1、广东省佛山市第一中学2020-2021学年高二数学上学期第一次段考试题（重点班）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 如图，ABCD是圆柱的轴截面，,点E在底面圆周上，且是的中点，则异面直线AE与BD所成角的正切值为（ ）A. B. C. D. 2. 对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面以下结论正确的是（ ）A. 若是异面直线，则相交B. 若，则C. 若共面于，则D. 若不平行，则为异面直线3. 如图所示，在正方体中，点E是棱上的一个动点，平面交棱于点则下列结论中错误的是（ ）A. 存在点E，使得平面B. 存在点E，使得平面C. 对于任意的点E，平面平面D. 对于任意的点E，四棱锥
2、的体积均不变4. 已知三棱锥的每个顶点都在球O的球面上，平面平面PBC，则球O的体积为（ ）A. B. C. D. 5. 如图，在直三棱柱中，则与平面所成的角为（ ）A. B. C. D. 6. 如图，正三棱柱底面是正三角形，侧棱垂直底面的各条棱长均相等，D为的中点M、N分别是、上的动点含端点，且满足当M，N运动时，下列结论中不正确的是（ ）A. 平面平面B. 三棱锥的体积为定值C. 可能为直角三角形D. 平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为7. 如图，在矩形ABCD中，E、N分别为边AB、BC的中点，沿DE将折起，点A折至处与A不重合，若M、K分别为线段、的中点，则在折起过程中（ ）A
3、. DE可以与垂直B. 不能同时做到平面且平面C. 当时，平面D. 直线、BK与平面BCDE所成角分别为、，、能够同时取得最大值8. 如图，四棱锥中，ABCD为矩形，平面平面ABCD，Q是线段PC上的点不含端点设AQ与BC所成的角为，AQ与平面ABCD所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）A. B. C. D. 不定项选择题（共4小题，共20分）9. 如图，在正四棱锥中，E是PC的中点设棱锥与棱锥的体积分别为，PB，PC与平面BDE所成的角分别为，则（ ）A. 平面BDE B. 平面BDEC. D. 10. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，,侧面PAD为正三角形，且平面平面ABCD，则下
4、列说法正确的是（ ）A. 在棱AD上存在点M，使平面PMBB. 异面直线AD与PB所成的角为C. 二面角的大小为D. 平面PAC11. 如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥，则下列命题中，正确的是（ ） A. 直线平面B. 三棱锥的外接球的表面积是C. D. 若E为CD的中点，则平面12. 如图，在长方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（ ）A. 四点共面B. 平面平面C. 直线BN与所成角的为D. 平面ADM三、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面围成的几何体，体现了数学的对称美将正方
5、体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，如下图所示，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体若二十四等边体的棱长为2，且其各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为_14. 如图，平面ABCD，ABCD为正方形，且，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为_15. 如图，二面角的大小是，线段，AB与l所成的角为，则AB与平面所成角的正弦值是_16. 如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折成大小等于的二面角，M，N分别为AC，的中点，若，则线段MN长度的取值范围为 .三
6、解答题（共6题，共70分）17.（本题10分）如图：已知平面。求证：18（本题12分）如图，四边形是边长为1的正方形，平面，平面，且（1）求证：平面；（2）求证：平面面19. 如图，几何体ABCDEF中，均为边长为2的正三角形，且平面平面DFE，四边形BCED为正方形,平面平面ABC. (1)求证：平面平面BCF；(2)求直线AD与平面BCED所成角的正弦值20.（本题12分）已知三棱柱中且。（1） 二面角的余弦值。（2） 求与平面所成的角余弦值。21.(本题12分)如图，四边形ABCD为正方形，分别为的中点，以DF为折痕把折起，使点C到达点P的位置，且证明：平面PEF；求直线DP与平面ABF
7、D所成角的正弦值22.（本题12分）如图，四棱锥中，平面ABCD，E为PB的中点证明：平面平面PBC；求直线PA与平面ACE所成角的正弦值2020年高二数学第一次段考重点班试卷一、选择题（本大题共12小题，共60分）17. 如图，ABCD是圆柱的轴截面，,点E在底面圆周上，且是的中点，则异面直线AE与BD所成角的正切值为（A）A. B. C. D. 18. 对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面以下结论正确的是（C）A. 若是异面直线，则相交B. 若，则C. 若共面于，则D. 若不平行，则为异面直线19. 如图所示，在正方体中，点E是棱上的一个动点，平面交棱于点则下列结论中错误的是（B）A.
8、 存在点E，使得平面B. 存在点E，使得平面C. 对于任意的点E，平面平面D. 对于任意的点E，四棱锥的体积均不变20. 已知三棱锥的每个顶点都在球O的球面上，平面平面PBC，则球O的体积为（B ）A. B. C. D. 21. 如图，在直三棱柱中，则与平面所成的角为（A）A. B. C. D. 22. 如图，正三棱柱底面是正三角形，侧棱垂直底面的各条棱长均相等，D为的中点M、N分别是、上的动点含端点，且满足当M，N运动时，下列结论中不正确的是（C）A. 平面平面B. 三棱锥的体积为定值C. 可能为直角三角形D. 平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为23. 如图，在矩形ABCD中，E、N
9、分别为边AB、BC的中点，沿DE将折起，点A折至处与A不重合，若M、K分别为线段、的中点，则在折起过程中（D）A. DE可以与垂直B. 不能同时做到平面且平面C. 当时，平面D. 直线、BK与平面BCDE所成角分别为、，、能够同时取得最大值24. 如图，四棱锥中，ABCD为矩形，平面平面ABCD，Q是线段PC上的点不含端点设AQ与BC所成的角为，AQ与平面ABCD所成的角为，二面角的平面角为，则（D）A. B. C. D. 不定项选择题（共4小题，共20分）25. 如图，在正四棱锥中，E是PC的中点设棱锥与棱锥的体积分别为，PB，PC与平面BDE所成的角分别为，则（ACD）A. 平面BDE B
10、. 平面BDEC. D. 26. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，,侧面PAD为正三角形，且平面平面ABCD，则下列说法正确的是（ABC）A. 在棱AD上存在点M，使平面PMBB. 异面直线AD与PB所成的角为C. 二面角的大小为D. 平面PAC27. 如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥，则下列命题中，正确的是（AB） A. 直线平面B. 三棱锥的外接球的表面积是C. D. 若E为CD的中点，则平面28. 如图，在长方体中，M，N分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（BC）A. 四点共面B. 平面平面C. 直线BN与所成角的为D. 平面ADM三、填空题（本大题共
11、4小题，共20分）29. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面围成的几何体，体现了数学的对称美将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，如下图所示，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体若二十四等边体的棱长为2，且其各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为_30. 如图，平面ABCD，ABCD为正方形，且，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为_31. 如图，二面角的大小是，线段，AB与l所成的角为，则AB与平面所成角的正弦值是_32.
12、如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折成大小等于的二面角，M，N分别为AC，的中点，若，则线段MN长度的取值范围为 .三解答题（共6题，共70分）17.（本题10分）如图：已知平面。求证：18（本题12分）如图，四边形是边长为1的正方形，平面，平面，且（1）求证：平面；（2）求证：平面面19. 如图，几何体ABCDEF中，均为边长为2的正三角形，且平面平面DFE，四边形BCED为正方形,平面平面ABC. (1)求证：平面平面BCF；(2)求直线AD与平面BCED所成角的正弦值20.（本题12分）已知三棱柱中且。（3） 二面角的余弦值。（4） 求与平面所成的角余弦值。21.(本题12分)
13、如图，四边形ABCD为正方形，分别为的中点，以DF为折痕把折起，使点C到达点P的位置，且证明：平面PEF；求直线DP与平面ABFD所成角的正弦值22.（本题12分）如图，四棱锥中，平面ABCD，E为PB的中点证明：平面平面PBC；求直线PA与平面ACE所成角的正弦值答案和解析1.【答案】A解：令，则，如图：取的中点F，连结BF、DF，则，所以或其补角为异面直线AE与BD所成的角在中，所以，又，所以，所以，所以在中，故选A2.【答案】C解：若，m，n异面直线，则，可能平行或相交，故A错误B.若，可得，则或，故B错误C.若，m，n共面于，则n，C正确D.若，不平行，则m，n为异面直线也可能相交故选
14、C3. 【答案】B解：对A，当E为的中点时，则F也为的中点，平面；故A为真命题；对B，假设平面，则在平面和平面上的射影，分别与BE，BF垂直，可得E与重合，F与重合，而B，四点不共面，不存在这样的点E，故B为假命题你；对C，平面，平面，平面平面，故C是真命题；对D，平面，四棱锥的体积为定值，故D是真命题；故选B4.【答案】B解：如图，取BC的中点H，连接PH，则因为为直角三角形，所以其外接圆圆心为AB的中点M，设四面体PABC的外接球球心为O，则平面ABC，易知点O，点P位于平面ABC同侧，又因为平面ABC，所以，连接MH，OP，故四边形OMHP为直角梯形，过O作于点N，则四边形OMHN为矩形
15、，连接OB，设四面体PABC的外接球的半径为R，在中，所以，在中，所以，在中，在直角梯形OMHP中，在中，即解组成的方程组，得，所以，解得负值舍去所以四面体PABC的外接球的体积故选B5.【答案】A解：如图，取的中点M，连结，AM，作，平面，平面，平面，平面，平面与平面所成角为在中，故选A 6. 【答案】C解：如图，当M、N分别在、上运动时，若满足，则线段MN必过正方形的中心O，而D，O分别为，中点，则，而平面即，平面即，故BB，故BB，因为，且，故D平面，而平面DMN，平面平面，A正确；当M、N分别在、上运动时，的面积不变，N到平面的距离不变，棱锥的体积不变，即三棱锥的体积为定值，B正确；若
16、为直角三角形，则必是以为直角的直角三角形，易证，所以为等腰直角三角形，所以，即设正三棱柱的棱长为2，则因为MN的最大值为，所以MN不可能为，所以不可能为直角三角形；当M、N分别为，中点时，平面DMN与平面ABC所成的角为0，当M与B重合，N与重合时，平面DMN与平面ABC所成的锐二面角最大，为，等于平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为，D正确故选：C7.【答案】D解：对于A，连接EC，假设，又，平面，而，A错误；对于B，取DE，DC中点G，F，连接GM，GN，FK，平面平面GMN，平面平面，故能同时做到平面且平面B错误；对于C，连接ME，EN，当时，而，与ME不垂直，即MN不垂直平面，C
17、错误；对于D，在以DE为直径球面上，球心为G，的轨迹为外接圆与F不重合，F为CD的中点，连接EC，取EC中点T，连接TK、TB，则，且，在中，由余弦定理得，当直线BK与平面BCDE所成角取得最大值时，点K到平面BCDE的距离最大，由于点K为的中点，此时，点到平面BCDE的距离最大，由于，当与平面BCDE所成角最大时，点到平面BCDE的距离最大所以，直线、BK与平面BCDE所成角能同时取到最大值故选D8.【答案】D【解析】解：取AD的中点F，连接PF、CF，平面平面ABCD，平面PAD，平面平面，平面ABCD，平面PCF，平面平面ABCD过Q作，连接OA，过O作于E，连接QE，平面平面，平面PC
18、F，平面ABCD，矩形ABCD，过O作于S，连接SQ，则，平面ABCD，平面ABCD，OS、平面SQO，平面SQO，综上所述，故选：D9.【答案】ACD解：连接AC，交BD于O，则O为正四棱锥的底面中心，为AC的中点，连接OE，为线段PC的中点，又平面BDE，平面BDE，平面BDE，故A正确；，而E为PC的中点，与BE不垂直，与平面BDE不垂直，故B错误；连接PO，取OC中点F，连接EF，则PO，EF分别为棱锥与棱锥的高，是PC的中点，棱锥与棱锥的体积的高的比为，又底面ABCD和BCD的面积的比为，故C正确；设P在平面BDE中的射影为G，连接GE，GB，则和分别为PB，PC与平面BDE所成的角
19、，由于直角边PG公用，故D正确；故选ACD10.【答案】ABC解：如图所示，取AD的中点M，连接PM，BM，连接对角线AC，BD相较于点O侧面PAD为正三角形，又底面ABCD为菱形，是等边三角形又，PM，平面平面PMB，因此A正确B.由A可得：平面PMB，平面PMB，异面直线AD与PB所成的角为，正确C.平面平面，平面PBM，又PB，平面PMB， 是二面角的平面角，设，则，在中，因此正确D.与PA不垂直，与平面PAC不垂直，因此D错误故选ABC11.【答案】AB解：由正方形的性质可得，OC为相交直线，可得平面，故A正确；由，则O为三棱锥的外接球的球心，半径为，其表面积为，故B正确；若，又，可得
20、平面，可得，由于，不成立，故C错误；若E为CD的中点，可得，若平面，可得，即，可得，则，O，C三点共线，不成立，故D错误故选AB12.【答案】BC解：对于A，由图显然AM、BN是异面直线，故四点不共面，故A错误；对于B，由题意平面，故平面平面，故B正确；对于C，取CD的中点O，连接BO、ON，可知三角形BON为等边三角形，故C正确；对于D，平面，显然BN与平面ADM不平行，故D错误；故选BC13.【答案】解：由“半正多面体”的特征可知，截得“半正多面体”的正方体的面的对角线长等于球的直径，设正方体的棱长为2a，若二十四等边体的棱长为2，则，即，所以正方体的棱长为，所以该正方体的面的对角线长，所
21、以球的直径为，则，球的表面积为故答案为14【答案】解：如图，取BC的中点G，连接FG，EG，AG，则，通过异面直线所成角的性质可知或其补角就是异面直线EF与BD所成的角设，则，同理可得又，所以在中，由余弦定理得，故异面直线EF与BD所成角的余弦值为故答案为：15.【答案】解：过点A作平面的垂线，垂足为C，则，则，在内过C作l的垂线，垂足为D，即，连接AD，又，平面ACD，平面ACD，则平面ACD，又平面ACD，可知，故为二面角的平面角，又由已知，连接CB，则为AB与平面所成的角，设，则，故答案为：16.【答案】三、解答题：17.证明：设在平面内取一点，过作交于，过作交于B。且又又同理可证又且1
22、8：（1）是正方形，平面；(2分)又平面，平面，平面，(4分)所以平面平面，故平面；(6分)（2）如图补全为一个正方体，四边形ABND是正方形，(8分)又(10分)(12分)19解：证明：取BC的中点O，DE的中点G，连接AO，OF，FG，AG，因为，平面平面ABC，平面平面，平面ABC，故A平面BCED，同理平面BCED，故，又因为，AOFG为平行四边形，所以，平面BCF，平面BCF，所以平面BCF，又，平面BCF，平面BCF，所以平面BCF，又因为AG和DE交于点G，AG，平面ADE，所以平面平面BCF；（2）由等积法求B到平面ACE的距离由（1）知：故A平面BCED连结OD，则OD是AD
23、在平面BCED内的射影直线AD与平面BCED所成角直线AD与平面BCED所成角的正弦值20.解：（1）如图过作交于，连结，则所以是二面角的平面角。设，在中，又在三角形中，由余弦定理知：(2) 过作交平面于，连结，是在平面内的射影，所以是与平面所成的角过作交分别于，连结，易证，,同理在可求得，所以中可求得求与平面所成的角余弦值。21.证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，则，由于四边形ABCD为正方形，所以由于，EF，平面PEF，则平面PEF解：在平面DEF中，过P作于点H，联结DH，由得平面PEF，得，又，EF，平面ABFD，有平面ABFD故直线DP与平面ABFD所成角为，由于EF为面
24、ABCD和面PEF的交线，则面ABFD，故在三棱锥中，可以利用等体积法求PH，因为且，所以，又因为，所以，所以，由于，DE，平面PDE，则平面PDE，故，因为且面PEF，所以面PEF，平面PEF，所以设正方形边长为2a，则，在中，所以，故，又因为，所以，所以在中，即DP与平面ABFD所成角的正弦值为22.解：证明：因为平面ABCD，平面ABCD，所以（2分）又，所以所以，故AC，（4分）又，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，又平面ACE，所以平面平面PBC（6分）因为平面ABCD，平面ABCD，所以又，所以过点P作，垂足为M由知平面平面PBC，所以平面ACE（8分）在中，由等面积法得又点E为AB的中点，所以，所以（10分） ,设直线PD与平面ACE所成的角为，所以直线PD与平面ACE所成角的正弦值（12分）
