参数和交于两点，
5、则中点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：将直线化为普通方程为:,代入圆的方程并整理可得,解得或.时;时,不妨令,的中点为.故D正确.考点：1参数方程与普通方程间的互化;2中点坐标公式.12. 若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实数根个数是（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】A【解析】 ，因为是方程 的两个实根，设 ，所以时，或 ，函数在单调递增，单调递减，如图画出函数图象，因为，如图，有2个交点，有1个交点，所以共有3个交点，故选A.点睛:本题考查了函数与方程的转化关系，并且是嵌套型方程的实根问题，根据数形结合求实根个数，属于中档题型，本题的关
6、键是利用函数图象解决实根个数，而这种嵌套型方程，最终转化为和的交点个数，另一个难点是条件与图象的联系，分析好了这些，就容易得到和的位置，问题就迎刃而解了.二、填空题（每小题5分，共20分）13. 若过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好在椭圆，则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】略14. 对任意实数和，不等式恒成立，则实数的取值范围为_.【答案】15. 已知函数对任意上总有成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】当时，恒成立，当时，即 ，设 ， 时，当 ，函数单调递增，时，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值， ，所以 ，故填： .16. 设函数是自然对数的底数,若是函数的最小
7、值，则的取值范围为_.【答案】点睛:分段函数的考查是高考的热点，本题考查了分段函数的一些性质，求分段函数的最小值，分别求两段函数的最小值然后再比较，根据分段函数的单调性求参数取值，两段函数需分别满足函数的单调性，分界点处也需满足单调性，具备这两点才能正确求出参数取值.三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分）17. 用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角为多大时，容器的容积最大？【答案】.【解析】试题分析：设圆锥底面半径为，高为 ，那么，再根据，代入 ，利用导数求得函数的最大值，以及和，而圆心角.试题解析：设圆锥的底面半径为，高为，体积为，则，因
8、此，令 解得。 当时容积最大，把代入得由得，即圆心角为时容积最大。18. 设：实数满足不等式，：函数无极值点.（1）若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围；（2）已知“”为真命题，并记为，且：，若是的必要不充分条件，求正整数的值【答案】（1）;（2） .【解析】试题分析：由，得；函数无极值点，恒成立，得，解得（1）“”为假命题，“”为真命题，则与只有一个命题是真命题，分成真假和假真两类来求的取值范围；（2）“”为真命题，两个都是真命题，所以将因式分解得，解得或，是的必要不充分条件得，解得，所以（2）“”为真命题，8分又，或，10分即或，从而，是的必要不充分条件，即是的充分不必要条件，解
9、得，12分考点：含有逻辑联结词命题真假性19. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数， ，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为. （1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最小值；（2）若曲线上所有点都在直线的右下方，求的取值范围.【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：（）利用点到直线的距离公式，结合三角函数化一公式求最值;（）由题意对，有恒成立，转化为最值问题.（）曲线上的所有点均在直线的右下方，对，有恒成立，即（其中）恒成立，又，解得，故的取值范围为.20. 已知函数. （1）求不等式的解集；（2）若函数 的最小值为且，求的最小值.【答案】
10、（1）;（2）.试题解析： （1）由知，于是，解得，故不等式的解集为（2）由条件得，当且仅当时，其最小值，即又，所以，故的最小值为，此时，考点：绝对值不等式；基本不等式21. 在平面直角坐标系中，已知点，直线，动直线垂直于于点，线段 的垂直平分线交于点，设的轨迹为. （1）求曲线的方程；（2）以曲线上的点为切点作曲线的切线，设 分别与轴交于两点，且恰与以定点为圆心的圆相切. 当圆的面积最小时，求与面积的比.【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：（1）根据垂直平分线的性质可知，满足抛物线的定义，点是抛物线的焦点，是抛物线的准线，写出方程；（2）首先设切线方程与抛物线方程联立，解得，回代切线方
11、程得，分别求出点的坐标，并且求出圆心到直线的距离的最小值，并且根据基本不等式里面等号成立的条件求出切点坐标，回代各点的坐标，计算两个三角形的面积.试题解析：（1）由题意得， 点到直线的距离等于它到定点的距离 点的轨迹是以为准线、为焦点的抛物线 点的轨迹的方程为。(2）由题意知切线的斜率必然存在，设为，则，由 得即由得 令则 令则， 点到切线的距离（当且仅当时取等号） 当点的坐标为时，满足题意的圆的面积最小，此时 即与的面积比为。点睛:本题考查了抛物线的标准方程，抛物线的几何性质，以及直线和圆，直线和抛物线的位置关系的相关问题，当题设涉及直线，圆，圆锥曲线时，一般是直线与圆锥曲线相交于两点，需联
12、立方程，得到根与系数的关系，而直线与圆经常利用圆的几何性质，得到一些常量，这些不变的量和圆锥曲线建立联系，从而进一步求解.22. 已知，其中为自然对数的底数，. （1）当时，求的极值，并证明恒成立；（2）是否存在实数，使的最小值为3？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：（1）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出f（x）的极小值，令，求出h（x）的最大值，从而证出结论即可；（2）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数f（x）的最小值，求出a的值即可（2）假设存在实数，使有最小值 ，.当时，在上单调递减，（舍去），时，不存在使的最小值为3.当时，在上单调递减，在上单调递增，满足条件.当时，在上单调递减，（舍去），时，不存在使的最小值为 .综上，存在实数，使得当时，有最小值 .点睛:本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，涉及到不等式恒成立的证明和探索是否存在实数a,使有最小值，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化，合理地运用分类讨论思想进行解题.