1、第四章 三角函数、解三角形第五讲 函数yAsin(x)的图象及应用 知识梳理双基自测 考点突破互动探究 名师讲坛素养提升 知识梳理双基自测 知识点一 用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图 用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表如示.x _ _ _ _ _ x _ _ _ _ _ yAsin(x)0 A 0 A 0 0 2 2 32 2 2 32 知识点二 函数yAsin x的图象经变换得到yAsin(x)的图象的步骤如下 知识点三 简谐振动 yAsin(x)中的有关物理量振幅周期频率相位初相yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示一个振动量时AT2f1T
2、2_x 1函数 yAsin(x)的单调区间的“长度”为T2.2“五点法”作图中的五个点：yAsin(x)，两个最值点，三个零点；yAcos(x)，两个零点，三个最值点3正弦曲线 ysin x 向左平移2个单位即得余弦曲线 ycos x.题组一 走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)ysinx4 的图象是由 ysinx4 的图象向右平移2个单位长度得到的()(2)将函数 ysin 2x 的图象向右平移3(0)个单位长度，得到函数 ysin2x3 的图象()(3)函数 ysin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，所得图象对应的函数解析式为 ysin 12x
3、.()(4)函数 yAcos(x)的最小正周期为 T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.()题组二 走进教材2(必修 1P239T2 改编)(1)把 ysin x 的图象向右平移3个单位，得_的图象(2)把 ysin x 的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12倍(横坐标不变)得_的图象ysinx3 y12sin x(3)把 ysinx3 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)得_的图象(4)把 ysin 2x 的图象向右平移6个单位，得_的图象ysin2x3 ysin2x3 3(必修 1P254T10 改编)函数 y2sin2x4 的振幅、频率和初相分别为()A2
4、，1，4B2，12，4C2，1，4D2，12，4C 解析 由题意得 A2，T22，f1T1，4.故选 C4(必修1P241T4改编)如图所示，某地夏天从814时的用电量变化曲线近似满足函数yAsin(x)b.则这段曲线的函数解析式为_.y10sin6x6 40，x8,14 解析 观察图象可知从 814 时的图象是 yAsin(x)b 的半个周期的图象，A12(5030)10，b12(5030)40.122 148，6，y10sin6x 40.将 x8，y30 代入上式，解得 6.所求解析式为 y10sin6x6 40，x8,14题组三 走向高考5(2021全国乙，7,5 分)把函数 yf(x)
5、图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3个单位长度，得到函数 ysinx4 的图象，则 f(x)()A sinx2712B sinx2 12C sin2x712D sin2x 12B 解析 将函数 ysinx4 的图象向左平移3个单位长度可得函数 ysinx3 4 sinx 12 的图象，再将该函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，可得函数 yf(x)的图象，则 f(x)sinx2 12，故选 B6(2021全国甲，15,5 分)已知函数 f(x)2cos(x)的部分图象如图所示，则 f2 _.3 解析 利用所给函数 f(x)2cos(x)
6、图象中的关键点求出，再将 x2代入 f(x)的解析式即可求出 f2.由题图可知点3，0，1312，2 在 f(x)的图象上，3T4 1312 334，则 T，所以|2T 2，不妨取 2，则函数 f(x)2cos(2x)，将1312，2 代入得，21312 2k，kZ，解得136 2k，kZ，f2 2cos22136 2k 3，kZ.7(2020江苏，10,5 分)将函数 y3sin2x4 的图象向右平移6个单位长度，则平移后的图象中与 y 轴最近的对称轴的方程是_.x524 解析 本题考查三角函数图象的平移变换，三角函数图象的对称轴将函数 y3sin2x4 的图象向右平移6个单位长度后得到函数
7、 g(x)3sin2x6 4 3sin2x 12 的图象，则函数 g(x)图象的对称轴方程为2x 122k，kZ，即 x724k2，kZ，当 k0 时，x724；当 k1 时，x524，所以平移后的图象中与 y 轴最近的对称轴的方程是 x524.考点突破互动探究 例1考点一“五点法”作yAsin(x)的图象师生共研用五点法作出 y2sin2x3 在3，23 内的图象解析 23 33，223 353，令 2x30，解得 x6.2x32，解得 x 12.2x3，解得 x3.2x332，解得 x712.列表如下：2x33023253x3612371223y 30202 3描点作图如图：用“五点法”作
8、正、余弦型函数图象的步骤(1)将原函数化为yAsin(x)或yAcos(x)(A0，0)的形式(2)确定周期(3)确定一个周期或给定区间内函数图象的最高点和最低点以及零点(4)列表(5)描点 MING SHI DIAN BO (6)连线：用平滑曲线连接各点得函数在一个周期(或给定区间)内的图象注意用“五点法”作图时，表中五点横坐标构成以为首项，公差为 2的等差数列变式训练 1设函数 f(x)cos(x)0，20 的最小正周期为，且 f4 32.(1)求和的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在0，上的图象 解析(1)因为 T2，所以 2，又因为 f4 cos24 cos2 sin 32 且
9、20，22 的部分图象如图所示，则，的值分别是()A2，3B2，6C4，6D4，3例4A 考点三已知函数图象求解析式师生共研解析 解法一(最值法)：由题中图象可知34T5123 34T34 T，则 2T 2 2.又图象过点512，2，则 f512 22sin56 2sin56 1.22，356 0，0)的解析式的步骤(1)求 A，B，确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 AMm2，BMm2.(2)求，确定函数的周期 T，则 2T.(3)求，常用方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入五点法：确定 值时，往往以寻找“五点
10、法”中的特殊点作为突破口具体如下：“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 x0；“第二点”(即图象的“峰点”)为 x2；“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 x；“第四点”(即图象的“谷点”)为 x32；“第五点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 x2.变式训练 3(2020全国改编)设函数 f(x)cosx6 在，上的图象大致如图，则 f(x)的解析式为()Af(x)cos32x6Bf(x)cos32x6Cf(x)cos34x6Df(x)cos34x6B 解析 由图象知 T2，即 2|2，所以 1|2.因为图象过点49，0，所以 cos49 6 0，所以49 6k2，kZ，所
11、以 94k34，kZ.因为 1|0)的图象与 x 轴相邻两个交点的距离为2.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若将 f(x)的图象向左平移 m(m0)个单位长度得到函数 g(x)的图象恰好经过点3，0，求当 m 取得最小值时，g(x)在6，712 上的单调递增区间解析(1)由函数 f(x)的图象与 x 轴相邻两个交点的距离为2，得函数 f(x)的最小正周期为 T2222，得 1，故函数 f(x)的解析式为 f(x)3sin2x3.(2)将 f(x)的图象向左平移 m(m0)个单位长度得到函数 g(x)3sin2xm3 3sin2x2m3 的图象，根据 g(x)的图象恰好经过点3，0，可得
12、3sin23 2m3 0，即 sin2m3 0，所以 2m3k(kZ)，mk2 6(kZ)，因为 m0，所以当 k0 时，m 取得最小值，且最小值为6.此时，g(x)3sin2x23.因为 x6，712，所以 2x23 3，116.当 2x23 3，2，即 x6，12 时，g(x)单调递增；当 2x23 32，116，即 x512，712 时，g(x)单调递增综 上，g(x)在 区间6，712 上 的单调 递增区 间是6，12 和512，712.三角函数图象与性质的综合问题的求解思路 先将yf(x)化为yAsin(x)B的形式，再借助yAsin(x)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、
13、对称性、单调性等)解决相关问题 MING SHI DIAN BO 变式训练 4(2021陕西宝鸡一模)已知函数 f(x)2sin xcos x2 3cos2x 3.(1)求函数 f(x)的单调递减区间；(2)将函数 f(x)的图象向左平移6个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数 g(x)的图象，求 g(x)在 12，8 上的值域解析 本题考查三角函数的单调区间、图象变换和在限定区间上的值域(1)由题意，f(x)2sin xcos x2 3cos2x 3sin 2x 3cos 2x2sin2x3.令 2k22x32k32(kZ)，解得 k 12xk712(k
14、Z)因此，函数 f(x)的单调递减区间是k 12，k712(kZ)(2)由题意，g(x)f2x6 2sin4x23.又 x 12，8，所以 4x23 3，76，因此，函数 g(x)在 12，8 上的值域为(1,2名师讲坛素养提升 三角函数中有关参数 的求解问题一、三角函数的周期 T 与 的关系为了使函数 ysin x(0)在区间0,1上至少出现 50 次最大值，则 的最小值是()A98B1972 C1992 D100例6B 解析 由题意，至少出现 50 次最大值即至少需用 4914个周期，所以4914 T1974 2 1，所以 1972，故选 BMING SHI DIAN BO 这类三角函数试
15、题直接运用 T 与 的关系 T2，再结合条件，一般可以轻松处理二、三角函数的单调性与 的关系若函数 f(x)sin x(0)在区间3，2 上单调递减，则 的取值范围是()A0，23B0，32C23，3D32，3D 例7解析 令22kx32 2k(kZ)，得 22k x322k，因为 f(x)在3，2 上单调递减，所以 22k 3，2322k，得 6k324k3.又 0，所以 k0，又 6k324k3，得 0k34，所以 k0.从而323，故选 DMING SHI DIAN BO 根据正弦函数的单调递减区间，确定函数 f(x)的单调递减区间，根据函数 f(x)sin x(0)在区间3，2 上单调
16、递减，建立不等式，即可求 的取值范围三、三角函数最值与 的关系已知函数 f(x)2sin x 在区间3，4 上的最小值为2，求 的取值范围例8解析 显然 0.若 0，当 x3，4 时，3x4，因为函数 f(x)2sin x在区间3，4 上的最小值为2，所以32，解得 32.若 0，当 x3，4 时，4x3，因为函数 f(x)2sin x在区间3，4 上的最小值为2.所以42，解得 2.综上所述，符合条件的实数 的取值范围是(，232，.变式训练 5(1)若函数 f(x)2cosx3 的最小正周期为 T，且 T(1,3)，则正整数 的最大值为_.(2)若函数 y2cos x 在区间0，23 上递减，且有最小值 1，则 的值可以是()A2B12C3D136 B 解析(1)因为 1T23，所以23 2，又因为 为正整数，所以 的最大值为 6.(2)由 y2cos x 在0，23 上是递减的，且有最小值 1，则有2cos23 1cos 23 12.检验各数据，得出 B 项符合故选 B
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