1、河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试（3月）理数试题第卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符台题目要求的1已知集合，则（ ）A B C D【答案】B2设复数满足（为虚数单位），则（ ）A B C D【答案】D【解析】由题意得选D.3已知等差数列的公差和首项都不等于，且，成等比数列，则等于（ ）A B C D【答案】B【解析】由题意得，因此选B.4某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）A1 B C D【答案】C【解析】几何体为一个四棱锥，其中,所以，因此面积最大的侧面面积为，选C.5甲乙和其
2、他名同学合影留念，站成两排三列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这名同学的站队方法有（ ）A种 B种 C种 D种【答案】C点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题间接法.6已知圆的方程为，直线的方程为，过圆上任意一点作与夹角为的直线交于，则的最小值为（ ）A B C D【答案】D【解析】选D.7如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框闰，表示估计的结果，刚图中空白框内应填入（ ）A B C D【答案】C【解析】由题意得
3、,选C.8设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且外接球的半径为，则该圆锥的体积为（ ）A B C D【答案】B【解析】由题意得圆锥的轴截面为正三角形,其外接圆半径为2,所以圆锥底面半径为 ,高为3,体积为,选B.9如图，、是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于点、若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A B C D【答案】A【思路点睛】(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|PF2|F1F2|，双曲线的定义中要求|PF1|PF2|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2)注意数形结合，画出合理草图.10
4、设函数，若，满足不等式，则当时，的最大值为（ ）A B C D【答案】B【解析】因为,所以函数为奇函数,又因为为单调减函数,且所以为上减函数,因此,因为,所以可行域为一个三角形及其内部,其中,因此直线过点时取最大值,选B.点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.11在
5、中，角，的对边分别为，且，则角的最大值为（ ）A B C D【答案】A点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.12已知函数，关于的方程，有个不同的实数解，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】,因为 ,所以 时; 时;而 时单调递减,; 时单调递增,;因此有两个根,则需有3个根, 即,选C.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、
6、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等第卷(非选择题，共90分)二、填空题：本题共4个小题每小题5分，共20分13已知角的始边与轴非负半轴重台，终边在射线上，则_【答案】【答题空13-1】14意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：.该数列的特点是：前两个数均为，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，则_【答案】【答题空14-1】1【解析】 ,所以所求式等于15如图，扇形的弧的中点为，动点，分别在线段，上，且，若，则的取值范围是_【答案】
7、【答题空15-1】 【解析】以为坐标原点， 所在直线为轴建立直角坐标系，则，设，则，因此点睛：(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.16已知椭圆的左、右顶点分别为、，为椭圆的右焦点圆上有一动点，不同于，两点，直线与椭圆交于点，则的取值范围是_【答案】【答题空16-1】 三、解答题：本文题共6个小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步
8、骤17已知数列中，其前项和为，且满足，(1)求数列的通项公式；(2)记，若数列为递增数列，求的取值范围【答案】(1) ;（2）【解析】试题分析: (1)由和项求通项,一般利用进行转化，得到项之间递推关系式，再利用叠乘法求通项，（2）研究数列单调性，只需研究相邻两项之间关系即可，本题数列为递增数列，等价于恒成立，再利用变量分离转化为对应数列最值问题：的最小值，最后根据数列单调性求最小值，即得的取值范围试题解析:(1)，即， .点睛：解决数列的单调性问题可用以下三种方法用作差比较法，根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列.用作商比较法，根据与1的大小关系及符号进行判断.结合相应函数的图像
9、直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件18某厂有台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需名工人进行维修每台机器出现故障需要维修的概率为(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于？(2)已知一名工人每月只有维修台机器的能力，每月需支付给每位工人万元的工资每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生万元的利润，否则将不产生利润若该厂现有名工人求该厂每月获利的均值【答案】(1) ;(2) 试题解析: (1)一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为事件
10、，则事件的概率为该厂有台机器就相当于次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为，则，即的分布列为：X01234设该厂有名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为，即，这个互斥事件的和事件，则01234，至少要名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于则故该厂获利的均值为19已知三棱锥，平面，分别是，的中点(1)为线段上一点且，求证：.(2)求直线与平面所成角的正弦值【答案】(1)见解析；(2) 试题解析: (1)交于，在中，.，为中点，面，又，面，面，面，面，. (2)以点为坐标原点，以直线，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系,则，设平面的法
11、向量为，则即取设，的夹角为，.所以直线与平面所成角的正弦值为20已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为 (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)设，是轨迹上的两点，且，记，求的最小值【答案】(1) ；(2) .试题解析: (1)设，的中点，连，则：，.又,，整理得.(2)设，不失一般性，令，则，,解得直线的方程为：，,即，令得，即直线恒过定点，当时，轴，直线也经过点.由可得, .当且仅当，即时，.21已知函数，(1)若，求的单凋区间；(2)若函数是函数的图像的切线，求的最小值；(3)求证：【答案】(1) 的单调增区间为，单调减区间为区间为；(2) ；(3) 见解析.试题解析: (1)时， ，解得
12、，解得，的单调增区间为，单调减区间为区间为(2)设切点坐标为设切点坐标为，切线斜率，又，令， ，解得，解得，在上递减，在上递增，的最小值为(3)法一：令，由(1)知，.又， ，（两个等号不会同时成立）点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做则按所做的第一题计分，做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂
13、黑22(本小题满分10分)选修：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系曲线的极坐标方程为(1)写出的普通方程和的直角坐标方程；(2)设点在上，点在上，求的最小值及此时点的直角坐标【答案】(1) ， ；(2)， 【解析】试题分析: (1)利用 将曲线的参数方程化为普通方程为，利用将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为（2）根据直线与圆位置关系可得取得最小值为圆心到直线距离减去半径，此时为过圆心且垂直于直线的直线与圆的交点（靠近直线）.23选修45：不等式选讲已知关于的不等式的解集为(1)求的最大值；(2)已知，且，求的最小值及此时，的值【答案】(1)；(2)，时，最小值为 【解析】试题分析: (1)由绝对值三角不等式可得 最小值为.再解不等式即得的最大值；（2）由柯西不等式得 ，即得的最小值，再根据等于号成立条件解得，的值试题解析: (1)因为 .当或时取等号，令所以或解得或的最大值为