1、6.2垂直关系的性质课时过关能力提升1.已知直线l垂直于ABC的两边AB,AC,直线m垂直于ABC的两边BC,BA,则直线l,m的位置关系是()A.异面B.平行C.相交D.不确定答案:B2.已知平面,直线a,b,则下列命题正确的是()A.,则B.,则C.=a,=b,则abD.,=a,ab,则b解析:选项A中,可以相交;选项C中,如图所示,a与b不一定垂直;选项D中,b仅垂直于内的一条直线a,不能判定b.答案:B3.已知平面,直线l,若,=l,则()A.垂直于平面的平面一定平行于平面B.垂直于直线l的直线一定垂直于平面C.垂直于平面的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l的平面一定与平面,都垂直解
2、析:若,=l,则垂直于的平面可以与相交,故选项A错误;当直线在内,且垂直于交线l时,才垂直于平面,故选项B错误;垂直于的平面可以与l相交,故C项错误;由面面垂直的判定定理可知D项正确.答案:D4.若P为ABC所在平面外的一点,且PA,PB,PC两两垂直,有下列命题,则其中真命题的个数是()PABC;ABBC;P在平面ABC上的射影为ABC的内心.A.0B.1C.2D.3解析:PAPB,PAPCPA面PBC,PABC,即为真命题;同理PCAB,若ABBC,则AB面PBC,PAAB,矛盾,即为假命题;设点P在面ABC上的射影为点H,易证AHBC,BHAC,CHAB,所以点H为ABC的垂心,即为假命
3、题.答案:B5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=3,若棱AB上存在点P,使得D1PPC,则棱AD的长的取值范围是()A.0,32 B.0,32 C.0,94 D.0,94解析:如图所示,当0AD32时,以DC=3为直径的圆与AB有交点P,连接CP,DP,则CPDP.DD1底面ABCD,DD1CP.又DD1DP=D,DD1平面PDD1,DP平面PDD1,CP平面PDD1.又D1P平面PDD1,CPD1P,满足题意.故选A.答案:A6.已知,是两个平面,m,n是两条直线,给出如下四个论断:m;n;mn.现以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,请写出其中一个正确的命题.解
4、析:由m,mn可知n,结合n,可得.答案:7.如图所示,三棱锥A-BCD是长方体木料的一角,现欲从顶点A沿着底面BCD的垂线方向钻孔,则出口位置是BCD的(填“重心”“垂心”“内心”或“外心”).解析:由于三棱锥A-BCD的顶点A所在的三个角都为直角,过点A作AO垂直于底面BCD,则点O为BCD的垂心.答案:垂心8.在空间四边形ABCD中,ABD,CBD都是边长为1的正三角形,且平面ABD平面CBD,E,F,G,H为空间四边形AB,AD,CD,BC边上的中点,则四边形EFGH的面积是.解析:依题意,作出如右示意图,取BD的中点为O,连接AO,CO,因为ABD,CBD都是边长为1的正三角形,所以
5、AOBD,COBD,AOCO=O,所以BD平面AOC,AC平面AOC,所以BDAC.因为E,F,G,H为空间四边形AB,AD,CD,BC边上的中点,所以EFGH12BD,FGEH12AC.因为BDAC,故EFFG,即四边形EFGH为矩形.在等腰直角三角形AOC中,AC2=AO2+CO2=322+322=32,所以AC=62,故FG=64,所以四边形EFGH的面积S=EFFG=1264=68.答案:689.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=9,BC=12,AB=15.求证:ACB1C.证明AC=9,B
6、C=12,AB=15,AB2=AC2+BC2.ACB=90,即ACBC.CC1平面ABC,AC平面ABC,ACCC1.又CC1BC=C,AC平面BB1C1C.B1C平面BB1C1C,ACB1C.10.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,平面PAC平面ABCD,且PAAC,PA=AD=2.四边形ABCD满足BCAD,ABAD,AB=BC=1,E为侧棱PB的中点,F为侧棱PC上的任意一点.(1)若F为PC的中点,求证:平面EFP平面PAB;(2)是否存在点F,使得直线AF与平面PCD垂直?若存在,写出证明过程并求出线段PF的长;若不存在,请说明理由.(1)证明E,F分别为侧棱PB,PC的中点,EFB
7、C.BCAD,EFAD.平面PAC平面ABCD,且PAAC,平面PAC平面ABCD=AC,PA平面ABCD.AD平面ABCD,PAAD.又ABAD,PAAB=A,PA平面PAB,AB平面PAB,AD平面PAB,EF平面PAB.又EF平面EFP,平面EFP平面PAB.(2)解存在点F,使得直线AF与平面PCD垂直.理由如下.在平面PCA中,过点A作AFPC,垂足为F.由已知得ABAD,BCAD,AB=BC=1,AD=2.取AD的中点M,连接CM,根据勾股定理,易知CDAC.由(1)PA平面ABCD,得PACD,且PAAC=A,PA平面PAC,AC平面PAC,CD平面PAC,又AF平面PAC,CDAF.CDPC=C,CD平面PCD,PC平面PCD,AF平面PCD.在PAC中,PA=2,AC=2,PAC=90,PC=PA2+AC2=6,AF=PAACPC=233,PF=PA2-AF2=263.故PC上存在点F,使得直线AF与平面PCD垂直,此时线段PF的长为263.